第9章 动量矩定理及其应用
9-1计算下列情形下系统的动量矩。
1.圆盘以e的角速度绕0轴转动，质量为加的小球M可沿圆盘 的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度匕运动到0M = s 处（图a）；求小球对0点的动量矩。 2.图示质量为也的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为仏 质
心为C,且AC= e；轮子半径为斤，对轮心/的转动惯量为Z； C、A. 方三点在同一铅垂线上（图b）。（1严欣只滚不滑时，”£知， 求轮子的动量和对方点的动量矩:?您辄子又滚又滑甲了希诲3 已知，求轮子的动量和对方点的彳戡滋、J 弋~
解：］、L（）=m^2 （逆） \
^7r777Y777777777777777T777r7777
2、（ 1） （a） <b）
F HfS n — 1 rsn
p = mvc = m(vA + coe) = /hva(1 + —)(逆) RLb = mvc(R + e) + Jcco = nws > - + (Js - ”ie?)拮
(2) p = mvc = in(vA + coe)
Lh = mvc(/? + e) + Jr= m(vA +3)(R + e) + (丿人-me2 )a)= m(R + e)v,t +( J4 + meR)co
>l .W Q — 9
9-2图示系统中，已知鼓轮以•的角 速度绕。轴转动，其大、小半径分别为斤、 r,对0轴的转动惯量为兀；物块/、万的 质量分别为加和m5\试求系统对0轴的动 量矩。
解：
厶o =（丿o +加八炉+ ）Q
9-3图示匀质细杆创和虑的质量分别为50kg和100kg,并在点力
计算刚释放时，杆的角
焊成一体。若此结构在图示位置由静止状奄 加速度及较链0处的约束力。不计餃链摩球解：令 m - moA- 50 kg,则盛二 2m
质心。位置：（设_/二1 m）
d = OD = -I = — m
6 6
刚体作定轴转动，初瞬时Q=0
丿oQf飓冷+ 2吨・/
Jo =丄加 2 + 丄 Im •⑵卩 + 2ml1 = 3ml2
3 12
即 3ml2a = ^mgl
a = gg =8.17 rad/s2
6/
t 5. 25
由质心运动定理：
3 加•心=3mg - F©
= 449N ( t )
12 °
心=0
尸 2 2 25 11Foy = 3"农 一 3 加—g = — mg =
e = 0， q[)= 0 ,
9一4卷扬机机构如图所示。 分别为斤和r,对自身转轴的 转动惯量分别为Z和A被 提升重物/的质量为也，作用 于轮C的主动转矩为M,求重 物A的加速度。
解：对轮G [
J2ac = M — Fvr
对轮万和重物
(Ji +tnR2)a = F；R _ mgR
运动学关系：
J/+ J 2R2+mR2r2
a = rac = Ra a_ (M -mgr)rR29-5图示电动绞车提 的物体，在其主动轴上作用 一矩为必的主动力偶。己知 主动轴和从动轴连同安装 在这两轴上的齿轮以及其 它附属零件对各自转动轴 的转动惯量分别为Z和/; 传动比r2 : r严门吊索缠 绕在鼓轮上，此轮半径为爪 设轴承的摩擦和吊索的质 略不计，求重物的加速度。
解：对轮1 (图a)：
JjtZj = M - Fr{
对轮2 (图b)：
(J2 + mR2)a2 = F'r2 -mgR rxa} = r2a2 ； a{ =ia2
_ Mi 一 mgR
a~ J, +rtiR2 + J xi2
重物的加速度：a = Rg=严畀, "Jr+mR ■十 J「
9-6均质细杆长2厶 质量为皿 放在两个支承/和方上，如图 所示。杆的质心C到两支承的距离相等，即AC= CB= e.现在突然 移去支承5求在刚移去支承方瞬时支承/上压力的改变量
解:JAa = mge , (-ml2 + me2 )a = mge
叫=mg _ &
3ge2
ac =ea = ——?
厂+3，
匚 3〃?g/
4 5 l2+3e2
△只=竺_尸3〃加_怛=空兰
A 2 A I2+3e2 2 2(厂 + 3『)'
9-7为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套 管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a、b所示。摆动100次所 用的时间为lOOso另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离
勺師Q — 7医1
AC= d,将连杆水平放置，在点/处用杆悬挂，点方放置于台秤上，台秤 的读数尸二490No已知连杆质量为80kg, A与厂间的距离；=lm,十字头 销的半径r=40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯 量Jco
解：图(a), &<< 1 时, JA0--mg(d^r)0
丿 4© + 〃Jg(M + 厂)& = 0
0+竺 L —0
J A =JC +〃［(" +7)， 由图(b):
(1)
(2)
Fl S
=0’ 心矿 L.625D1
代入(1人(2),注意到周期T = 2s,得 人=竺竺巴f(〃 +门2 =,”(d +川葺一(d + 川 IT JC
9 8
= 80x0.665x(—-0.665)
=17.45 kg-nr
⑹
9-8图示圆柱体月的质量为加在其中部绕以细绳，绳的一端万固定。
圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体 的轴降落了高度力时圆柱体中心力的速度"和绳子的拉 力尽
解：法1：图(a)
》叫=吨一片 | (1) |
JA° = Ft「 | (2) |
| (3) |
J {=丄 mr2 4 2 | |
解得FT =1 "农(拉) | |
5斗(常量) | (4) |
| |
由运动学忙阿W丽(1 )
勺脯Q — Q囱
法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可 对瞬心C用动量矩定理：
Jc(p = mgr ( 5 )
. . 丁 3 2
Jc =丿八+川厂=—加厂
又 2
r
(同式(4))
再由
得 rT =|mg (拉)
9-9鼓轮如图，其外、内半径分别为斤和门质量为皿对质心
轴0的回转半径为Q,且
R - r,鼓轮在拉女£的作用下沿倾
角为〃的斜面往上纯滚动，尸力与斜面平行，不计滚动摩阻。试求质 心0的加速度。
解：鼓轮作平面运动，轴0沿斜面作直线运动：
(1)
(2)
(3)
(4)
tnao = F _ _ mg sin 0mp2a = Fr+F(R 纯滚：ao = Ra 代入(2)
nip2 ^ = Fr+F.R
R
解(1)、(4)联立，消去尽得
_ FR(R + r) 一mgR1 sin 0
ao = 7775
9-10图示重物M的质量为规当其下降时，借无重且不可伸长的绳 使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮刀并绕在 滑轮万上。滑轮方与滚子C固结为一体。
已知滑轮万的半径为凡 滚子C
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