一、知识梳理：
一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．
（图1）（图2）
（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有 . 【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，
（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=5
2
时，求BE.
【变式1】在边长为4的等边ABC
∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABC
EDF∠
=
∠，连接EF.
(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.
【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.
【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，
（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5
2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .
【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；
(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
Q
C P
【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o
是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点
F .
(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;
(2) 如图2
，当m DB AD =，求DF DE 的值.
图(2)
图(1)F C
F C A B
B A D E D E
【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．
【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出
函数的定义域；
②当CE ＝1时，写出AP 的长．
该边C B A
D C B A D
【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．
（1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；
（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．
【作业】
1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.
2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．
（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；
（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD
于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:
①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出
函数的定义域；
②当BEP DMF S S ∆∆=4
9时，求BP 的长.
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