1.7 因动点产生的相切问题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
图1 图2 图3
满分解答
（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得．所以．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜x≤6．
图4 图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，，，因此．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得
．解得．
图6 图7 图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．
例2 2012年河北省中考第25题
如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
答案 （1）点C的坐标为(0,3)．
（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，；
如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，．
图2 图3
（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；
如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；
如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．
图4 图5 图6
例3 2012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一
答案 （1）因为，，所以．因此PQ//BC．
（2）如图2，由PQ＝PH＝，得．解得．
如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．
如图4，由PQ＝PC，得．解得．
如图5，当P、C重合时，t＝2．
因此，当或1＜t≤或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．
当＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
图2 图3 图4 图5
如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；
②当为等腰三角形时，求的值．
【012】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．
如图已知直线L：，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
（1）求点A、点B的坐标。
（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）。 （3）设92）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由。
oah【062】如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到
⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．
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