高考数学培优专题12：立体几何
一、真题特点分析：
1.两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 空间图形的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对． 4．若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有______条．
5.已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
二、知识要点拓展
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
三．空间的线线平行或垂直：设，，则：
1.平行：；
2.垂直：.
设＝，＝，则.
推论 ，此即三维柯西不等式.
五．异面直线所成角：
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
六．直线与平面所成角：(为平面的法向量).
七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量）
八．空间两点间的距离公式 ：
若，，则 =.
九．点到平面的距离 ：
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
十．柱体、锥体的体积：
1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高）
2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高）
十一．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
十二．球的表面积和体积公式：
1.球的表面积公式：（为球的半径）
2.球的体积公式：（为球的半径）
一．空间余弦定理
如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则
。
►证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。
在平面中，过作的垂线，交射线于点。
设，则，
，并且就是二面角的平面角。
在与中，利用余弦定理，可得等式
，
所以，
故
二．射影面积公式：
在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。
三．欧拉公式：
►欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。
利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。①
同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。②
由①、②，，代入欧拉公式中，有。
由于故。
显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3.
当时，易得；同理，时，。
正二十面体的展开图综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。
四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
三、典例精讲
例1．两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成角。
8.一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
例2．在正方体中，E为棱的中点，F是棱上的点，且，则异面直线EF与所成角的正弦值为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
例3．设是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面的中心点，则P到侧面的对角线的距离是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
例4．直角梯形中，，，面垂直于底面。
（1）求证：面垂直于面；
（2）若，求二面角的正切值。
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