自平衡小车数学模型
为了准确控制车轮转动，保持小车始终稳定的直立平衡，需要对自平衡车进行运动学分析并建立其数学模型，从而更好的设计控制系统。
为了更加直观的分析系统受力情况，下面将直立小车与单摆模型进行对比说明小车的受力情况。 重力场中使用细线悬挂的重物经抽象化便形成理想化的单摆模型，两轮自平衡车可以看作一级倒立摆模型进行分析，如图2-3所示。 单摆模型一级倒立摆模型
图2-3 小车抽象为一级倒立摆模型
对普通单摆进行受力分析如图2-4所示。
mg
=
图2-4 单摆受力分析
当物体离开平衡位置后便会受到重力与线的合作用力，驱使物体回复至平衡 位置。这个力称为回复力，其大小为：
=
F m gθ
-s in
（式2-1）
在偏移角很小情况下，回复力与偏移角之间的大小成正比，方向相反。在此回复力的作用下，单摆进行周期运动。由于空气阻力的存在，单摆最终会停止在平衡位置。空气阻尼力与单摆的速度成正比，方向相反。阻尼力越大，单摆会越快停止在平衡位置。可得出，单摆保持平衡的条件有两点：
(1) 受到与偏移相反的回复力作用；
(2) 受到与运动速度相反的阻尼力作用。
如果没有阻尼力，单摆会在平衡位置左右晃动而无法停止。如果阻尼力过小（欠阻尼），单摆会在平衡位置震荡。阻尼力过大（过阻尼）则导致单摆恢复平衡时间加长。因而存在一个临界阻尼系数，使单摆稳定在平衡位置所需时间最短。
对静止的一级倒立摆模型进行受力分析（不考虑车轮与地面的滚动摩擦力），如图2-5所示。
θ
sin
图2-5一级倒立摆模型受力分析图
由一级倒立摆模型静止时的受力分析可知，其回复力大小为：
=
F m gθ
sin
（式2-2）
静止的倒立摆之所以不能像单摆一样可以稳定在平衡位置，是因为在偏离平衡位置时所受回复力与其偏移方向相同，而不是相反，因此不能回复至平衡位置，而是加速偏离垂直位置直至倾倒。
经分析可知，要控制倒立摆使其能够与单摆一样能够回复至平衡位置并保持稳定有两种方案。一种是改变重力方向；另一种是在系统中增加另外一种力使合回复力与偏移方向相反。显然，只能通过第二种方法实现倒立摆的平衡，即在系统中额外增加一种力使合回复力与偏移方向相反。
根据牛顿第一运动定律（即惯性定律），任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有作用在其上面的外力迫使其改变这种状态为止。牛顿运动定律只在惯性参考系中成立。在非惯性参考系中，由于惯性的存在，物体会受惯性力。
通过控制倒立摆底部车轮，使其做加速运动。在此条件下再次分析倒立摆受力情况，如图2-6所示。
θ
sin
图2-6 非惯性系中的倒立摆受力分析
由于车轮做加速运动，倒立摆会受额外的惯性力作用。假设车轮运动使倒立摆具有的加速度为α。选取地面为参考的惯性系，根据牛顿第二定律可知倒立摆
受到的惯性力为：
g co s F m a θ=
（式2-3）
这样，倒立摆所受到的合回复力为：
sin co s F m g m a θθ
=-
（式2-4）
在平衡控制系统中，可控偏移角θ较小，对其进行线性化。假设控制系统中车轮加速度α与偏移角θ成正比关系，比例系数为1k ，则式2-4可变换为：
1F m g m k θθ
=-
（式2-5）
若比例系数1k >g （重力加速度），则倒立摆所受合回复力的方向即与偏移方向相反。这样，倒立摆便可以回复平衡位置，但是其调整时间过长。为提高倒立摆调整时间，需要加入阻尼力。增加的阻尼力与偏移角速度成正比，方向相反，因此式（2-5）可变为：
12F m g m k m k θθθ'
=--
（式2-6）
这样车轮需要提供的加速度即为：
12a m k m k θθ'
=+
（式2-7）
式中θ为倾角，θ'为倾角速度，1k 、2k 为比例系数。由式2-7可知，只有当
1k >g
时，倒立摆才能稳定到垂直位置。2k 为阻尼系数，合适的阻尼系数可以使
倒立摆尽快回复至稳定位置。 2.3.2自平衡小车运动微分方程
已知自平衡车高度为l ，质量为m ，将其抽象为一级倒立摆，并将倒立摆至于可水平移动的小车上。假设其受外力干扰引起的车体角加速度为()x t ，沿垂直于车体方向进行受力分析如图2-7，可以得到自平衡车倾角与车轮移动加速度为
()a t 以及外力干扰带来的加速度()
x t 之间的运动方程。
)
图2-7 外力干扰条件下的小车受力分析
小车运动微分方程表达式如式2-8：
()()()()()
2
2s in c o s d t l
g t a t t lx t d t
θθθ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
（式2-8）
当倾角θ很小的时候，可以进行线性化处理：co s()1sin ()θθθ
≈≈、 ，运动微
分方程可简化为：
()
()()()
2
2
d t l g t a t lx t d t
θθ=-+
（式2-9）
自平衡车静止时()0a t =，其运动微分方程为：
()
()()
2
自平衡两轮车2
d t l g t lx t d t
θθ
=+
（式2-10）
2.4 PID 控制器设计
2.4.1 PID 控制器原理
当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量系统需要控制的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID 控制，又称PID 调节。PID 控制器问世至今已有近
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