依变量y的实际观测值总是带有随机误差，因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的实际观测值xi表示为：
(i=1,2, …, n)
x 为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量);
y 为可以观测的随机变量;
i为相互独立，且都服从N（0，σ2）的随机变量。
在x、y直角坐标平面上可以作出无数 条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为回归直线。 设回归直线的方程为: （ 其中，a是α的估计值，b是β的估计值。）
式中的分子是自变量x的离均差与依变量y的离均差的乘积和，简称乘积和,记作，分母是自变量x的离均差平方和，记作SSX,a叫做样本回归截距,是回归直线与y轴交点的纵坐标，当x=0时，=a；b叫做样本回归系数，表示x 改变一个单位，y平均改变的数量；b的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反映了x 影响y的程度; 叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数的估计值。
例题：在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g）与70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方程。
表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 （单位：g）
1、作散点图 以雏鹅重（x）为横坐标，70日龄重（y）为纵坐标作散点图，见图8-3。
2、计算回归截距a，回归系数b，建立直线回归方程，首先根据实际观测值计算出下列数据：
进而计算出b、a：
得到四川白鹅的70日龄重y对雏鹅重x的直线回归方程为：
二、直线回归的偏离度估计
偏差平方和的大小表示了实测点与回归直线偏离的程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。统计学已经证明：在直线回归分析中离回归平方和的自由度为n-2。于是可求得离回归均方为： 离回归均方是模型（8-1）中σ2的估计值。
离回归均方的平方根叫离回归标准误，记为，即
离回归标准误Syx的大小表示了回归直线与实测点偏差的程度，即回归估测值与实际观测值y偏差的程度，于是我们把离回归标准误Syx用来表示回归方程的偏离度。
对于【例题】有
拟合直线所以
三、直线回归的显著性检验
若x和y变量间并不存在直线关系， 但由n对观测值（xi，yi）也可以根据上面介绍的方法求得一个回归方程=a+bx。 显然，这样的回归方程所反应的两个变量间 的直线关系是不真实的。 如何判断直线回归方程所反应的两个变量间的直线关系的真实性呢？这取决于变量x与y间是否存在直线关系。我们先探讨依变量y的变异，然后再作出统计推断。
1、 直线回归的变异来源
反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为SSy；反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为SSR；
反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。
所以：
这表明y的总平方和剖分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度dfy也划分为回归自由度dfr与离回归自由度dfr两部分，即
在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即；y 的 总 自 由度；离回归自由度。于是：离回归均方，回归 均方。
2、 回归关系显著性检验—F检验
x与y两个变量间是否存在直线关系，可用F检验法进行检验。
无效假设HO：β=0，备择假设HA：β≠0。
在无效假设成立的条件下，回归均方与离回归均方的比值服从 和的F分布，所以可以用
df1=1,df2=n-2
来检验回归关系即回归方程的显著性。回归平方和还可用下面的公式计算得到：
可得到离回归平方和计算公式为：
对于【例题】资料，有
而。于是可以列出方差分析表进行回归关系显著性检验
因为，表明四川白鹅70日龄重与雏鹅重间存在极显著的直线关系。
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