在实际⼯程中，我们常会遇到这种问题：已知⼀组点的横纵坐标，需要绘制出⼀条尽可能逼近这些点的曲线（或直线），以进⾏进⼀步进⾏加⼯或者分析两个变量之间的相互关系。⽽获取这个曲线⽅程的过程就是曲线拟合。⽬录最⼩⼆乘法直线拟合原理曲线拟合 Matlab实现代码
最⼩⼆乘法直线线拟合原理
⾸先，我们从曲线拟合的最简单情况——直线拟合来引⼊问题。如果待拟合点集近似排列在⼀条直线上时，我们可以设直线 为其拟合⽅程，系数 为待求解项，已知：
。
⽤矩阵形式表达为：
，其中：
要求解A，可在⽅程两边同时左乘 的逆矩阵，如果它是⼀个⽅阵且⾮奇异的话。
但是，⼀般情况下 连⽅阵都不是，所以我们在此需要⽤ 构造⼀个⽅阵，即⽅程两边同时左乘 的转置矩阵，得到⽅程: 。
此时，⽅程的系数矩阵 为⽅阵，所以两边同时左乘新系数矩阵 的逆矩阵，便可求得系数向量A ，即： 。
⽅程 右边各部分均已知，所以可直接求解得到拟合直线的⽅程系数向量A。曲线线拟合
当样本点的分布不为直线时，我们可⽤多项式曲线拟合，即拟合曲线⽅程为n阶多项式
。
⽤矩阵形式表⽰为：
，其中：待求解项为系数向量。
曲线拟合⽅程 的求解⽅法与上⾯直线的求解⽅法⼀样，也是在⽅程 两边同左乘的转置矩阵得到: ，y =ax +b A =[a ,b ]Y =X A 0X 0X 0X 0X 0X Y =0T X X A 0T 0X X 0T 0X X 0T 0(X X )X Y =0T 0−10T A A =(X X )X Y 0T 0−10T
y =a x =∑i =0n
i i a x +n n a x +n −1n −1...+a x +1a 0Y =X A 0A =[a ,a ,...,a ,a ,a ]n n −1210T Y =X A 0Y =X A 0X 0X Y =0T X X A 0T
再同时在新⽅程两边同时左乘 的逆矩阵，得到：上式左边各部分均已知，所以可直接求解得拟合曲线⽅程的系数向量A。Matlab 实现代码
%by hanlestudy@163
clear
clc
x=[2,4,5,6,6.8,7.5,9,12,13.3,15];
y=[-10,-6.9,-4.2,-2,0,2.1,3,5.2,6.4,4.5];
[~,k]=size(x);
for n=1:9
X0=zeros(n+1,k);
for k0=1:k %构造矩阵X0
for n0=1:n+1
X0(n0,k0)=x(k0)^(n+1-n0);
end
end
X=X0';
ANSS=(X'*X)\X'*y';
for i=1:n+1 %answer 矩阵存储每次求得的⽅程系数，按列存储
answer(i,n)=ANSS(i);
end
x0=0:0.01:17;
y0=ANSS(1)*x0.^n ;%根据求得的系数初始化并构造多项式⽅程
for num=2:1:n+1
y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);
end
subplot(3,3,n)
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x0,y0)
end
suptitle('不同次数⽅程曲线拟合结果，从1到9阶')
运⾏结果
拟合曲线结果：
X X 0T 0(X X )X Y =0T 0−10T
A
可以看出看来，当多项式的阶数过⼩是，曲线并不能很好地反映出样本点的分布情况；但阶数过⾼时，会出现过拟合的情况。
系数矩阵answer：
Matlab⾃带函数——polyfit
在matlab中，也有现成的曲线拟合函数polyfit，其也是基于最⼩⼆乘原理实现的，具体⽤法为：ans=polyfit(x,y,n). 其中x,y为待拟合点的坐标向量，n为多项式的阶数。
下⾯代码是⽤polyfit函数来做曲线拟合：
clear
clc
x=[2,4,5,6,6.8,7.5,9,12,13.3,15];
[~,k]=size(x);
y=[-10,-6.9,-4.2,-2,0,2.1,3,5.2,6.4,4.5];
for n=1:9
ANSS=polyfit(x,y,n); %⽤polyfit拟合曲线
for i=1:n+1 %answer矩阵存储每次求得的⽅程系数，按列存储 answer(i,n)=ANSS(i);
end
x0=0:0.01:17;
y0=ANSS(1)*x0.^n ; %根据求得的系数初始化并构造多项式⽅程 for num=2:1:n+1
y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);
end
subplot(3,3,n)
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x0,y0)
end
拟合直线suptitle('不同次数⽅程曲线拟合结果，从1到9阶')
运⾏结果：
⽤polyfit拟合的结果与第⼀份代码运⾏的结果基本⼀样
申明
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