瑞利信道:从原理到实现

瑞利信道：从原理到实现

瑞利信道模型

瑞利信道模型是⽆线通信信道最重要、最基础的的仿真模型。⽆线信道中的平坦衰落信道基本上都是在瑞利信道模型的基础上修改⽽成，⽐如应⽤同样⼴泛的莱斯信道就可以通过在瑞利信道的基础上简单的添加直流分量实现，⽽频率选择性衰落信道基本上都是⼏种平坦衰落信道叠加的结果。

⼩尺度平坦衰落信道中，由于移动体处于不断的运动状态，导致接收端接收到的是来⾃不同路径的多径信号。移动台的速率将会导致每条多径分量具有不同的多普勒频移，同时假设移动台接收的信号的⼊射⾓度在[ 0, 2π]间均匀分布。这样就产⽣了具有特定环境下的多普勒功率谱密度特性。Clarke信道模型描述的⼩尺度平坦衰落信道中，移动台接收信号具有基于散射⽅式的场强统计特性，这正符合市区移动通信环境不存在直射路径的特点，其包络统计特性服从瑞利分布，因此⼜称为瑞利衰落信道模型。⼀般情况下，在瑞利衰落的状态下，多普勒功率谱具有Jakes 功率谱密度函数，即U型谱。

许多信道建模和仿真⽅法的研究，均以Clarke信道模型的统计特性作为性能评估的标准，但Clarke参考模型是⼀种理想模型，物理不可实现。Clarke参考模型是由多个正弦波相加，但要求个数⾮常⼤，理想统计特性在N为⽆穷⼤时取得。从对模型的仿真结果来看，⼀般需要在⼤于50个正弦波的条件下，才能取得较好的仿真效果。

瑞利信道仿真的实现⽅法

Clarke参考模型的主要实现⽅法有正弦波叠加法和成型滤波法。两种⽅法各有其优缺点，正弦波叠加法由于计算复杂度低，在⼯业界得到⼴泛应⽤。

正弦波叠加法

正弦波叠加法是利⽤确定性过程来模拟随机过程。根据概率论，多个不同频率的正弦波叠加，幅度统计是服从⾼斯分布的。如果实部和虚部均⽤多个不同频率的正弦波叠加，则实部虚部均分别服从⾼斯分布。⼜根据瑞利分布的定义，两个⾼斯变量的平⽅和的根服从瑞利分布，因此包络服从瑞利分布。

在仿真性能评估的⾓度来说，完全理想的情况下，各径的同相和正交分量应该完全不相关，两者合成的总⾃相关曲线有固定的变化趋势。这些也是评估正弦波叠加法实现算法性能的主要指标。

正弦波叠加法易于实现，占⽤资源少，但是产⽣的多普勒功率谱是由多个离散频率点上的冲激构成的，并且相关性能不够理想。正弦波叠加法有很多种产⽣各正弦波相位、幅度参数的⽅法，⽐如等⾯积法，等距离法，蒙特卡罗法等，在这⾥不详细展开。

Jakes提出了基于正弦波叠加法的Jakes仿真模型。Jakes仿真模型是⼀种确定模型，产⽣的信号⾮⼴义平稳且不具各态历经性，其⼆阶统计特性与Clarke参考模型也相差较⼤。Jakes仿真模型虽然对Clar

ke参考模型实现了简化，降低了复杂度，提⾼了仿真效率，但却引⼊了⼴义⾮平稳性。其主要原因就在于Jakes对模型中的随机相移进⾏了确定化，同时造成了随机相移之间存在相关性。在仿真效率⽅⾯，所需的低频振荡器（即正弦波发⽣器）的数⽬由N减⼩到M=(N/2⼀l)/2，运算量⼤⼤减少。

基于Jakes仿真模型的多种改进⽅法，均是引⼊随机多普勒频率、随机正弦波初始相位等随机变量，避免确定性。

某改进模型的⽅法是在低频振荡器中引⼊随机相移，避免了随机相移的确定化和相关性，从⽽使得⼴义平稳问题得到解决。此模型仅满⾜Clarke参考模型的⼀阶统计特性，⼆阶统计特性则不满⾜。另⼀改进模型的输出信号满⾜Clarke参考模型的⼆阶统计特性，但最⼤多普勒频移对应的正弦波对应两个随机相移，⽽其余多普勒频移位置对应的正弦波均对应四个随机相移，也就是对于每个多普勒频移都将所有随机相移考虑在内，因此并未引⼊随机相移的相关。但由于每个多普勒频移项均要考虑所有随机相移，因此结构过于复杂。

Y.R.Zheng和e.Xiao提出了多种改进的Jakes仿真模型，低频振荡器数⽬仅为M=8，⼀⼆阶统计特性同样符合Clarke参考模型理论值。⽂献[Yahong Rosa Zheng，Chengshan Xiao. ImProved Models for Generation of MultiPle Uneorrelated Rayleigh Fading Waveform 2002]给出了相应的结构图，每个正弦波需要三个随机量。

下⾯给出Jakes⽅法的matlab实现代码，参见《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》：

function [h,tf]=Jakes_Flat(fd,Ts,Ns,t0,E0,phi_N)

% Inputs:

% fd : Doppler frequency

% Ts : sampling period

% Ns : number of samples

% t0 : initial time

% E0 : channel power

% phi_N : inital phase of the maximum doppler frequency sinusoid

% Outputs:

% h : complex fading vector

% t_state: current time

%MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB㈢ Yong Soo Cho, Jaekwon Kim, Won Young Yang and Chung G. Kang

%?2010 John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd

if nargin<6, phi_N=0; end

if nargin<5, E0=1; end

if nargin<4, t0=0; end

if nargin<3, error('More arguments are needed for Jakes_Flat()'); end

N0=8; % As suggested by Jakes

N=4*N0+2; % an accurate approximation

wd=2*pi*fd; % Maximum doppler frequency[rad]

%t_state = t0;

%for i=1:Ns

% ich=sqrt(2)*cos(phi_N)*cos(wd*t_state);

% qch=sqrt(2)*sin(phi_N)*cos(wd*t_state);

正弦波滤波器

% for k=1:N0

% phi_n=pi*k/(N0+1);

% wn=wd*cos(2*pi*k/N);

% ich=ich+2*cos(phi_n)*cos(wn*t_state);

% qch=qch+2*sin(phi_n)*cos(wn*t_state);

% end

% h1(i) = E0/sqrt(2*N0+1)*complex(ich,qch);

% t_state=t_state+Ts; % save last time

%end

t = t0+[0:Ns-1]*Ts; tf = t(end)+Ts;

coswt = [sqrt(2)*cos(wd*t); 2*cos(wd*cos(2*pi/N*[1:N0]')*t)]; % 侥 (2.32)

h = E0/sqrt(2*N0+1)*exp(j*[phi_N pi/(N0+1)*[1:N0]])*coswt;

% (2.29) with (2.30),(2.31), and (2.32)

% discrepancy = norm(h-h1)

成型滤波法

成形滤波器法是将⾼斯⽩噪声输⼊成形滤波器来产⽣指定形状的多普勒功率谱，实部和虚部均是具有特定形状多普勒功率谱的⾼斯⾊噪声，因此包络服从瑞利分布。

基于频域仿真的瑞利衰落仿真结构图

由于通常情况下通信系统的采样好速率⾮常⾼，最⼤多普勒频率与采样率相⽐很⼩，因此成形滤波器需要的带宽很⼩，直接实现⾮常困难。⼀般是⾼斯噪声通过低采样率的滤波器滤波后不断进⾏内插来实现，得到与系统数据速率相等的抽头系数。需要进⾏多级内插和IFFT，消耗的计算存储资源很多，不适宜⽤于⼤数据量的信道仿真。但是成形滤波器法是⽤随机噪声产⽣的，因⽽随机性⽐正弦波叠加法，各⽅⾯性能更为理想。

其中滤波过程可以采⽤频域滤波或时域滤波。时域滤波可以通过改变⾼斯信号源长度任意扩展信道长度，但计算量⾮常⼤⼤，⽽频域滤波受到IFFT长度的限制，计算量较⼤。对于时域滤波，使⽤重叠相加法可以改善复杂度。

对于滤波，⼀般以⼤约为系统最⾼Doppler频移的8到12倍速率对信号进⾏采样，能得到满意的结果。系统数据传送速率与这个采样频率的⽐值为抽样(内插)因⼦。对滤波器的输出以内插因⼦作内插，可以得到和系统数据速率匹配的信道抽头系数，即信道响应。

给出频域滤波的matlab实现代码如下，参见《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》：

function [FadTime,tf] = FWGN_ff(Np,fm_Hz,Nfading,Nfosf,FadingType,varargin)

%Fadng generation based on FWGN method

% FadTime= FWGN_ff(Np,fm_Hz,Nfading,Nfosf,FadingType,sigma,phi)

% Inputs:

% Np : # of multipath

% fm_Hz : A vector of max. Doppler frequency of each path[Hz]

% Nfading : Doppler filter size (IFFT size)

% Nfosf : Oversampling factor of Doppler bandwith

% FadingType : Doppler type, 'laplacian'/'class'/'flat'

% sigma : Angle spread of UE in case of 'laplacian' Doppler type

% phi : DoM-AoA in case of 'laplacian' Doppler type

% Outputs:

% FadTime : Np x Nfading, fading time matrix

%MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB㈢ Yong Soo Cho, Jaekwon Kim, Won Young Yang and Chung G. Kang

%?2010 John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd

fmax= max(fm_Hz);

% Doppler frequency spacing respect to maximal Doppler frequency

dfmax= 2*Nfosf*fmax/Nfading;

if isscalar(fm_Hz), fm_Hz= fm_Hz*ones(1,Np); end

% To get a funtion corresponding to Doppler spectrum of "FadingType"

FadingType= lower(FadingType); ftn_psd= Doppler_PSD_function(FadingType);

err_msg= 'The difference between max and min Doppler frequencies is too large.\n increase the IFFT size';

if strcmp(FadingType(1:2),'la') % Laplacian constrained PAS

for i=1:Np

Nd= floor(fm_Hz(i)/dfmax)-1;

if Nd<1, error(err_msg); end

tmp= ftn_psd([-Nd:Nd],varargin{1}(i),varargin{2}(i));

tmpz= zeros(1,Nfading-2*Nd+1);

FadFreq(i,:)= [tmp(Nd+1:end-1) tmpz tmp(2:Nd)];

end

else % symmetric Doppler spectrum

for i=1:Np

Nd= floor(fm_Hz(i)/dfmax)-1;

if Nd<1, error(err_msg); end

tmp= ftn_psd([0:Nd]/Nd); tmpz= zeros(1,Nfading-2*Nd+3);

FadFreq(i,:)= [tmp(1:Nd-1) tmpz fliplr(tmp(2:Nd-1))];

end

% Add a random phase to the Doppler spectrum

FadFreq = sqrt(FadFreq).*exp(2*pi*j*rand(Np,Nfading));

FadTime = ifft(FadFreq,Nfading,2);

% Normalization to 1

FadTime= FadTime./sqrt(mean(abs(FadTime).^2,2)*ones(1,size(FadTime,2)));

tf=1/(2*fmax*Nfosf); %fading sample time=1/(Doppler BW*Nfosf)

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