波束成形（Beamforming）指的是利用阵列天线（Antenna Array）对接收到的信号进行处理以达到增强信号某些方向的目的。波束成形常用于移动通信、雷达、水声、地震勘探等领域。本文将介绍波束成形的基本原理、常见方法以及在MATLAB中的实现。 一、基本原理
当阵列天线接收到来自不同方向的信号时，不同方向的信号会产生不同的相位，因此在信号到达天线阵列时会出现不同的时间差（Time Delay）。利用时间差及信号幅度，可以实现对来自不同方向的信号进行区分。
阵列天线 考虑一个二维阵列天线，阵列中每个天线的坐标为（x，y），假设接收到的信号为s(t)，其中t为时间。对于信号来自某一方向（θ，φ），可以将信号表示为：
s(t) = A exp( j2πfct - j2πxsinθcosφ - j2πysinθsinφ )
其中，A表示信号的幅度，fc表示信号的载频，θ、φ为信号的方向，x、y为阵列天线的坐标。由于阵列中所有天线接收到的信号都是源信号乘以不同的时延，因此可以表示为：
其中λ表示信号的波长。将上式中的xi、yi视为修正值，令xi = xicosθ+ yisinθcosφ，yi = yisinθ+xicosφ，可得到:
将上式简化为向量形式：
s(t) = as(t)
其中a表示标准的复数天线权向量，s(t)表示源信号。对于每个方向（θ，φ），得到一个权向量a，形成阵列天线的权矩阵A。
为了能够从阵列中提取出某个方向的信号，需要将权矩阵A与接收到的信号x相乘得到一个指向θ、φ的输出向量y：
y = Ax
z(θ,φ) = w(θ,φ) y
二、常见方法
1. 空间平滑法（Spatial Smoothing）
空间平滑法是一种低分辨率波束成形方法，可以使用对角线加载阵列天线，增加天线间的间隔，从而减弱多径效应。在搜索最佳波束方向时，通常使用Max-Norm方法。空间平滑法常用于宽带信号、并行阵列以及数字信号处理中。
空域采样法通过采样阵列输出信号并估计波束权向量，使得波束指向方向能够与某个方向重合。空域采样法常用于低噪声环境下的窄带通信以及低分辨率波束成形。
3. 卡尔曼滤波法（Kalman Filtering）
卡尔曼滤波法基于卡尔曼滤波器自适应估计波束权向量。使用该算法可以在方向和时延均不清楚的情况下提高波束形成的分辨率。卡尔曼滤波法常用于导航、自适应阵列以及Radar雷达等领域。
三、Matlab 实现
Matlab提供了许多工具箱和函数来实现波束成形。常见的工具箱包括Phased Array System Toolbox、Signal Processing Toolbox等。
1. 实现不同的波束成形算法；
2. 生成各种类型的阵列；
3. 实现自适应波束成形；
4. 可虚拟面阵列设计。
以下是利用Phased Array System Toolbox的波束成形示例：
clc; clear all;
fs = 100e3; % 采样率
fc = 1e6; % 载波频率
t = 0:1/fs:1e-2; % 时间
x = cos(2*pi*fc*t); % 待处理信号
N = 10; % 阵列天线数目
c = 1500; % 声速
d = c/fc/2; % 天线间距离（Half wavelength）
a = phased.URA(N, d, 'Rows', 'Columns'); % 生成十字形阵列
pos = getElementPosition(a); % 获取天线位置信息
figure;
plot(pos(:,1),pos(:,2),'ro') % 画出十字形阵列
title('Uniform Rectangular Array');
P = phased.PhaseShiftBeamformer('SensorArray',a, 'OperatingFrequency', fc); % 设计一个基于阵列天线的相位移波束成形器
w = 0.05 * ones(N,1); % 设定加权系数
y = P(x,w,[30;0]); % 对输入信号进行波束变换
在以上代码中，我们使用Phased Array System Toolbox创建了一个十字形的阵列，并设
计了一个相位移波束成形器。然后，我们定义了加权系数，对输入数据进行处理，并排绘制出了波束图。
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