ButterWorthFIlter（巴特沃斯滤波器）ButterWorthFIlter(巴特沃斯滤波器)
⼀、背景
这种滤波器最先由英国⼯程师斯蒂芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年发表在英国《⽆线电⼯程》期刊的⼀篇论⽂中提出的。
⼆、特点
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最⼤限度平坦，没有起伏，⽽在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对⾓频率的波特图上，从某⼀边界⾓频率开始，振幅随着⾓频率的增加⽽逐步减少，趋向负⽆穷⼤。⼀阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每⼗倍频20分贝。⼆阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。 巴特沃斯滤波器的振幅对⾓频率单调下降，并且也是唯⼀的⽆论阶数，振幅对⾓频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器
阶数越⾼，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器⾼阶的振幅对⾓频率图和低阶数的振幅对⾓频率有不同的形状。
由图可见，当N趋于⽆穷时，将会得到⼀个理想的低通滤波器
三、原理
1. 幅值平⽅
2. 拉普拉斯变换∣H(jw)∣=
a
21+()
wc
w2N
1
令
其中，
所以有，
炭材料工程技术重新带⼊幅值平⽅
其中，
设数组sb的各个元素为上式分母中关于s的幂次⽅项的系数
乙酸乙酯实验装置
3. Z 域变换（离散化）
由
得到
3.1 线性化
s =σ+jω
σ=0
w =j
s ∣H (s )∣=21+
()wc 2−s 2
N
1
H (s )=a ω+a ωs +...a ωs +s 0c N 1c N −1n −1c 1
n −1N
ωc
N
a =01
sb ={sb [0],sb [1],...sb [N ]}={a ω,a ω,...a ω,1}
0c N 1c
N −1
n −1c 1
z =e =sT e
2
−sT e 2
sT
s =lnz
T 1
试图使⽤泰勒公式对s进⾏展开，但是lnz在z=0处没有定义，于是令
于是
对上式在z‘=0处泰勒展开，有
带⼊s的定义，整理，得到
取⼀阶近似，最终得到
3.2 双线性变换
双线性变换就是使⽤这种⼀阶估计法，将连续时间传递函数H(s)中的s替换成离散域中的z变量即
进⾏整理后，最终得到
最终将上式写成如下：
上式中的序列num、den就是离散化的⽬标。
四、巴特沃斯滤波器的设计（数字滤波器实现）
z =′
z +1
z −1z =1−z
′
1+z
′
ln z =ln =1−z ′1+z ′
2(z +′z +313
′z ...)
51
5′s =lnz =T 1(+T 2z +1z −1+31z +1z −13...)
51z +1z −15s =lnz =T 1()=T 2z +1z −1()
T 21+z −11−z −1H (z )=d H (s )∣
=a s =()
T 2z +1z −1H ()
a T 2z +1z −1H (z )=
巴特沃斯滤波器a ω()(1−z )+a ω()(1−z )(1+z )+...a ω()(1−z )(1+z )+0c N T 2N −1N 1c N −1T 2N −1−1N −1−11N −m c N −m T 2N −m −1N −m −1m ω(1+z )c N
−1N
H (z )=den [0](z )+den [1](z )+...den [N ](z )−10−11−1N
num [0](z )+num [1](z )+...num [N ](z )−10−11−1N
装饰工艺画1.确定参数
需要确定参数如下：
passF：通带截⽌频率
stopF：阻带截⽌频率
fs：采样频率
rp：通带最⼤衰减
rs：阻带最⼩衰减
2.计算预畸参数
双线性变换具有从根本上避免脉冲响应不变法中的频率混叠现象，缺点是引⼊了频率失真，因此，引⼊预畸变的概念，即在双线性变换之前，进⾏预畸来校正频率失真的问题，使得进⾏双线性变换之后的频率与预期⼀致。
2.1 预畸原理
设备故障诊断由
使⽤下式进⾏变量代换
得到
所以有
2.2 计算第⼀步确定的参数预畸值
3. 计算低通滤波器阶数
s=()=
T
2
z+1
z−1
σ+jΩ
z=e jw
s=
=
=
=
=
=
()
T
2
z+1
z−1
()
T
2
1+e−jw
1−e−jw
()
T
2
1+(cosω−j sinω)
1−(cosω−j sinω)
()
T
2
2+2cosω
2j sinω
()
T
2
4cos22ω
j2sin cos
2
ω
2
ω
j tan=σ+jΩ
T
2
2
ω
Ω=
=
tan
T
2
2
ω
tanπf
气浮导轨T
2
passΩ=tan fs
π∗passF stopΩ=tan fs
π∗stopF
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