航天返回与遥感第42卷第1期
100SPACECRAFT RECOVERY & REMOTE SENSING2021年2月
李超刘成于飞侯帅
（北京空间机电研究所，北京 100094）
摘要压电陶瓷（PZT）作为变形镜的调节装置，虽然位移精度高，但其自身的迟滞非线性特性却给控制增加了难度，为了克服迟滞非线性的影响，实现高的系统控制精度和响应速度，文章研究了PZT 的迟滞非线性建模与控制方法，提出了基于S函数的PZT迟滞非线性特征建模方法与改进的Smith预估控制算法。仿真结果表明：改进的Smith预估控制算法可以有效克服迟滞非线性特征的影响，满足高精度、快响应的实时控制需求，对于PZT控制在实际工程中应用具有指导意义。 中图分类号: TP273文献标志码: A 文章编号: 1009-8518(2021)01-0100-08
DOI: 10.3969/j.issn.1009-8518.2021.01.012
A New Method for Hysteresis Modeling and
Control of Piezoelectric Ceramics
LI Chao LIU Cheng YU Fei HOU Shuai
（Beijing Institute of Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）
Abstract As a kind of actuator of deformable mirrors, piezoelectric ceramics have high displacement accuracy, however, the nonlinear hysteresis characteristics make it more difficult to control. In order to overcome the influence of hysteresis nonlinearity and provide fine control accuracy and response speed of the system, the hysteresis nonlinear modeling and its control method are studied. And then, based on the S function, a hysteresis nonlinear characteristics modeling method and an improved Smith predictive control algorithm are proposed. The simulation results show that the improved Smith predictor control algorithm can effectively overcome the influence of hysteretic nonlinear characteristics and meet the real-time control requirements of high precision and fast response. It is of guiding significance for the application of piezoelectric ceramics control in practical engineering.压电陶瓷片
Keywords piezoelectric ceramics; numerical model; control predictor; system simulation; space remote sensing
0引言
变形镜作为自适应光学的波前校正器，可以实现对畸变波前的主动校正，其主要原理是通过压电陶
收稿日期：2020-04-13
引用格式：李超, 刘成, 于飞, 等. 一种压电陶瓷建模与控制的新方法[J]. 航天返回与遥感, 2021, 42(1): 100-107.
LI Chao, LIU Cheng, YU Fei, et al. A New Method for Hysteresis Modeling and Control of Piezoelectric Ceramics[J].
Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2021, 42(1): 100-107. (in Chinese)
第1期 李超 等: 一种压电陶瓷建模与控制的新方法 101
瓷（PZT ）对薄镜片进行推拉作用而快速改变镜面面形，实现对光波前相位的改变。近年来，PZT 在航空航天领域被广泛应用于各种精密光学、精密定位以及精密控制系统中[1-3]。PZT 具有驱动精度高、功耗低、体积小等优点。以变形镜为例，变形镜调制精度要求在纳米量级，传统的机械方式很难满足，而PZT 可以很好地满足变形镜调制[4]精度要求。尽管PZT 有种种优点，但其本身也存在迟滞、
蠕变等缺点。PZT 的迟滞特性是由材料内部的电偶极子偏转不能完全恢复造成的[5]，使得驱动电压与输出位移之间呈现多值函数关系，导致PZT 的建模与控制难度增加，表现为PZT 的数学模型复杂度高，计算量庞大，提高了系统的非线性程度，使得一般控制算法很难达到高精度高响应的控制效果。因此，对PZT 迟滞特性的建模和控制是获得高精度控制的关键技术。
目前在PZT 迟滞特性的建模和控制方面，国内外已经做了很多研究，常见的PZT 模型有Preisach 模型[6]、
Maxwell 模型[7-8]、Bouc-Wen [9-11]、双曲函数模型[12]、Prandtle-Ishlinsk 模型[13-14]、等。其中Maxwell 模型只能描述中心对称的迟滞过程，Bouc-Wen 模型输出具有周期性，双曲函数模型不具有次环一致特性，Prandtle-Ishlinsk 模型只能描述对称的迟滞过程，而Preisach 模型可以完整描述迟滞特性，但其计算复杂度高，工程实现比较困难，本文在Preisach 模型的基础上，研究PZT 迟滞特性建模和控制的工程实现方法。
1 Preisach 模型
Preisach 模型是基于并联算子来对迟滞非线性进行建模的方法，模型具有两个重要特征：记忆擦除性与次环一致性[15]。Preisach 模型虽然最早是为研究磁滞曲线而建立，但是由于压电元件的非线性机理同磁滞回环的形成机理有很大的相似性，因此可以用Preisach 模型对PZT 的迟滞非线性进行数学建
模。Preisach 模型的表达式为Preisach 权函数与迟滞算子乘积的二重积分。将Preisach 模型用PZT 建模上，需要考虑到PZT 的自身的特征。由于PZT 只能单向输出，外加电压需与压电片的极化方向相同，反向电压会使压电片退极化甚至失效。因此，迟滞算子的取值范围由（-1, 1）改为（0, 1），迟滞算子取值关系更改为
0,()[()]1,(),()u t u t u t u t αββγαεβα<⎧⎪=>⎨⎪<⎩≤
（1）
式中 ()u t 为t 时刻输入的电压；α和β为u (t )的上下限；[()]u t αβγ为t 內时刻的迟滞算子；在上下限迟滞[()]u t αβεγ=。
由于Preisach 模型中有双重积分和权函数求偏导，不利于工程实现。为了方便PZT 模型的工程化，本文引用数值化Preisach 模型[16]进行数据计算。
1.1 数值化Preisach 模型
为了更有效地说明数值化Preisach 模型，结合迟滞环的连续运动（见图1），在图1（a ）中t =0~t 1时间段为起始阶段加载电压，t 1时间内将输入电压单调增加到α1；其位移量对应图1（b ）中纵坐标u min 到α1段与中分线形成的阴影区域，称之为H +(t )领域[17]，由Preisach 模型定义可知，输出位移即
为H +(t )领
域的面积积分；从t 1时刻开始，输入电压下降，
从t 1时间点开始到时间点t 2内将输入电压单调减小到β1，此时形成的有效H +(t )领域面积减小，对应输出位移量减小；依此类推，可以将PZT 输出位移量转化为对有效H +(t )领域面积积分的计算。
102航天返回与遥感2021年第42卷
（a）电压变化曲线（b）面积积分
（a）V oltage curve （b）Area integration
图1 迟滞环的连续运动
Fig.1 Continuous movements of the hysteresis loop
钢架桥1.2记忆擦除性与次环一致性
记忆擦除性是指在u(t)与t的曲线上出现第一组局部极大值与极小值后，后续时刻输入u(t)产生新的局部极大值或极小值，若新产生的局部极大值比之前时刻产生的局部极大值大时，或新产生的局部极小值比之前时刻产生的局部极小值小时，之前时刻的局部极大值或极小值将会被擦除。局部极大值或极小值的擦除意味着它们将不再影响模型以后时刻的输出。
次环是指输入u(t)在相邻局部极大值和极小值之间单调递增和单调递减所形成的封闭轨迹。次环一致性是指即使在不同历史时刻u(t)的输入下，相同局部极大值和极小值的次环大小与形状是一致的。
记忆擦除性与次环一致性是Preisach模型的两个重要属性，正是这两个重要属性使得Preisach模型在理论上可以准确描述迟滞非线性系统，而其它大多数经典迟滞模型都不能同时满足记忆擦除性与次环一致性这两个特征，这也是本文选用Preisach模型进行PZT建模的主要原因。
2Siumlink控制建模
基于数值化Preisach模型构建PZT的Siumlink仿真模型，仿真模型需要具有记忆擦除性与次环一致性的特征。数值化Preisach模型可以降低计算复杂度，但逻辑复杂度较高，因此采用Matlab的S函数对PZT迟滞非线性特征进行建模。S函数又称系统函数，通过m语言编程实现复杂建模。S函数嵌入到Simulink标准模块库中，就可以像其它Simulink标准模块一样，与Simulink的引擎交互，实现仿真功能。
2.1PZT建模
数值化Preisach模型的S函数构架见图2。
由S函数构建数值化Preisach模型，本文采用的方法是建立输入时间与输入极值的二维数组，通过逻辑判断与记忆擦除方法，实时更新二维数组，记忆历史运动的次环位置和运动方向，从而模拟了PZT 的迟滞特性。
通过S函数建立的PZT模型输出，如图3所示，仿真模型满足数值化Preisach模型的迟滞特性，记忆擦除性与次环一致性。
第1期李超等: 一种压电陶瓷建模与控制的新方法 103
图2 数值化Preisach模型的S函数构架
Fig.2 The S function framework of the digital Preisach model
图3 模型仿真输出
Fig.3 The model simulation output
2.2 改进的Smith预估控制算法
变形镜调制对控制系统的控制精度与控制系统的响应速度要求很高，PZT的位移精度可以满足变形
涤绒104 航 天 返 回 与 遥 感 2021年第42卷 镜的调制精度，但其本身的迟滞特性使得控制系统呈现非线性，限制了控制系统的控制精度和响应速度。如何建立适当的控制算法来减小PZT 的迟滞误差，提高PZT 电压—位移的线性度，是实现高精度控制的 核心问题。传统的PI 控制算法简单、鲁棒性好、可靠性高、易于工程实现，但由于PZT 迟滞特性的存在，使得系统输入和输出之间呈现非线性对应关系[18]
，并且迟滞特性一般以相位延迟的表现形式出现在系统响应中，传统PI 控制算法很难提高系统带宽和减小相位延迟，从而控制精度很难提高。
一般含有延迟环节的控制系统如图4所示。
图4 含有延迟环节的控制系统
Fig.4 The control system with pure time delay
电热暖水袋图4中，R (s )为系统输入，G c (s )为控制器，F (s )为系统外部干扰，G p (s )e -st 为延迟对象模型，Y (s )为系统输出，s 为拉普拉斯变换复变量。
G c (s )为常用的PID 控制器，其通用表达式为
G c (s )=k p +k d s +k i /s （2） 式中 k p 为增益系数；k d 为微分系数；k i 为积分系数。
黑方糖
F (s )为系统外部干扰，通常假设为高斯白噪声，即瞬时值的概率分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布。
G p (s )e -st 为带有迟滞环节的被控对象，其通用表达式为 1110p 1110()e e n st st n n n n n b s b s b G s a s a s a s a ------+++=++++ （3）
式中 各项a 为分母各项s 的系数；各项b 为分子各项s 的系数；n 代表系统阶数。
由于延迟系统传递函数的特征方程中含有e st -环节，使系统的稳定性变差。解决控制系统延迟问题的常用方法分别为前馈控制[19]与Smith 预估控制[20]。由于PZT 的输出位移量的测量难度较大，并且PZT 的响应存在积分环节，使得前馈控制通道中会含有微分环节，工程实现非常困难。而采用Smith 预估器控制方法，在延迟系统下，Smith 预估器控制的衰减速度会变得很慢，导致系统响应时间过长，实时性变差。将Smith 预估控制算法进行改进，消除外部干扰F (s )对系统稳定性影响的同时，提高系统的控制精度与响应速度。改进的Smith 预估控制系统框图如图5所示，G p (s )为去掉延迟环节的对象模型。
可调式电热板
图5 改进的Smith 预估控制系统
Fig.5 An improved Smith predictor control system
图5中，在传统Smith 预估控制模型的基础上，在Smith 预估器内部增加微分环节G x (s )，缩短响应时间，可以得到如下等式关系
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