一、分析计算题
1．设T 1，
T 2是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使
，则称T 1与T 2相似．证明：T 1与T 2相似的充要条件是：存在可逆线性变换 S ，使对V 中任一向量，由，可得sβ．[浙江大学研]
证明：取定线性空间V 的一组基．设T ，T 2在该基下的矩阵仍记为T 1，T 2，显见问题等价于矩阵T 1与T 2相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使P n 中任给向量 α．如．可得
必要性
因T 1与T
2相似，则存在可逆矩阵S ，使
任取，如，则因故有
充分性 由题设，存在可逆阵S ，对
P
n 的自然基．由，可得
从而有即
所以，即T 1与T 2相似．
2．已知3阶正交矩阵A 的行列式为1．证明A 的特征多项式一定为
其中，a 是实数．且[中科院研]证明：由于A 为3阶正交矩阵．且
所以A
特征值的模为1，且A 必有特征值1．
设
A 的特征值为则有，从而
因此A
的特征多项式为
令，则a 为实数，且由
可得
3．（1）设σ为n 维线性空间V 的线性变换，f （λ）为σ的最小多项式．证明：如果f （λ）＝
g （λ）
h （λ），且g （λ）与h （λ）互素，则，其中
（2）设3维线性空间V 的线性变换σ
在一组基e 1，e 2，e 3下的矩阵为
求σ的最小多项式f （λ），并对于f （λ）的一次因式方幂的分解式将V 分解
成直和形式．[南京大学研]
解：（1）证明：由题设f （σ）＝g （σ）h （σ）＝0．
由于g （λ），h （λ）互素，所以存在多项式μ（λ）、ν（λ）使
从而有
（E 为恒等变换）
这样，有令，则有
同理可得
此说明
所以由此可得V ＝L 1+L 2．又
有所以
即综上可得（2）设可得
A 的特征多项式由于无解，所以A 的最小多项式
取g （λ）＝（λ－1）
2，h （λ）＝λ－2，显有两者互素．
由（1）知
这里
又L 1，
网带窑L
2分别与如下齐次线性方程组
的解空间同构，且（I ）与（II ）的一个基础解系分别为
所以有
4．设A 1，
A 2，…，A 3都是n 阶非零矩阵，满足
证明：每个A i （i ＝1，2，...，n ）都相似于对角阵diag （1，0， 0
．[东南大学研]
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证明：由题设，对每个A i ，均有可见A i 均相似于对角线上元素为1或0的对角阵，所以只要证明每个A i （i ＝1，2，…，n ）有r （A i ）＝1即可．
事实上，因A i A j
＝0（j≠i），所以对固定的正整数
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i （1≤i≤n），依次存在A 1
，的非零列使
令分别用左乘该式两端，并结合
所以
线性无关这说明线性方程A i X ＝0的解空间维数≥n－1，即
所以，
考虑到
得r（Ai）＝1．
5．记，P为数域，假设A∈V有特征值λi（i＝1，2，…，n），但-
木门制作λi（i＝1，2，…，n）均不是A的特征值．试证明V的变换ψ：X→XA+A′X为同构．[上海交通大学研]
证明：ψ显然保持加法与数乘，下证ψ是一一对应的．
令XA+A′X＝0，则XA＝（－A′）X．因为-A′特征值为它们均不是A的特征值，得X＝0，此说明ψ的核，所以ψ是单射，由于V是有限维空间，所以V是满射，证完．
6．设T是n维线性空间V的一个线性变换，b1，…，b r是T（V）的一个基，且
T（a i）＝b i，i＝1，…，r．令W＝L（a
1
，
…，a r），证明：V＝，其中T（V）表示T的值域，N（T
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）表示T的核空间．[南京航空航天大学研]
证明：则有
而b1，…，b n为T（V）的基，所以x i＝0（i＝1，
2
，…，r），即α＝0．因此有，故W+N（T）是直和．又因为b1，…，b n线性无关，且T（a i）
＝b i（i＝1，2，…，r），所以a1，…，
a r 线性无关，故有dimW＝r．
又所以有
从而
7．问是否存在n 阶方阵A ，B
，满足AB －BA ＝E （单位矩阵）？又，是否存在n 维线性空间上的线性变换，满足：恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．[北京大学2007研]
答：否，下面给予证明．对于任意n 阶方阵A ，B ，若AB －BA ＝E ，则两边取矩阵的迹，并注意到
，得0＝n ，矛盾．所以不存在方阵A ，B ，使
AB －BA ＝E ．
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对于线性变换A ，B ，取线性空间的一个基，并设在这个基下的矩阵分别为A ，B ，若AB －BA ＝E ，则相应的有AB －BA ＝
E ，矛盾．所以不存在n 维线性空间上的线性变换A ，B ，满足
8．设
V 是实数域R 上三维向量空间
是V 的一组基．又设线性变换
下试求（1）T 在
中的变换公式；（2）T 的逆变换在中的变换公式；（3）T －1在
中的变换公式．[北京大学研]解：
（1
）设 T 在基下的矩阵为A ，由①知
其中
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