DOI:10.13546/jki.tjyjc.2020.24.006
唾论孫iF）
时域检验和频域分析
孟文强
（山东科技大学经济管理学院，山东青岛266590）
摘要：我国自2005年开始发布制造业采购经理人指数PMI数据，由于初期数据序列较短，采用了一种短时序的季节调整方法，之后在2012年开始改用X-12方法。文章采用时域检验和频域分析方法，分析了现有PMI季节调整的表现、制造业采购经理人指数季节调整过程中线性滤波系统的选择，并考察了数据扩展预测带来的质量改善。研究表明：现有季调后序列仍存在明显的季节性,2012年成为PMI数据特征的分水岭，现有季调方法仍存在改进空间。文章选择3x5季节滤子，与传统二阶段选项相比，带来的频率阻带较为平稳，历史修正更小。Henderson趋势滤子选择9项为最佳，此时与PMI数据特点相符，既能去除短期波动，又不会造成趋势信息损失。由于现有PMI序列仍然较短，采用后向扩展两年的方法，可以有效提高季节调整的稳定性和对趋势的估计。无论时域检验还是频域分析，均得出了相 似的结果，但频域分析更加直观和清晰：
关键词：PMI；季节调整；线性滤波系统；时域检验；频域分析
中图分类号:C81；F064.1文献标识码：A文章编号:1002-6487（2020）24-0028-05
0引言
时间序列的季节调整方法大致可以分为两大类：一类是以移动平均为主体的非参数方法，另一类是以回归模型为主体的方法。前者以美国最新的X-13ARIMA方法为代表，大量应用于各国普查局。移动平均方法被广泛应用的一个原因是，现实世界太过于复杂，以至于没有一个回归模型被证明能足够准确地估计趋势-循环和季节性。我国2005年开始正式发布制造业采购经理人PMI指数，自2012年开始采用X-12季节调整方法。
对时间序列季节调整的分析方法包括时域和频域两大类。与时域分析相比.对季节调整过程的频域分析有助于更清楚地揭示季节调整的本质，以及季调过程对数据信号的处理效果，可以借此对季节调整系统进行选择和优化。国外一些学者展开了对季调方法及相关时间序列的频域分析，如Kenneth（1974）分析了季节调整及其过程对变量之间关系的影响。国内采用频域分析方法较少。
本文在分析PMI指数现有季节调整结果表现的基础上，采用时域检验和频域分析，分析PMI指数采用X-
13A 季节调整过程中线性滤子的选择、数据扩展带来的质量改善，并比较了本文季节调整方法与现有方法的效果。
基金项目：国家社会科学基金资助项目（15BJY070）
作者简介：孟文强（1973—），男，山东济宁人，博士，副教授，研究方向：产业经济、宏观经济。
Ridge Estimation for Varying—coefficient Partially Linear Error Variable Model
Cao Lianying,Bi Lin
(School of Science,Northeast Forestry University,Harbin150040,China)
Abstract:This paper studies the semiparametric varying-coefficient partially linear models with measure errors in variables. To solve the common multicollinearity problem between covariates,the paper puts forward the ridge estimation of the parameter and the estimate expression for nonparametric part,then studies the asymptotic property,and finally conducts numerical simulation.The results show that ridge estimation reduces the influence of some parameter component variance anomalies caused by multicollinearity on non-parameter estimation,and that the ridge estimation method is superior to the modified contour least squares estimation when multicollinearity
exists.
Key words:varying-coefficient errorvariable model;contour least square method;ridge estimation
28统计与决策2020年第24期•总第564期
『理论探讨1
1季节调整、时域检验与频域分析原理2实证研究
1.1季节调整原理
假定时间序列满足加法模型，由趋势循环成分、季节成分和不规则成分构成。则X-13方法的季节调整分为以下步骤：(1)对原始序列用中心化的12项移动平均(2x 12)，然后计算与原序列的差异，用该差异来初步估计季节和不规则成分;(2)对同一月份计算5项(3x3)移动平均，获得季节成分的一个估if；(3)对该季节成分进行标准化，使其在任意十二个月内的和为0，方法是在上述序列中减去一个中心化的12项移动平均；(4)从原始序列中减去步骤(3)得到的序列，得到一个初始的调整以后的序列；(5)对调整后的序列应用9阶、13阶或23阶的Henderson移动平均，得到趋势循环成分，从原序列中减去趋势循环成分，得到第二次估计的季节和不规则成分；(6)对同一月份计算7项(3x5)移动平均，以获得季节成分的二次估计;(7)重复步骤(3);(8)从原始序列中减去季节成分的最终估计，得到季调后的时间序列。
以上求解季节成分的过程，可以用线性滤波系统来表示：叫=[1-[1-“(B)]｝]其中，B代表一阶滞后算子，“(B)代表中心化的移动平均.A,(B)代表第一次的季节移动平均，22(B)为第二次的季节移动平均，//(3)代表Henderson移动平均。
Henderson移动平均为：
可控硅触发电路
H”(B)=羽")，丿=0,±1,，帥-1)/2
j
w315莎-1)2胡”-j^m+I)2胡阳-16)-1V2]
8w(w2-l)(4m2-l)(4m2-9)(4zn2-25)
1.2时域检验与频域分析方法
时间序列的季节调整需要经过稳定性检验，以验证同一日期的季节调整结果随着数据序列的增加或减少变化了多少，为了保证季节调整的可信度，选择修正历史和滑动区间检验。
频域分析方法：季节调整过程可以用线性滤子来表示，｛x,｝为原时间序列：
0=a_)
线性滤子作用于特定频率的效果可以用频率响应函数表示：
A(a>)=》,a0'呵=|^(&>)
这里的M(®)|代表滤子的增益，0(e)代表相位。对于一个零均值稳定时间序列而言，其自协方差为：y*=£(x,x,_J,%=人
生成函数为：
r(z)=»*z*
则有谱密度函数：
弘)=舟&严=知(严)
本文选取的PMI未经季节调整的数据时间跨度为2005年1月至2018年12月.使用了美国普查局X-13A-S 软件和Genhol程序。但现有X-13A程序方法并不能提供包括增益函数分析在内的频域分析计算，因此本文采用R 语言自编程序进行频域方面的分析。因为PMI综合指数是采用的间接季节调整方法，即由
分项扩散指数季节调整后加权得到.对其季节调整的分析，要落脚在分项扩散指数上。本文选择PMI扩散指数生产量原始数据来展开分析，主要原因在于，生产量指数在综合指数中的权重较大，而且在长期经济增长中，生产是关键因素。图1为2005年1月至2018年12月中国现有方法季调后的PMI与季调前的PMIB的比较图。
图12005—2018年季调前和季调后的PMI数据
可以看出，我国未经季节调整的PMIB数据有明显的季节尖峰，在2012年季节调整后的PM1数据波动很小，与前一阶段差异较大。季节性检验结果见表1.现有季调方法季调后的数据无论是F检验还是Kruskal Wallis检验均显示存在明显的季节性，现有方法仍有改进空间。
表1修正历史检验结果(季节滤子)
XII-缺省两阶段3x33x53x9季节调整序列的AveAbsRev0.6960.8110.6460.611季节调整序列变化的AveAbsRev0.8110.8570.7850.783趋势的AveAbsRev 1.101 1.124 1.077 1.086趋势变化的AveAbsRev0.4590.4400.4600.49
图2为原始PMI序列和季调后序列的频谱图，季调前序列的季节频率存在较大波动幅度，而季调后序列随着频率上升波动幅度下降，在季节频率处的尖峰明显减少。但是也可看出在季调后，季节频率所处的波峰仍然明显高于其他频率，表明季调仍然有一定改进空间。
图2原始PMI(左)、现季调后PMI(右)频谱图
统计与决策2020年第24期•总第564期
29
［理论探讨｝
2.1季节滤子选择
本文考察了四种模式，第一种是采用3x3季节滤子，
第二种是采用3x5季节滤子，第三种采用3x9季节滤子， 第四种是在初步调整中采用3x3季节滤子，在最终季节
调整中采用3x5季节滤子，这是XII 的缺省的两阶段方
法。其中,3x3季节滤子相当于49项移动平均,3x5季节 滤子相当于73项移动平均。
首先采用修正历史检验分析，表1为采用四种模式的 修正历史检验结果。总体来看,3x5季节滤子和3x9季
节滤子优于其他两种选择，尽管3x9季节滤子在季节调 整序列的平均绝对修正和季节调整序列变动的平均绝对
修正方面均小于3 x 5季节滤子，但在趋势序列和趋势变 化序列的平均绝对修正方面均比3 x 5季节滤子的表现要
差，因此使用3 x 5季节滤子比较适宜。
由图3可以看岀，无论是3x3,3x5还是3x9季节滤 子，在频率为7t/6的整数倍处，即周期以年度计算时，增益 函数均为1左右，即保留了周期为12个月的季节成分，而 在其他频率成分上，增益曲线均显示出接近0的凹槽。在
疲劳值三个滤子中，尽管3x9季节滤子在高频段凹槽增益函数 值最小，但其在接近季节频率处有二次波峰，可能会带来 扭曲。3x5季节滤子在高频段凹槽增益函数值较小，而
且波动较小，即频率阻带稳定.增益函数分析结果显示，选 择3x5季节滤子较为合适。
图3 3x3（左）、3x5（右）和3x9（下）季节滤于的増益曲线
2.2 Henderson 滤子选择
Henderson 滤子用于从经过季节调整后的序列中分离
出趋势-循环成分，常用的Henderson 滤子采用7项、9项、
13项和23项移动平均。
表2随着项数的增加，趋势变化的平均修正历史逐渐
变小，但是趋势的平均修正历史逐渐变大,23项Henderson 滤子的季节调整序列、季节调整变化、趋势序列等平均绝 对修正均为最大。综合考虑，当采取9项Henderson 滤子
时，效果较好。此时，季节调整序列、季节调整序列变化的 平均绝对修正为最小。
表2
修正历史检验结果（Henderson ）
7项
9项13项23项季节调整序列的AveAbsRev 0.6600.6400.6460.721
季节调整序列变化的AveAbsRev
0.8240.769
0.7850.887趋势的AveAbsRev
0.959
0.981
1.077
1.185
趋势变化的AveAbsRev 0.5730.5330.4600.358
由图4至图7可以看出，从频域分析角度来看，随着
Henderson 滤子项数的增加，系数曲线越来越平滑，截止频
率越来越低。由于对月度PMI 数据而言，最小的可分辨波 动即为2个月之间的波动，而7项Henderson 滤子剔除的数
字信号周期小于3.5个月，会保留较多的短期波动信号，因
而不适用于包括PMI 数据在内的月度数据。PMI 数据属 于扩散指数.每一个数据均涉及2个月的比较，2个月的
PMI 数据就涉及了 3个月的前后比较,3个月的PMI 数据就
包含了 4个月的信息。13项和23项Henderson 滤子，可以
截止周期最大为6~8月的信号，这里面包含了 7~9个月的 制造业信息，可能含有趋势成分。而9项Henderson 移动
平均的截止频率始于71/2 ，即周期为4个月的数据，既能准
确地去除短期波动，而又不会由于PMI 指数数据的特点， 浪费掉趋势信息。
-3
-
2
-1
0 1 2 3 0
30
60 90 120 150 180
0.4/\
1.00.3
// \0.8-\
\0.2-
/\0.6-
\/0.4
\
0」/
\/
X.0.2-\0.0\
\
0.0-
图5 9项Henderson 滤子的系数曲线和增益曲线
图6 13项Henderson 滤子的系数曲线和增益曲线
图7 23项Henderson 滤子的系数曲线和增益曲线
厂'\ 1.0-\
0.8-
/
\0.6/ \0.4/ \
0.2\一丿
0.0
—_____________
0.150.10
0.050.00
-10
-5
5
10 0
30
60 90 120 150 180
30
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期
2.3数据扩展
按照上述线性滤波系统原理，如果采用9项Hender-son滤子，第一次季节移动平均为3x3，第二次移动平均为3x5，则季节调整滤子为一个165项移动平均。如果按前述优化分析结果，均采用3x5季节滤子、9项Henderson，那么移动平均项数会增加到189项，原则上应该在序列两边各有8年的观测值，才能用此滤子进行过滤。但是我国自2005年开始发布PMI数据，即便到2018年12月也仅有168个观察值，原则上不可以采用该滤子进行平滑。实际季节调整中，可以采用非对称移动平均进行补充。但由于对称滤子具有正弦保持的优良性质，本文采用预调整程序对PMI数据进行后向扩展两年，比较数据扩展前后的季节调整结果。
由修正历史检验可知，对PMI数据进行后向扩展两年的结果，除季节调整序列结果变化不大以外，季节调整序列变化、趋势的平均绝对修正均明显小于不后向扩展的情况。因此，在数据序列长度不足的
情况下，采用后向扩展预测方法，明显改善了趋势成分的估计。结果见表3。
表3修正历史检验结果(数据扩展)
不后向扩展后向扩展2年季节调整序列的AveAbsRev0.6600.667
季节调整序列变化的AveAbsRev0.8240.792趋势的AveAbsRev0.9590.775
趋势变化的AveAbsRev0.5730.565
平移区间检测显示，后向扩展两年情况下，考察重叠区间中季节调整后的序列、相邻月份比的变化、相邻年份比的变化，被识别为季节调整不稳定的月份占比均为0，稳定性较好。表4的M统计量和Q统计量显示出，除了M06和M10统计量以外，后向扩展序列的统计量均优于未扩展序列。
表4M和Q统计:■
后向扩展两年未扩展差异M010.0270.044-0.017
M020.0200.035-0.015
M030.2360.542-0.306
M040.3340.524-0.19
M050.2380.294-0.056
M060.4400.3570.083
M070.1030.118-0.015
M080.2760.282-0.006
M090.1860.215-0.029
M100.2750.2680.007
Mil0.2580.261-0.003
Q0.1980.249-0.051
Q20.2200.276-0.056
2.4季节调整效果的比较热熔胶捏合机
表5比较了现有季节调整和本文采用季节调整方法的效果，其中PMIB代表季调前数据,PMI代表现有季调方法的结果，PMIO代表采用本文所述优化方法所得结果。可以看出：采用季节调整方法可以有效地降低PMI数据的方差和波动，未经季节调整的PMI数据方差波动达到24.97，而现有季节调整方法把PMI数据的方差降为7.26，本文采用的方法则把PMI指数的方差降低至7.18；现有季节调整方法后的序列仍存在明显的季节性，季节性检验的结果说明了这一点。2012年是现有季节调整方法改变的分水岭,2013年以后季调效果好于之前，但是季调后仍存在一定的季节性。2012年前后，季调后PMI指数的方差由10.38降为0.55，相差悬殊。本文采用的季调方法，经季节性F检验和Kruskal Wallis检验，不存在显著的季节性。
表5季节调整效果的比较
PMIB PMI PMIO
全部区间全部区间2005—2012年2013—2018年全部区间F检验196.77**15.54**25.76** 5.86**0.339 Kniskal Wallis154.79*110.84*91.46*52.69*8.4529最大值63.4059.2059.2052.4057.16最小值35.3038.8038.8049.003&63
均值51.9851.9252.8350.7052.39
方差24.977.2610.380.557」8
注：**衣示在1%显著44水平上存在李节桂.*表示在1%显著44水平上存在李节性。
图8季调优化后的频谱圉
图8为采用本文方法季调后序列的频谱图，与现有方法季调后序列的频谱图相比。随着频率上升，振幅也在下降，但下降中的波动幅度稳定，即在季节频率处，谱尖峰不再明显。本文采用的方法改善了现有PMI数据季节调整的质量。
3结论
本文通过时域检验和频域分析，考察PMI指数季节调整中的线性滤子的选择，并考察数据扩展的质量改善效果。结论如下：
(1)现有PMI季节调整后序列仍存在明显的季节性，2012年是现有季调方法和数据特征改变的分水岭。真空渗碳炉
(2)与传统二阶段选项相比，选择3x5季节滤子带来的频率阻带较为平稳，历史修正较小。
(3)Henderson趋势滤子选择9项为最佳，此时与PMI数据特点相符.既能去除短期波动，又不会造成趋势信息损失。
(4)由于现有PMI序列仍然较短，采用后向扩展两年的方法，可以有效提高季节调整的稳定性和对趋势的估计。
(5)本文采用的季调方法经检验不存在显著的季节性。无论采用时域检验还是频域分析，均得出了相似的结果，但频域分析更加直观和清晰。
统计与决策2020年第24期•总第564期
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动态投影灯
(责任编辑/易永生)
Time Domain Test and Frequency Domain Analysis on Seasonal Adjustment of
Manufacturing Purchasing Managers'Index
Meng Wenqiang立体剪裁
(College of Economics&Management,Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong266590,China)
Abstract:China has released manufacturing purchasing managers*index(PMI)data since2005.Due to the initial short data series,a seasonal adjustment method of short sequence was adopted,and then the X-l2method was adopted in2012.This paper uses time domain test and frequency domain analysis method to analyze the performance of the existing PMI seasonal adjustment and the selection of the linear filtering system in the process of seasonal adjustment of manufacturing PMI seasonal adjustment, and to investigate the quality improvement brought by the data expansion prediction.The research shows that there still exists obvious seasonality in the existing post-seasonal adjustment sequence,that the year2012has become the watershed of PMI data characteristics,and there is still room for improvement in the existing seasonal adjustment methods.The paper selects a3x5seasonal filter,which has relatively stable frequency stopband and smaller historical revision compared with traditional two—stage options.The Henderson trend filter selecting9items is the best,which is consistent with the characteristics of PMI data,able to remove short-term fluctuations without causing the loss of trend information.Since the existing PMI series is still short,adoption of backward two-year expansion method can effectively improve the stability of seasonal adjustment an
d the trend estimation.Both time domain test and frequency domain analysis come to the similar result,but frequency domain analysis is more intuitive and clearer.
Key words:PMI;seasonal adjustment;linear filtering system;time domain test;frequency domain analysis
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