安培力的计算
【典型例题1】
如图62-1所示，由导线弯成一直角三角形的闭合导线框MNQ ，斜边MN 长为20 cm ，一个锐角∠MNQ 为30︒，框中通以图示方向5 A 的电流，放在与框面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为0.1 T ，求三边所受安培力的大小和方向，及整个线框所受的安培力的合力。 解答：由左手定则可知，三个力的方向如图62-2所示。
斜边MN 所受安培力的大小为F MN ＝BIL MN ＝0.1⨯5⨯0.2 N ＝0.1 N ，
直角边MQ 所受安培力的大小为F MQ ＝BIL MQ ＝0.1⨯5⨯0.2⨯sin 30︒ N ＝0.05 N ，
直角边NQ 所受安培力的大小为F NQ ＝BIL NQ ＝0.1⨯5⨯0.2⨯cos 30︒ N ＝0.05 3 N 。
将F MN 分解成垂直于NQ 和平行于NQ 的两个分力F 1和F 2，则
F 1＝F MN cos 30︒＝0.05 3 N ，F 2＝F MN sin 30︒＝0.05N ，所以整个线框所受安培力的合力为零。
分析：由此结论，求半圆形通电导线所受安培力时常可用其直径通以相同电流来代替。
【典型例题2】
如图62-3甲所示，通电直导体棒用两根橡皮绳悬挂于天花板上，已知导体棒长为L ＝60 cm ，质量为m ＝0.01 kg ，空间有垂直于导体棒与橡皮绳组成的平面的水平匀强磁场，磁感应强度为B ＝0.4 T ，则（1）橡皮绳无伸长时导体棒中的电流方向________，
大小为___________A ，（2）若通以向右0.2 A 电流时导体棒下降1 mm ，则通以向左0.2 A 电流时导体棒下降____________mm ，（3）
若磁场只存在于右边一半，两端用丝线悬挂，如图62-3乙所示，通以向左0.2 A 电流时，左边线中张力大小为___________N ，右边线中张力大小为__________N 。
解答：（1）橡皮绳无伸长时导体棒所受安培力必向上，由左手定则可知电流向右。
由BIL ＝mg ，得I ＝mg BL ＝0.01⨯100.4⨯0.6
A ＝512 A 。
（2）安培力大小为F ＝BIL ＝0.4⨯0.2⨯0.6 N ＝0.048 N ，重力大小为G ＝mg ＝0.1 N ，设
电流向右时每根橡皮绳的拉力大小为T 1，电流向左时每根橡皮绳的拉力大小为T 2，由导体棒受力平衡可得：2T 1＋F ＝mg ，2T 2＝mg ＋F ，
即T 1＝mg －F 2 ＝0.1－0.048
2 N ＝0.026 N ，
T 2＝mg ＋F 2 ＝0.1＋0.048
2
N ＝0.074 N ，
由T 2T 1 ＝x 2
x 1 ，可求得此时导体棒下降距离为x 2＝2.85 mm 。 （3）此时导体棒受力如图62-4所示，此时的安培力大小为 F ’＝BIL ’＝0.4⨯0.2⨯0.3 N ＝0.024 N ，
取棒的左端为轴，由力矩平衡条件得：T 2L ＝G L 2 ＋F ’3L
4
，
图62-1
× × 甲 乙 图62-3
2
所以T 2＝G 2 ＋3F ’
4
＝（0.05＋0.018）N ＝0.068 N ，
又T 1＋T 2＝G ＋F ’，所以T 1＝G ＋F ’－T 2＝（0.1＋0.024－0.068）N ＝0.056 N 。
分析：安培力是作用在磁场中有电流通过部分导体的中点。
【典型例题3】
如图62-5所示，质量为m 、长为L 、电阻为r 的金属棒搁在与水平面成α角放置的两平行光滑金属导轨上，导轨电阻不计，上端连一电阻R 和一内阻也为r 的电源，空间有一垂直于导轨平面斜向下、磁感应强度为B 的匀强磁场， 求：（1）此时棒中的电流，（2）电源的电动势。
解答：（1）改画出沿导体棒方向看去的视图，标出导体棒的受力，如图62-6所示，由共点力平衡条件得：
mg sin α＝F ＝BIL ，所以I ＝
mg微服务开发
sin α
BL
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（2）E ＝I （R ＋2r ）＝mg （R ＋2r ）sin α
BL
。
分析：在做受力分析时常把立体图改画成某个方向的视图。
【典型例题4】
如图62-7所示，一边长为L ＝5 m 、总重为G ＝0.2 N 的正方形通电线框可绕过其一边的OO ’轴自由转动，电流方向为adcba ，线框处于竖直向下的磁感应强度为B ＝1 T 的匀强磁场中，静止时线框与竖直平面的夹角为α＝37︒，则此时线框中的电流多大？
解答：把立体图改画成沿转动轴方向看去的视图，标出线
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框除转轴处外所受力，如图62-8所示，由力矩平衡条件得： G ⨯L
领衬2 sin α＝FL cos α＝BIL 2 cos α，所以 I ＝
G tan α2BL ＝0.2⨯0.6
竹筏船2⨯1⨯5
A ＝0.012 A 。
【拓展训练】
1．如图62-9所示，U 形导线框abcd ，三边长均为L ，可绕过ad 的轴转动，三边质量均为m ，电阻均为r ，处于竖直向上的匀强磁场中，框与竖直方向成30︒
角而平衡，则ad 间的电压为____________，电势较高的是__________点。
2．如图62-10甲所示，水平平行金属导轨上放一根质量为m 的金属棒，导轨间距为L ，电源电动势为ε，电阻为R ，电源内阻和导轨、金属棒电阻均不计，为使棒对导轨的压力为零，应加一磁场，其磁感应强度B 至少为
_____________，方向____________。若所加磁场的磁感应强度为B ，方向如图62-10乙，
图62-6
图62-7 图62-8
图62-9
甲 乙
图62-10
导轨光滑，则刚开始释放时金属棒的加速度大小为________________。
3．如图62-11所示，已知导体棒质量为m ，导电导轨光滑，倾角为α，间距为L ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向竖直向上，导体棒恰静
止在导轨上，则导体棒中的电流方向为_____________，大小为_____________。
4．如图62-12所示，导电导轨的间距为L ＝0.5 m ，倾角为α＝37︒，匀强磁场的磁感应强度为B ＝1 T ，方向垂直于导轨平面，电流为4 A 时导体棒ab 恰不下滑，电流为8 A 时导体棒恰不上滑，则ab 棒的质量为________kg ，棒与导轨间的最大静摩擦力大小为________N 。
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5．如图62-13所示，在倾角为α的光滑斜面上，置一通有电流I 、长为L 、质量为m 的导体棒，欲使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度的最小值为＿＿＿＿＿，此时B 的方向为＿＿＿＿＿，欲使棒静止在斜
面上且对斜面无压力，则磁感应强度B 的最小值为＿＿＿＿＿，方向为＿＿＿＿＿。
6．如图62-14所示的电流天平可用来测定磁感应强度，天平的右臂下挂有一矩形线圈，宽为L ，共N 匝，线圈下部悬在待测定的匀强磁场（虚线框内）中，磁场方向垂直于线圈平面，当线圈中通以顺时针流动的电流I 时，在天平两端各加上质量为m 1、m 2的砝码，天平平衡，当电流方向相反，大小不变时，右边再加上质量为m 的砝码后，天平重新平衡，试求磁感应强度的大小和方向。
图62-11
图62-12
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