同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案10-2
习题 10-2
1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ⎰=L
dx y x P 0),(. 证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段,
则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是 00) ,())( ,(),(2
121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dt da t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线,
证明⎰⎰=L b
a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到
b , 所以
⎰⎰⎰='=b
a L
b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)⎰-L
dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧;
解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以 ⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x 2
zne1042221556)()(. (2)⎰L
xydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中
指纹保管箱L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π,
L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a ,
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 因此 ⎰⎰⎰+=2
1L L L xydx xydx xydx ⎰⎰+'++=a
dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π 3020232)sin sin sin (a t td tdt a ππ
π-=+-=⎰⎰. (3)⎰+L
xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到 2
π的一段弧; 解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π
⎰==20202cos π
tdt R . (4)⎰+--+L y
x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 ⎰+--+L y x dy y x dx y x 2
2)()( ⎰---+=π20
2)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1
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dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ20
2221dt a a . (5)ydz zdy dx x -+⎰Γ
2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧;
解 ⎰⎰--+=-+Γπ
θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x 23322033
1)(a k d a k ππθθπ
-=-=⎰.
(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ
, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的
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一段直线;
解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.
⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1
0)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ⎰=+=1
013)146(dt t . (7)⎰Γ
+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);
解 Γ=AB +BC +CA , 其中
AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0,
BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,
CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1,
故 ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB
+-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 2
1=. (8)dy xy y dx xy x L
)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1) 到(1, 1)的一段弧.
解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故
⎰-+-L
dy xy y dx xy x )2()2(22 ⎰--+-=1
13432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21
042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++L
dy x y dx y x )()(, 其中L 是:
四爪螺母仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 (1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;
解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故
⎰-++L
dy x y dx y x )()( ⎰=⋅-+⋅+=2
122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;
解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故
⎰-++L
dy x y dx y x )()( 11]1)23()23[(2
1=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y (3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中
L 1: x =1, y =y , y 从1变到2,
L 2: x =x , y =2, x 从1变到4,
故 ⎰-++L
dy x y dx y x )()( dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21
-+++-++=⎰⎰ 14)2()1(4
121=++-=⎰⎰dx x dy y . (4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故
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⎰-++L猴车
dy x y dx y x )()( 332]2)()14)(23[(1
022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .
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