2020-2021备战中考数学备考之直角三角形的边角关系压轴突破训练∶培优易错 试卷篇附答案(1)
一、直角三角形的边角关系吹管消声器
1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，
2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？ 【答案】
【解析】
过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
顶网（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP
试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
毛竹片
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形低温油墨
又AB=BE
∴ABEF为菱形
（2）作PH⊥AD于H
由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP=
考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数
3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81
4
水焊机．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒
5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；
（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =95S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S △PQM =95
S △QCN ；（3）当t=2733-s 或2733+s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上． 【解析】
分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；
（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =95
S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可；
详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．
∵S △ABC =
12•AC•BE=814， ∴BE=92
， 在Rt △ABE 中，22=6AB BE -， ∴coaA=647.55
AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵S△PQM=9
5
S△QCN，
∴3•PQ2=93
5
⨯•CQ2，
∴9t2+（9-9t）2=9
5
×（5t）2，
整理得：5t2-18t+9=0，
电动睫毛器解得t=3（舍弃）或3
5
．
∴当t=3
5时，满足S△PQM=
9
5
S△QCN．
（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC，
∴∠MPQ=∠PQH=60°，
∴3，
∴39-9t），
∴2733
-．
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=3QH ， ∴3t=3（9t-9），
∴t=27+33， 综上所述，当t=2733-s 或27+3326
s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5
AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．
（1）求证：AP OQ =；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议