第42卷第5期兵工学报Vol.42No.5 2021年5月ACTA ARMAMENTARII May2021
根管挫与姿态的数值解法
李庠，李瑞琴，李辉，宁峰平
(中北大学机械工程学院，山西太原030051)安全带扣
摘要：针对3自由度3-RRR平面并联机构驱动与控制复杂、能耗大的问题，利用平行四边形运动链将其约束为单驱动3-RRR平面并联机构。通过数值解法计算单驱动3-RRR平面并联机构的连杆曲线与姿态，并分析重构对连杆曲线与姿态的影响。基于Freudenstein方程推导该机构的输入-输出方程；采用迭代算法建立方程的数值求解方法；通过改变机构的初始输入角，提出一种机构构型的可重构方法。给出一组机构参数作为数值算例，求解得到机构的两种构型，称为构型I和构型域，以构型I为算例，计算得到构型I重构前后的连杆曲线与姿态随输入角变化的规律。结果表明：理论曲线与仿真曲线相吻合，验证了求解方法的正确性；重构能够显著改变构型I连杆曲线与姿态。
关键词：3-RRR平面并联机构；单驱动；输入-输出方程；可重构；连杆曲线
中图分类号：TH112.1文献标志码：A文章编号：1000-1093(2021)05-1074-09
DOI：10.3969/j.issn.1000-1093.2021.05.020
A Numerical Solution of Coupler Curve and Orientation for Reconfigurable
Single-driven3-RRR Planar Parallel Mechanism
LI Xiang,LI Ruiqin,LI Hui,NING Fengping
(School of Mechanical Engineering,North University of China,Taiyuan030051,Shanxi,China)
Abstract:For complex driving and control and high energy consumption of3-DOF3-RRR planar parallel mechanism,the parallelogram kinematic chain is used to constrain the mechanism to a single-driven3-RRR planar parallel mechanism.The coupler curve and orientation of the single-driven3-RRR planar parallel mechanism are calculated using numerical method.The influence of reconfiguration on the coupler curve and orientation are analyzed.The input-output(IO)equation of the mechanism is derived based on Freudenstein equation.The numerical solution method of the equation is established using iterative algorithm.By changing the initial input angle of the mechanism,a reconfigurable method of mechanism configuration is proposed.A set of mechanism parameters was given as numerical example, and two kinds of configurations of the mechanism,which are called configuration I and configuration II,
收稿日期：2020-07-20
基金项目：山西省重点研发计划项目(201803D421027、201903D421051)；山西省面上青年基金项目(201801D221235)
作者简介：李庠(1996—)，男，硕士研究生。E-mail:lee.lixiang@qq
通信作者：李瑞琴(1964—)，女，教授，博士生导师。E-mail：****************
第5期可重构单驱动3-RRR平面并联机构连杆曲线与姿态的数值解法1075
were obtained.The variations of coupler curve and orientation with the input angle for configuration I and reconfigured configuration I were obtained.Results show that the theoretical curves are consistent with the simulated curves,and the solution method is correct.The reconfiguration can significantly change the coupler curve and orientation of configuration I.
Keywords:3-RRR planar parallel mechanism；single-driven；input-output equation；reconfiguration；
coupler curve
0引言
目前，在多工件多位姿的搬运、装配、包装等领域主要采用多驱动的并联机构［1］、串联机构［2］或者连杆机构［3］来实现。多驱动的并联机构由于其正解复杂，导致其控制系统复杂，而单驱动能够简化控制系统，使机构摆脱对传感器的依赖，显著降低连续驱动时的能耗。因此，实现多个精确位姿的单驱动平面并联机构在工程上有重要的应用价值。
3-RRR平面并联机构是典型的平面并联机构，相关文献研究了其运动学和动力学性能［4-8］o Li等［9］研究了3-RRR机构的曲柄存在条件，揭示了该机构的可转动性。Zhang等［10］采用转换驱动模式的方法，在不改变其拓扑结构、不增加冗余的情况下消除平面3-RRR机构的域型奇异性。Quintero-Riaza等［11］提出了一种平面并联机构的尺寸综合方法并应用于3-RRR机构，能够优化得到预期的灵巧度好、传动力大、覆盖特定工作区间的机构。
有些学者将平面并联机构约束为连杆机构，进行机构综合分析。Soh等［12］提出由一个平面并联机构约束两个R-R(转动-转动)的曲柄综合方法，设计出能够实现5个指定位姿的8连杆机构。Chen 等［13］通过一个连杆连接两个4连杆，生成一种能够实现11个指定位姿的8连杆机构。Chung［14］提出将两个4杆机构串联起来转化为可以实现17个指定位姿的连杆机构，但该机构具有两个自由度。Suarez-V e lasquez等［15］提出了一种1自由度的连杆机构，可以实现8个指定的位姿。
Bai等［16］提出的一种通过平行四边形机构约束3-RRR平面并联机构得到1自由度平面并联机构的连杆综合方法，计算得到动平台能够实现10个位姿。但该文献没有对输入-输出(IO)方程进行求解，必须借助计算机辅助设计(CAD)模型仿真结果确定方程的解属于机构的何种构型，因此还需要进一步研究机构运动轨迹与姿态的求解方法。
在此基础上，本文研究单驱动3-RRR平面并联机构的IO特性，提出一种IO方程的数值解法，利用此方法精确生成机构的连杆曲线(即运动轨迹)和姿态，能够判断在某一输入下得到的多个解分别属于机构的何种构型，摆脱构型分析对CAD模型的依赖；提出一种单驱动3-RRR平面并联机构的重构方法，计算机构重构后的连杆曲线与姿态。
13-RRR平面并联机构的数学表示
传统3自由度3-RRR平面并联机构如图1(a)所示，需要3个原动件同时驱动，在通过指定多个位姿的连续运动中，需要传感器实时检测机构的运动位置，驱动电机还需要频繁地进行正/反转的切换，经常进行加速、减速运动，能耗较大，控制系统复杂。为改善以上问题，本文在实验室已有3自由度3-RRR平面并联机构的基础上，提出一种单驱动3-RRR平面并联机构，在实现指定多个位姿的同时，降低软件与硬件成本和能耗。
单驱动3-RRR平面并联机构如图1(b)所示。图1(b)中,A i、B i、C,(i=1,2,3)表示第i个支链的各转动关节,
G、H为支链2约束支链1、支链3的转动关节,l1i表示杆B i C i的长度,12i表示杆A i C i的长度，e—e2表示动平台A］A2、A2A3的边长，0i0表示第i个支链的初始角度为固定在B2点的静坐标系。3-RRR平面并联机构有3个原动件，但杆0G与B3C3分别被C1G与C3H约束，形成两个平行四边形连杆B i C GB2和B3C3HB2.由于杆B］C i、B3C3的转角兹10、兹30分别与B2C2的转角兹20相差兹1-2=兹10-兹20、兹3-2=兹30-兹20,3个角度可以相互表示，故机构自由度为1.使用兹2丿作为输入角兹,，其中j表示机构处于第j个姿态：当机构处于初始姿态时j=0；当杆B2C2转过某一角度兹时，会带动B t C和B3C3同时转过兹角，此时兹,=兹20+兹.
1076
兵工学报第42卷
I运动控制器一毎
/驱动电机1
|驱动电机2|
砸动电矗
(a)3自由度3-RRR平面并联机构
(a)3D0F3-RRR planar parallel mechanism
(b)单驱动3・RRR平面并联机构
(b)Single-drived3-RRR plamar paralle mechanism
图13-RRR平面并联机构
Fig.13-RRR planar parallel mechanism
为了便于描述，将静坐标系固定在b2点，动坐标系固定在动平台的A2点并随之移动，如图2所示。图2中，O a X a Y a为固定在A2点的动坐标系，以支链b2c2a2为例，使用向量b表示B的位置(由于b2为0向量，故不在图2中标出)，向量吆二20表示A2.C2的初始位置，向量«120表示初始位姿下A2指向A1的向量。当机构处于第j个位姿时，用向量r j和角度物描述动平台的位置和姿态，向量ag描述仏、C2的位置表示A指向A1的向量。支链B1C1A1和支链b3c3a3同理可表示。
假设连杆a2c2为刚体，可得
(a2j一C2j)(a2j一C2j)=(22,(1)同理可得关于£0与去C3的方程，故(1)式可写为
式中：a ij=r j+Q j a i20;c劝=b i+R j c;,c;=c；0一亿;Q j R.为平面旋转矩阵,0=Q(准.)、R j=R(e}).
故(2)式可以写为
(r j+Q j a i20一b i-R jC i)T•
图2机构原动件的初始姿态与第j个姿态Fig.2Initial orientation and jth orientation of driving
link of the mechanism
(r j+Q j a i20一亿-RjC：) =Z；.(3)
r0-1-令R,=cos兹.I-sin兹.E,I为单位矩阵,E=,
L10_则(3)式可重写为
d T d ij-C i T C i一2d T C i cos兹一2£j Ec：sin兹一Z2i=0，
(4)式中：d ij=r j+e ij,e ij=Q j a i20一b i-
(4)式简写为
J i cos兹,+K i sin兹,+L i=0,(5)
1J1J17
式中J、K i、L i均为系数，
J i=d J c；,
仏=d T E c；,(6)
Zi=(侥一rr j-e：j e ij一c：T c；)/2-re ij-
(5)式即为机构的综合方程。
2单驱动3-RRR平面并联机构的IO方程建立单驱动3-RRR平面并联机构的I0方程，便于研究机构的连杆曲线与姿态，判断机构的构型情况。
图3所示为I0分析的机构运动简图。图3中，滋为杆A1与杆的夹角，冷为杆C2与杆A3的夹角，琢为杆A1A与杆S的夹角，鬃1为杆A C2与线C1c2的夹角，鬃2为杆A2C2与线c2C3的夹角，滓为线C1C2与线c2C3的夹角，〃1、d分别为C点到C1点、C3点的距离。
对图3所示机构的任一个位姿，使用Freuden-stein方程将平面连杆机构的I0
方程写成无量纲
第5期可重构单驱动3-RRR平面并联机构连杆曲线与姿态的数值解法1077
图3IO分析的机构运动简图
Fig.3Kinematic diagram of the mechanism for IO analysis
形式：
k11-k/os I滋1-k^cos鬃1+
cos鬃］Cos I滋1-sin鬃］Sin“1=0,(7a)
丘21-k22cos y滋2-k zs Cos鬃2+
cos^2cos1滋2-sin^2sin y滋2=0,(7b)
式中：k11、k12、k13为等效4杆机构A1C1C2A2的
Freudenstein参数,
1 k13122e
1(8)
cos(鬃2+滓)cos(y滋2+琢)-
sin(鬃2+滓)sin(y滋2+琢)=0,(12)
(12)式简写为
D1cos鬃2+E1sin鬃2+戸=0,(13)式中：
D1=-k13cos滓+cos(滓+琢)cos滋2-sin(滓+琢)sin滋2,
<E1=k13sin滓-sin(滓+琢)cos滋2-cos(滓+琢)sin滋2,
F=kn-k12cos琢cos滋2+k^sinasin滋2・
(14)
同理，(7b)式可写为
耳机绕线器D2cos鬃2+E2sin鬃2+F2=0,(15)式中：
网络视频编码器
©2=-k23+cos y滋2,
E2=-sin田，(16)
=k21-k22Cos I滋2.
联立(13)式、(15)式，可得
f鬃E1F2-F1E2
cos鬃2=D e2-DE，
{(17)
.,D1F2-D2F1
|sin鬃2=-D1E2-D2E1，
得到最终的IO方程为
f“2)=(E1F-F1E2)2+(D1F-DF1)2-
(D1E2-D2E1)2=0,(18)
(18)式中只包含一个变量蚣，令t=tan(血/2)，利
用万能公式
k21、k22、k23为等效4杆机构A2C2C3A3的Freudenstein 参数,
.21 sin蚣=1Y t I，
2d2e2
2
为了方便求解，需要利用输入和输出角度的几何关系减少变量的个数，即
I滋1=2仔—I滋2—琢，（10）
鬃1=2仔-鬃2-滓，（11）式中：当给定输入角e｝后，利用几何关系计算可得滓.通过（10）式、（11）式消除内、鬃两个变量后，（7a）式可重写为
k n-k]2Cos（y滋2+琢）-k]3Cos（鬃2+滓）+将（18）式化为一个关于变量t的6次多项式，此时t 是可解的。得到t后，冷和鬃2也能够解出。当解出冷和鬃2后,A1,A2和A3都能用冷和鬃2表示,
a2j=C2j+R（鬃2）d2：22,
q=a27+R仏+琢-仔）R（鬃2）d e],（20）
、a3j=a2j+R（“2一仔）R（鬃2）d2e2,
当已知动平台3个顶点中任意2个顶点的位姿时，便可求得兮与准「假设已知A-A2两点的坐标，由图2可知,A]、A3可表示为
«17=r+Q（准7）（«10-«2g）+«20,（21a
）
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兵工学报
第42卷
a 3
= r j + Q ( 准j ) ( a 30 一 a 20
) + a
20
,
(21b)
(21a)式和(21b)式转置后相减，得
(a 1j
- a 3
j ) = [ Q ( 准j
) ( a 10
- ”
30
)]=
[cos 准 (a 10 - ”30)+ sin 准E ( a® - ”30)]'
(22)式等号两边同时右乘E (”10 -”30)，得
sin 准. = (
”1j
-
”
3j )T E (
”10
一 ”
30
)；
II
a
10
一
a
30 II
cos 准7 =
(22)式等号两边同时右乘”10 -”30，得
(a 1j - ”3j ) (
” 10 - ”30 )
II ”10 - ”30 II
令u = sin^j , v = cos^j ，则 物可表示为
准7 = arctan
(—),
(22)
(23)
(24)
(25)
此时,r 可表示为
r =旳 - ”20 -
Q(准)(”
10
- ”20)-(26)由于(18)式为6次多项式，最多具有6个实数
解，其每个解都是在机构原动件参数不变情况下的
不同构型，即机构除了图1所示的构型外，最多还存
在5种不同的构型。
3单驱动3-RRR 平面并联机构的重构方法
与IO 方程的数值解法
3.1机构的重构方法
机构重构简图如图4所示。图4中，兹re 为重构 角度，是B 1G 1与B 1C 1的夹角，俎0为重构后的初始 重构角。在杆B 1C 1的C 1点固定一个圆心为B ］、半
径为B 1C 1的圆弧形导轨，使G 1点能够沿着弧形导轨
滑动&re 后固定，以此改变机构的初始重构角&RE0,
此时俎0 =兹10 +圮，约束杆B 1 C 1的平行四边形变为 B 1G 1G 2B 2. %e 每改变一次，则实现对机构的一次重
构，每次重构后均可得到一个新的机构。在不同原
动件上增加弧形导轨，均能够实现对机构的重构，通
过此类方法可以得到若干个新的机构。不失一般
性，在此以杆B 1C 1为例，研究机构重构后连杆曲线 的求解方法。网页游戏开发技术
3. 2机构IO 方程的数值解法与重构后IO 方程的
数值解法
由于建立IO 方程时使用了万能公式，采用解析
法求解IO 方程各个参数时需要进行角度判定，从而
图4重构的机构运动简图
Fig. 4 Kinematic diagram of reconfigured mechanism
抱毯
增加了解方程的工作量。并且由于(18)式为6次
方程，可能存在多个实数解，但无法确定在不同输入
角兹下每个实数解之间的对应关系，导致难以求解 机构的IO 方程，因此本文提出一种IO 方程的数值
解法。
机构的初始位置如图1(b)所示，以点B 2为原
点，假设机构各设计参数与运动参数已知。计算
(8 ) 式、 ( 9 ) 式, 将 所 得 的 Freudenstein 参 数 代 入
(18)式、(19)式求解t.通过(19)式计算得到血的
所有实数解，即得到机构的所有构型。利用(17)式
解出鬃2，代入(20)式计算A-A ?、A 3在初始相位角
兹10时的值，此时r j 与准.均为0，将其作为MATLAB 软
件中fsovle 函数的初值代入(5)式中，计算当兹10转
过一个微小角度△兹后兹的r j 与物，并得到此时A 1、
A 2、A 3的值。再将此时的r 』与准.作为fsovle 函数的初
值代入(5)式中，计算转过一个微小角度△兹得到 新的输入角兹时机构的r ，与准.，得到此时A ］、A 2、A 3
的值，以此循环，直到兹=360毅时，即可获得机构的
连杆曲线。
若已知机构某一位姿，则可将该位姿代入不 同构型的方程中(参数t 、“2、鬃2以及动平台初始位
姿不同)，检查计算是否收敛，以此判断该位姿属
于何种构型，也可判断不同位姿下t 的多个解的 关系 。
当机构重构时只改变了机构的初始重构角 &RE0，故上述方法同样适用于重构后的机构。在求
解时，只需要改变机构的初始重构角，重复上述方法 即可得到机构重构后的连杆曲线，计算流程如图
5
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