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中国地质大学（北京）继续教育学院 2013年03课程考试
《复变函数与积分变换》模拟题（开卷）（补） 一．判断题1．函数若在某点可导一定在该点解析。 （ × ） 2. 若函数f (z )在区域D 内解析，则f (z )在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0。（ × ）
3. 的一阶极点。 （ × z z z sin 0是=）
4. 不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。 （ ∨ ）5．函数在某区域内的解析性与可导性等价。 （ ∨ ）
纸张阻燃剂6．若函数f (z )=u (x,y )+i v (x,y )在区域D 内解析当且仅当连续且满足柯西-黎y v x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,，曼方程。 （ × ）7．的本性奇点。 （ × 2cos 10z z z -=是）8．若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。 （ × ),(),(y x v y x u 是),(),(y x u y x v 是）二．填空题1．= 1 。4)11(i i +-2．设求的虚部= 。,iy x z +=3z 3 23y y x -3．= 。dz z z ⎰=-2||11i π24．的孤立奇点的类型为 极点 （可去奇点、极点、本性奇点）。211(-+z z 5．L [t 2+3t +2]= 。s s s 23223++6. = 1 。 33131(i i -+
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按键板7. 的收敛半径为 ∞ 。∑∞=0!n n n z 8． 函数的解析区域为 。 142522++-z z z 为复数z i z ,2±≠9． 的孤立奇点的类型为 本性奇点 （可去奇点、极点、本性奇点）。 z e 110. 设C 为正向圆周|z|=1，则= 0 。⎰+-C 2dz )i 1z (1
竹炭颗粒三．计算题1. 分别给出的三角形式的指数形式.i z 43+-=解： ，,54)3(||22=+-=z 34arctan 2)34arctan(-=++-=πππk Argz 因此三角形式为))34tan sin()34arctan (cos(5acr i z -+-=ππ指数形式为 )34arctan (5-=πi e z 2. 判断下列函数在何处可导，何处解析？
1）； 2）22)(iy x z f +=)3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=解：1）四个偏导函数均连,2,0,0,2,),(,),(22y y v x v y u x x u y y x v x y x u =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==续，但柯西黎曼方程仅在x=y 处成立，故函数在x=y 处可导，x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，处处不解析. (4分)2) ,6,33,3),(,3),(223223xy y u y x x u y y x y x v xy x y x u -=∂∂-=∂∂-=-= 显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程,33,622y x y v xy x v -=∂∂=∂∂处处成立，所以函数处处可导，处处解析. x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,3. 设C 为正向圆周|z |=3，计算积分I=。⎰-+dz z z z )2)(12(关于管路高中资料试卷下都可以正常工作；对于可能地缩小故障高中资 中国地质大学（北京）继续教育学院 2013年03课程考试
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解：因为函数在内的奇点为：,)2)(12(-+z z z 3||≤z 221=-=z z 和 首先由复合闭路定理有， ⎰⎰⎰==--++-+=-+=C z z dz z z z dz z z z dz z z z I 1|||2|1)2(12)2(12)2(12）（）（）（由柯西积分公式有：i z z i dz z z z dz z z z i z z i dz z z z dz z z z z z z z z z ππππ54122212)2)(12(5)2(22)(2)2()2)(12(2|2||2|1||1||11121=+=-+=-+=-=+-=-+==-=-=-==⎰⎰⎰⎰所以.)2(12)2(121|||2|1i dz z z z dz z z z I z z π=-++-+==⎰⎰==-）（）（ 本题也可按留数定理去做.4．求函数的傅里叶变换。⎩⎨⎧>≤=0,00,)(t t e t f t 解：F [f (t )]= .ωωωωωωj e j dt e dt e e dt e t f t j t j t j t t j -=-===∞--∞--∞--+∞∞--⎰⎰⎰1111)(0)1(0)1(05．求下列各函数在孤立奇点处的留数。1) ；2cos 1z z -2) 在z=2处的留数；)3)(2(1+-z z z 3) 。11sin -z 解：1） 0是的奇点，因为，故z=0为可去奇点，2cos 1z z -212sin lim cos 1lim 020==-→→z z z z z z 因此 .0]0,cos 1[Re 2=-z z s 2）z=2是的一阶极点，故)3)(2(1+-z z z 检查和检测处理。术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有资料试卷主要保护装置。ap劫
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.101)3)(2(1)2(lim ]2,)3)(2(1[Re 2=+--=+-→z z z z z z z s z
3）z=1是的本性奇点，因为在1<|z|<+∞11sin -z ， +---+--+---=--1253)1()!12(1)1()1(!51)1(!311111sin n n z n z z z z 故.1]1,11[sin Re 1==--C z s 6．求解微分方程.1)0(,sin )()(-==+'x t t x t x 解： 设L [x (t )]=X (s ) 对方程两边实行拉普拉斯变换得到 211)()0()(s s X
X s sX +=+-即 211)(1)(s s X s sX +=++所以，s s s s s s s s X +-+++-=++-=11211121121)1)(1()(2222故.)cos (sin 21)(t e t t t x ---=7．判断函数在何处可导，何处解析？ )2()()(22
2y xy i x y x z f -+--=解：,2),(,),(22
2y xy y x v x y x y x u -=--=y x y v y x v y y u x x u 22,2,2,12-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程x v y u y v y x x x u ∂∂-=∂∂∂∂=-=-=∂∂,2212需在处成立，故函数在处可导，处处不解析. 21=y 21=y 8．已知，求以v (x,y )为虚部的解析函数f (z )且f (i )=-1。323),(x xy y x v +-=解：显然是调和函数. 因f (z )解析，由柯西-黎曼条件，323),(x xy y x v +-=完毕，要进行检查和检报告与相关技术资料，除从而采用高中资料试卷
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，
x u
xy y v y u x y x v ∂∂=-=∂∂∂∂-=+-=∂∂6,3322 由上面第一式得到：代入第二式得),(323x y x y u ϕ+-= 有，因此
,6)(6xy x xy x u
-='+-=∂∂ϕC x x ==')(,0)(ϕϕ
,3),(23C y x y y x u +-=,
)3(3)(32323C iz xy x i C y x y z f +=-++-=因.2,1,1)(4-=-=+-=C C i i f 故.
2)3(23)(32323-=-+--=iz xy x i y x y z f
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