摘要
在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何有很多相互应用之处.本文就线性代数与空间解析几何之间的相互应用做些初探.首先，线性代数在空间解析几何中的应用，包括，齐次线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何中的应用，三元一次线性方程组的解判断平面位置关系，二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线的一般方程中的应用.其次，空间解析几何在线性代数中的应用，包括，代数问题的几何化意义，线性代数概念及问题的几何解释，线性代数中解析几何的应用.通过本文的讨论来说明线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的.可以更确切一点的说空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广并使之抽象化. 关键词：线性代数，解析几何，相互应用
Each application of linear algebra and space
analytic geometry Abstract In our learning process, can be found a lot of mutual application in linear algebra and space analytic geometry. This paper do some research on mutual between the application of linear algebra and space
analytic analytic geometry. Firstly, application, linear algebra in spatial geometry including, application of homogeneous linear equations, the matrix rank in space in analytic geometry, three yuan for a solution of the linear equations determine the plane position, application of general equation theory and methods of two type to simplify two times, two times the surface curve. Secondly, the application, the space analytic geometry in linear algebra, geometry significance algebraic problems, geometric interpretation of linear algebra concepts and problems of the application of analytic geometry, linear algebra. Through the discussion of the paper to illustrate the linear algebra and space analytic geometry is the mutual connection, mutual promotion. Can be a little more precise to say is the space analytic geometry is the cornerstone of linear algebra and linear algebra is generalized, and space analytic geometry the abstraction.
Keywords: linear algebra, analytic geometry, the use of each other
一、引言 ....................................................... 1
二、线性代数在空间解析几何中的应用 ............................. 1
（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用 ................. 1
（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系 ......... 4
（三）二次型理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用 . 5
（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用 ....................... 6
三、空间解析几何在线性代数中的应用 ............................. 9
（一）代数问题几何化意义 ................................... 9
（二）几个线性代数概念的几何化解释 ........................ 11
1.关于行列式的几何背景[6] ............................... 11
2.关于正交变换的几何意义 ............................... 13
3.关于正交化的几何解释 ................................. 13
（三）两个线性代数问题的几何解释 .......................... 13
1.线性相关与线性无关 ................................... 13
2.施密特正交化 ......................................... 14
（四）线性代数中解析几何的应用 ............................ 15
四、结束语 .................................................... 16
五、参考文献 .................................................. 17
一、引言
线性代数起源之一是解线性方程组.线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数,即使是解析几何,直线、平面方程都是线性的,平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关.在十七世纪,笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系，从而在几何与代数间建立了一座桥梁，用代数方法解决空间的几何问题,产生了解析几何.解析几何的产生，可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价：数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，运动进入了数学，有了变量，辩证法进入了数学，有了变量，微分和积分也就成了必要的了. 人们也注意到，对于变量不多于三个的某些代数问题，如果将其解释为相应的几何问题,有助于代数问题的解决.车架总成当处理变量个数多于三个的问题时,直观的几何解释不再存在,但是数学家从几何学的经验中汲取直觉，把几何空间的矢量运算规律抽象出来，形成了有限维矢量空间理论，建立空间基的概念，将坐标系的概念推广到抽象的线性空间中，再将其中得到的理论应用于几何空间.历史上，几何与代数互为问题，互为方法，相互交融.解析几何为线性代数提供了一些几何背景,而线性代数又为解析几何提供了有力的工具.本文的目的就是浅谈线性代数与空间解析几何的相互应用.
二、线性代数在空间解析几何中的应用
（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用
⎧a11x1+a12x2+ +a1nxn=0⎪ax+ax+ +ax=02112222nn[2] 定理：齐次线性方程组⎪ ⎨ ⎪⎪⎩an1x1+an2x2+ +annxn=0
有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零.即
一次性奶茶杯a11
D=a21
储酒罐an1 a22 a2n=0 an2 anna12 a1n
只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零.即
D≠0
1
该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的.
例1:若矢量a同时垂直于三个不共面向量a1,a2,a3则a=0.
证明:设ai={ai,bi,ci},i=1,2,3, a={x,y,z}
a1,a2,a3不共面
a1b1c1
∴a2b2c2≠0
a3b3c3
又烟气脱硝催化剂 a同时垂直于a1,a2,a3,
⎧a1x+b1y+c1z=0⎪∴⎨a2x+b2y+c2z=0
⎪ax+by+cz=033⎩3 (*)
a1b1c1
a2b2c2≠0
a3b3c3
故齐次线性方程组(*)只有零解,即
x=y=z=0,从而a=0
例2：求由不共线三点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)所确定的平面π的方程.
解: A∈π,
∴设π的方程为:a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0,其中a,b,c至少有一个不为零.
同理, B∈π,C∈π,所以有:
a(x2-x1)+b(y2-y1)+c(z2-z1)=0
a(x3-x1)+b(y3-y1)+c(z3-z1)=0
于是可得到一个关于a,b,c的齐次线性方程组:
2
⎧(x-x1)a+(y-y1)b+(z-z1)c=0⎪⎨(x2-x1)a+(y2-y1)b+(z2-z1)c=0
⎪(x-x)a+(y-y)b+(z-z)c=03131⎩31
∵a,b,c不全为零,
∴该方程组至少有一个非零解,由定理知,其系数行列式的值为零,即
x-x1y-y1
y2-y1
y3-y1z-z1z2-z1=0 z3-z1 x2-x1x3-x1
此即光固化打印机π的方程.
例3:求四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)在同一平面
上的充要条件.
解:设A,B,C,D共面于平面ax+by+cz+d=0 (a,b,c不全为零),则有
⎧ax1+by1+cz1+d=0⎪ax+by+cz+d=0⎪222 ⎨⎪ax3+by3+cz3+d=0
⎪⎩ax4+by4+cz4+d=0 (*)
则(*)是关于变量KDYTTa,b,c,d的齐次线性方程组.又由于a,b,c不全为零,故a,b,c,d不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非零解的充分必要条件是: x1
y1y2
y3
y4z1z2z3z4=0 x2x3
x4
此亦为所求.
例4:试证三平面aix+biy+ciz=0 i=(1,2,3)共线的充分必要条件是: a1
a2
a3b1b2b3c1c2=0 c3
证明:显然坐标原点(0,0,0)是三平面的一个公共点.于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点,也就是方程组: 3
⎧a1x+b1y+c1z=0⎪ ⎨a2x+b2y+c2z=0
⎪ax+by+cz=033⎩3
有无非零解的问题,于是由定理知其充要条件是: a1
a2
a3b1b2b3c1c2=0 c3
（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系
线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用，下面以一个三元一次线性方程组为例[4].
设空间中三个平面π1,π2,π3,其方程为:
⎧a1x+b1y+c1z=d1(π3)⎪ ⎨a2x+b2y+c2z=d2(π2)
⎪ax+by+cz=d(π)3333⎩3
其系数矩阵为A,增广矩阵为A,那么方程组的解可以分为以下几个情形:
1.如果r(A)=r(A)=r,三个平面有公共点,方程组有解.
①如果r=3,方程的系数矩阵可逆,则方程存在唯一解,这时三个平面相交于一点.
②如果r=2,方程组的解等价于某两个线性无关的解,存在无穷多个解,此时三个平面相交于一条直线.
③如果r=1,三个方程组重合为一个方程组,方程组有无穷多解,三个平面重合.
2. 当r(A)≠r(A),三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知1≤r(A)<r(A)=r(A)+1.
① 如果r(A)=2,r(A)=3,设A=(a1,a2,a3),则分为两种情况: T
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