一、单项选择题
1．(2021·辽宁省实验中学期中)已知F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 2 9＝1的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆于A ， B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝()
足球加工
A ．6
B ．7
C ．5防误闭锁
D ．8
2．已知椭圆C ：y 2
9＋x 2＝1，过点P A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线
A ．9x －y －4＝0
B ．9x ＋y －5＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋y －5＝0
3．(2021·广州市高三调研)已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，A(2，0)，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥PA ，其中O 为坐
标原点，则点P 的坐标为()A ．(23，±223
)
B ．(
253，±2
3
)C ．(－23，±22
3
)
D ．(－
253，±2
3
)4．(2021·河北冀州中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.F 2也是抛物线E ：
y 2＝2px(p>0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为()
A.
5－12
B.2－1
C ．3－5
D.2＋1
压刨5．椭圆x 216＋y 2
4＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是(
)
A ．3
B.11
C ．22
D.10
6.(2021·成都七中期末)已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)．过
F 1(－2，0)作倾斜角为60°的直线l 交上半椭圆于点A ，以F 1A ，F 1O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形OF 1AB ，点B 恰好也在椭圆上，如图，则b 2＝()
A.3
B ．23
C ．43
D ．12
二、多项选择题
7．设椭圆x 29＋y 2
3＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0<m<3)与椭圆交于A ，B 两点，则(
)
A ．|AF|＋|BF|为定值
B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]
C ．当m ＝
3
2
时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6
8．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为6
3
，过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是(
)
A ．椭圆方程为y 2
3＋x 2＝1
B ．椭圆方程为x 2
3＋y 2＝1
C ．|PQ|＝
23
3
D ．△PF 2Q 的周长为43
三、填空题与解答题
9．直线m 与椭圆x 22＋y 2
＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线
OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．
10．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个
交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
11．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →
，则当m ＝________时，
点B 横坐标的绝对值最大．
12．已知椭圆C ：x 22＋y 2
4＝1，过椭圆C 上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C
于A ，B 两点，求直线AB 的斜率．
13．(2021·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若与直线OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．
14．(2020·贵州毕节市三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 分别为椭
圆的上、下顶点，直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E ，若∠F 1AF 2＝60°，则直线BE 的斜率为________．15．(2021·西安八校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为223，
直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的右焦点，且与x 轴垂直时，|AB|＝2
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 作业8.6椭圆（二）参考答案
1．答案D
解析
本题考查椭圆焦点三角形的周长．由椭圆方程可知a ＝5，由题意可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，
所以△ABF 2的周长为4a ＝20.若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝20－12＝8.故选D.
2．答案B 解析
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2
＝1
x 12＝1，x 22＝1，
两式相减
得y 12－y 229＋x 12－x 22
＝0，得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋
x 2)＝0，又弦AB 被点
P x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得
y 1－y 2
9＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2
＝－9，即直线AB 的斜率为－9
，所以直线AB 的方程为y －1
2＝－
9x ＋y －5＝0.
3．答案A
解析
设P(x ，y)，由OP ⊥PA ，得OP →⊥PA →，所以OP →·PA →
＝(x ，y)·(2－x ，－y)＝x(2－x)－y 2＝0，与椭圆
方程x 24＋y 2＝1联立，解得x ＝23y ＝±223，即点P 的坐标为(23，±223)，故选A.
4．答案B
解析
由题意可知，p
2
＝c ，则p ＝2c.所以E ：y 2＝4cx.因为F 1(－c ，0)，直线AF 1的倾斜角为45°，所以直
线AF 1
的方程为：y ＝x ＋c.＝x ＋c
，2
＝4cx ，
＝c ，＝2c ，
所以A(c ，2c)．因为F 2(c ，0)，所以AF 2⊥F 1F 2.在Rt
△AF 2F 1中，|AF 2|＝2c ，|AF 1|＝22c.由椭圆的定义得：|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即22c ＋2c ＝2a ，解得c
a ＝2－1.
故选B.5．答案D
解析
设椭圆
x 216＋y 2
4
＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝
双面斜纹布d max ＝
|－42－2|
5
＝10.6.答案
B 解析
依题意可知，c ＝2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
因为四边形OF 1AB 为平行四边形，所以y 1＝y 2，又x 12a 2＋y 22b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，所以x 2＝－x 1，
又F 1A ∥OB ，且直线F 1A 的倾斜角为60°，所以
y 1x 1＋2＝y
2x 2
＝3，因为y 1＝y 2，x 2＝－x 1，所以x 1＝－1，x 2＝1，y 1＝y 2＝3，
所以A(－1，3)，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋3
b 2＝1①，又
c ＝2，所以a 2－b 2＝c 2＝4②，
联立①②解得a 2＝4＋23，b 2＝2 3.故选B.7．答案ACD
解析
设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF ′|＝6为定值，A 正确；
△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF 的周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝3
2
与椭圆方程联立，可得A ，B 的坐标为(－
332，32)，(332，32
)，又∵F(6，0)，∴AF →·BF →＝(6＋332)(6－332)＋(3
2)2＝0，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；
将y ＝1与椭圆方程联立，得A ，B 的坐标为(－6，1)，(6，1)，
∴S △ABF ＝1
2×26×1＝6，D 正确，故选ACD.
8．答案ACD
解析
由已知得，2b ＝2，即b ＝1，c a ＝6
3
，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，
∴椭圆方程为y 23＋x 2＝1，如右图，∴|PQ|＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.9．答案－12
解析
设P 1(x 1，y 2)，P 2(x 2，y 2)，P(x 中，y 中)，由点差法可求出y 2－y 1x 2－x 1
＝－12·x 2＋x 1y 2＋y 1＝k 1，即k 1＝－12·x 中
y 中，
而k 2＝y 中x 中，∴k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－1
2.
高苏宁
10．答案3－1
解析
由直线y ＝3(x ＋c)知其倾斜角为60°，
由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a.即e ＝2
3＋1
＝3－1.11．答案
5解析
方法一：由题意知A ，B ，P 三点共线．①当AB 所在直线斜率不存在时，点B 的横坐
标为0，显然此时点B 的横坐标的绝对值不是最大值．②当AB 所在直线斜率存在时，设斜率为k(k ≠0)，则直线AB 的方程y ＝kx ＋1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
y 2
＝m ，kx ＋1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，则Δ＝(8k)2－4(1＋4k 2)(4－4m)＝64mk 2＋16(m －1)>0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－
8k
1＋4k 2，x 1x 2＝4－4m 1＋4k 2
.①又AP →＝2PB →
，故x 1＝－2x 2.②
将②代入①得，x 2＝
8k 1＋4k 2，x 22＝2m －21＋4k 2，两式相除，整理得kx 2＝m －14.由x 22
＝2m －21＋4k
2得2m －2＝x 22＋4(kx 2)2＝x 22＋
（m －1）
2
4
，故x 2
2＝2m －2－（m －1）
2
4
＝－14(m 2－10m ＋9)＝－1
4
(m －5)2＋4.
故当m ＝5时，x 22有最大值4，此时点B 横坐标的绝对值最大．
方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →
x 1＝2x 2，－y 1＝2（y 2－1），
即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点
A ，B
3－2y 2）2＝m ，y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－1
4(m －5)2＋4≤4，
所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.12．答案2
解析
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k(x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2－2k(k
－2)x ＋k 2
－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22
k 2＋2，
由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1
x 2－x 1＝2，即直线AB 的斜
率为 2.13．答案
(1)x 2
4
＋y 2＝1(2)9110
解析
(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)b 2＝3，
＋34b 2
＝1，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)直线OP 的方程为y ＝
32x ，设直线AB 的方程为y ＝3
2
x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2
－4(m 2－1)>0，得m 2<41＋x 2＝－3m ，1x 2＝m 2－1.
由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即OA →·OB →
＝x 1x 2＋y
1y 2＝x 1x 2
1＋2＋＝74x 1x 2＋3
2
m(x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m)＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝7
5<4.
脱毛机胶棒又|AB|＝
1＋34·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝7
2
·4－m 2，
O 到直线AB 的距离d ＝
|m|
1＋
34＝|m|72，所以S △AOB ＝12|AB|·d ＝12×72×4－m 2×|m|72
＝91
10.
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