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摘要说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性 在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.
在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.
六个定理的顺序：
①确界原理②单调有界定理
③闭区间套定理④致密性定理
⑤柯西收敛原理⑥有限覆盖定理
按以下顺序给予证明：
③⑥④⑤①②③
1 闭区间套定理有限覆盖定理1
闭区间套定理若闭区间列an,bn满足：
加工助剂acr①an,bnan1,bn1，n=1,2,3,；
②limbnan=0 ；n
则存在唯一，使得liman=limbn=，是所有区间的唯一公共点. nn
有限覆盖定理若开区间所成的区间集E覆盖一个闭区间a,b，则总可从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖a,b.
证明用反证法设a,b不能被E中有限个区间所覆盖.等分区间a,b为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E中有限个区间所覆盖，把这一区间记为a1,b1.再等分a1,b1，记不能被E中有限个区间所覆盖的那个部分区间为a2,b2.照这样分割下去，得到一个区间列an,bn，这区间列显然适合下面两个条件：
（i）每一an,bn皆不能被E中有限个区间所覆盖；（ii）
a,ba1,b1a2,b2；
（iii）bn-an=ba→0；2n
有条件（ii）及（iii），于是由闭区间套定理，必有唯一点a,b使an→，bn→.按覆盖概念及定理所设条件，在E中至少存在一个开区间，设为,，使
, 即＜＜有数列极限的性质知道，正整数N，当n＞N时，有＜an＜bn＜
即当n＞N时，有
自动融雪设备an,bn,
也就是用E中一个区间，就可覆盖所有形如an,bn﹙n＞N﹚的区间，与（i）矛盾.
定理证毕
2 有限覆盖定理致密性定理2
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致密性定理有界数列必有收敛的子列.
证明设xn为有界数列，a是它的一个下界，b是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立：
（i）a,b，使在的任何邻域中都有xn的无穷多项；
（ii）对任何xa,b，都存在x的一个邻域xx,xx，使其中只含xn的有限多项.
如果（ii）成立，则开区间族xx,xxxa,b构成a,b的一个开覆盖.于是由有限覆盖定理知，其中必有有限子覆盖.由于每
个区间中都只含xn的有限多项，故有限个开区间之并也只含xn的有限多项.但另一方面又应该包含
xn的所有项，矛盾.这表明（ii）不能成立，即必是（i）成立.
11考察的邻域序列n,n.由（i）知，每个邻域中都含有xn 的
11无穷多项.首先在区间1,1中取一项，记为xn1，然后因，中
22含xn的无穷多项，故可在其中取得下标大于n1的一项记为xn2，一般地，当
1111
由于,xnk，取定之后，中含有xn的无穷多项，
kkk1k1
故又可在其中取得下标大于nk的一项记为xnk1。这样就可以得到子列xnk，满足条件
axnk＜
n
1
，k=1,2,3, k
当然有limxnk=，即xnk是收敛的子数列. 定理证毕
3 致密性定理柯西收敛原理
柯西收敛原理数列xn有极限的必要与充分条件是：＞0，
正整数N，当
m,n≥N时，有
xnxm＜证明首先证明条件的必要性：
设xn→a，则＞0，正整数N，当k≥N时，有xka＜
2
从而当m,n≥N时，有
xnxm≤xna+axm＜其次，证明条件的充分性：
首先，证明满足条件的任何数列必有界，从所设条件，取=1必正整数N0，当m,n≥N0时，有
xnxm＜1 特别的，当n＞N0且m=N0+1时，有xnxN01＜1 从而当n≥N0时，有
xn≤xnxN01+xN01＜1+xN01
il这就证明了xn的有界性，由致密性定理知，必有收敛的子列xnk，设m
+= 22
n
蓄电池隔板xnk=a，
根据子列收敛定义，＞0，正整数K，当k＞K时，有xnka ＜
体育看台取一正整数k0=maxK1,N1，于是k0＞K且nk0≥nN1≥N+1＞N，因此当n＞N时，有已知条件有xnxnk0＜，所以
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