么
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么么么么么么么么么么么么么么
一、选择题
线”，对于双曲线E：x
2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)，c为双曲
线的半焦距，如果a,b,c成等比数列，则双曲线E（）.
A.可能是“黄金双曲线”
B.可能不是“黄金双曲线”
C.一定是“黄金双曲线”
D.一定不是“黄金双曲线
2.已知双曲线C1:x24-y2=1，双曲线C2:x2
a2
-y2
b2
=1
()
a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C1、
点，且OM⊥MF2（O为原点），若SΔOMF
2=
16，则双曲
A.x236-y92=1
B.x24-y2=1
C.x216-y42=1
D.x264-y162=1
3.已知双曲线C1：y2
a2
-x2
b2
=1及双曲线C2：x2
b2
-y2
a2
=1()
a>0,b>0，且C1的离心率为5，若直线y=kx ()
k>0与双曲线C1，C2都无交点，则k的值是（）.
A.2
B.12
C.5
D.1
4.设双曲线M与双曲线N的中心都为坐标原点，
对称轴都为坐标轴，双曲线M与双曲线N的离心率分
别为e1,e2，若双曲线M的实轴长是双曲线N的实轴长
的2倍，它们的虚轴长相等，则点()
e1,e2必在（）.
A.双曲线y2-4x2=3上
C.双曲线4x2-y2=3上
D.椭圆x2+4y2=3上
5.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3，则动点P
的轨迹是（）.
A.双曲线
B.双曲线左边一支
C.一条射线
D.双曲线右边一支
6.已知椭圆x216+x27=1的左、右焦点F1,F2与双曲
线x
2
a2
-x2
b2
=1()
a>b>0的焦点重合.且直线x-y-1=0
与双曲线右支相交于点P，则当双曲线离心率最小时
的双曲线方程为（）.
A.x2-x28=1
B.x26-x23=1
C.x27-x22=1
D.x25-x24=1
7.设F1、F2分别为双曲线x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足
|
|PF2=||F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的
实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线y2=4x的准线
围成三角形的面积为（）.
A.34
B.35
C.43
D.53
8.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，
左右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交
点为P，ΔPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若
|
|PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1
与e2满足的关系是（）.
A.1e
1
+1e
2
=2 B.1e
1
-1e
2
=2
C.e1+e2=2
D.e2-e1=2
二、填空题
9.若M为双曲线C1：x2
a2
-y2
b2
=1（a>0，b>0）右
支上一点，A，F分别为双曲线C1的左顶点和右焦
点，且ΔMAF为等边三角形，双曲线C1与双曲线C2：
x2
42-y
2
b'2
=1（b′>0）的渐近线相同，则双曲线C2的虚
轴长是_____.
10.已知双曲线Γ过点()2,3，且与双曲线x24-y2
=1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为_____.
11.已知F1、F2是双曲线C：x2
a2
-y2
b2
=1的左、右
焦点，点M在双曲线C上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F161
高考链接
=23，则双曲线C两条渐近线夹角的正切值为______.
三、解答题
12.已知双曲线C：x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)与双曲线
x216-y24=1有相同的渐近线，且双曲线C过点()4,3.
(1)若双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C
视野图上有一点P，使得∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积；
(2)过双曲线C的右焦点F2作直线l与双曲线右支交于
A，B两点，若△F1AB的周长是403，求直线l的方程.
13.已知双曲线x25-y2=1的焦点是椭圆C：
x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率
互为倒数.（1）求椭圆C的方程；（2）设动点M，N在
椭圆C上，且|
|MN=，记直线MN在y轴上的截
距为m，求m的最大值.
14.如图，F1,F2是双曲线x2-y2=1的两个焦点，
O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：
y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点.
（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式;
（Ⅱ）当
OA∙
OB=k2+1时，求
直线l的方程；
（Ⅲ）当
OA∙
OB=m()
k2+1，
且满足2≤m≤4时，求ΔAOB面
积的取值范围.
15.已知双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦
点，实半轴长为3.（1）求双曲线C的方程；（2）若直
线l:y=kx+2与双曲线C有两个不同的交点A和
B，且
OA∙
OB>2（其中O为原点），求k的取值范围.
参考答案及其解析
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】∵双曲线的方程为x
2
a2
-
y2
b2
=1()
a>0,b>0，
设c为双曲线的半焦距，∵a,b,c成等比数列，
b2=ac，又b2=c2-a2，
2222
∵e=c a,∴e2-e-1=0，
又e>1，∴，
所以双曲线一定是“黄金双曲线”，故选C.
2.【答案】D.
【解析】双曲线C1:x24-y2=1，则其离心率为e1=
，
设F2()
比重瓶法
c,0，双曲线C2的一条渐近线方程为
y=b
a
x，即bx-ay=0，
则
|
|MF2=bc
a2+b2
=b，||OM=c2-b2=a，
由SΔOMF2=16可得12ab=16，所以ab=32，
又因为双曲线C1、C2的离心率相同，
则
ì
í
î
ïï
ïï
e2=c a=
c2=a2+b2，
ab=32，
解方程组可得a2=64,b2=16，
所以双曲线C2的方程为.x
2
64-y16
2=1.
3.【答案】B.网络视频传输
【解析】双曲线C1：
y2
a2
-x2
b2
=1及双曲线C2：
x2
b2
-y2
a2
=1，是共渐近线的双曲线，则直线y=kx()k>0
与双曲线C1，C2都无交点，只能是直线和双曲线重
合，渐近线方程为:y=±
a
b
x，因为c
a=5，所以1+b
2
a2
=5，
所以
b
a=2,a b=
12.因为k>0，故k为12.
4.【答案】C.
【解析】设双曲线N的方程为x
2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)，
则双曲线M的方程为x
2
4a2-y
2
b2
=1或y24a2-x2
b2
=1，
所以e22=1+b2a2,e21=1+b24a2，
则e22=1+4()e2-1，即4e12-e22=3.
所以点()
e1,e2必在双曲线4x2-y2=3上.
5.【答案】D.
【解析】∵||PM-||PN=3<||MN且||PM>||PN
∴动点P的轨迹为双曲线的右边一支.故选：D.
6.【答案】D.
62
【解析】因c =16-7=3，故F 2(3,0)，设交点P (t ,t -1)
(t >0)，则PF 2=(t -3)2+(t -1)2=2t 2-8t +10，右准
线方程为x =a 23，点P 到这条直线的距离为d =t -a 2
3
，所以3a =t -a 3
即(3t -a 2)2=2a 2t 2-8a 2t +10a 2，也即(2a 2-9)t 2-2a 2t +10a 2-a 4=0，该方程有正根，所以
Δ=4a 4-4(2a 2-9)(10a 2-a 4)≥0，解得a 2≤5或a 2≥9，
所以当a 2=5时，双曲线的离心率最小，此时b 2=9-5=4，应选D.
7.【答案】C.
【解析】依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾
股定理可知|PF 1|＝24c 2-4a 2=4b ，
根据双曲定义可知4b -2c ＝2a ，整理得c =2b -a ，代
入c 2＝a 2+b 2整理得3b 2-4ab ＝0，求得b a =4
3，
∴双曲线渐近线方程为y ＝±4
3
x ，即4x ±3y ＝0，
∴渐近线与抛物线的准线x =-1的交点坐标为：æè
öø-1,43，æèöø-1,-43，
∴三角形的面积为1
2×1×83=43
.故选C.
8.【答案】B.
【解析】由椭圆与双曲线定义得e 1=
2c 10+2c ,e 2
=
2c
10-2c ，所以1e 1-1e 2
丙烷脱氢制丙烯
=4c 2c =2，选B.
二、填空题9.【答案】815.
【解析】由题意，A （-a ，0），F （c ，0），M (c -a 2,3()
c +a 2
)由双曲线的定义可得
c +a c -a 2-a 2c =c a
∴c 2-3ac -4a 2=0，
∴e 2-3e -4=0，∴e =4，即c a =4∴b
a
=15又双曲线C 1
与双曲线C 2：x 242-y 2b
'2=1（b ′>0）的渐近线相同，所以b ′4
=15∴b ′=415
则双曲线C 2的虚轴长是815.
故答案为815.
10.【答案】y 22-x 2
8
=1.
【解析】设与双曲线x 2
4
-y 2=1有相同的渐近线的
双曲线方程为x 2
4
-y 2=λ()λ≠0，将点()
2,3代入方
程有4
4-3=λ，所以λ=-2，则所求双曲线方程为
y 22-x 2
8
=1.11.【答案】4
3
.
【解析】由题，F 1()-c ,0，因为MF 1与x 轴垂直，
所以将x =-c 代入x 2a 2-y 2b
2=1中可得y =±b 2a ，
所以||MF 1=b 2
a
，
由双曲线的定义可得||MF 2=2a +||MF 1=2a +b 2a
，因为sin ∠MF 2F 1=2
3
，
即sin ∠MF 2F 1=
|
|MF 1||MF 2=b 2
a 2a +
b 2a
=23
，所以b =2a ，即渐近线为y =±2x ，
设两条渐近线的夹角为αæè
öø0≤α≤π
2，
所以tan α=||||||2+21-22=43
.故答案为43.三、解答题
12.解：(1)设双曲线C ：x 216-y 24=λ，点()
4,3代入
得：λ=14，∴双曲线C ：
x 24-y 2=1，在△PF 1F 2中，设||PF 1||=m ,PF 2=n ，
∴ìí
î
ï
ï||m -n =4，①cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-202mn =12，②
由②得()m -n 2
+2mn -20=mn ，
16+2mn -20=mn ，mn =4，
∴S △PF 1
F 2=1
2
mn ∙sin 60=3；
(2)∵C △F 1
AB =|
|AF 1||+BF 1||+||AB =AF 2||+2a +BF 2+
2a +||AB =8+2||AB =403，∴||AB =83
，
1°当直线AB 斜率不存在时，||AB =1，不符合题
意（舍），
2°当直线AB 斜率存在时，设AB ：y =k ()
x -5，联立：ìíîïïy =k ()
x -5，
x 2
4
-y 2=1，63
高考链接
∴()4k 2-1x 2-85k 2x +20k 2
，
∴||AB =1+k 2
||x 1-x 2=
4()
k 2+1|
|4k 2-1=83，解得：k =±1，此时Δ>0，∴直线l 方程：y =x -5或y =-x +5.
13.解：（Ⅰ）双曲线x 2
5
-y 2=1的焦点坐标为()
±6,0，离心率为.
因为双曲线x 25-y 2=1的焦点是椭圆C ：x 2a 2+y 2b
2=1（a >b >0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒
数，所以a =6，且，解得b =1.
故椭圆C 的方程为x 2
6
+y 2=1.
（Ⅱ）因为||MN =>2，所以直线MN 的斜率
存在.
因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y =kx +m .
代入椭圆方程x 2
6
+y 2=1得()1+6k 2x 2+12kmx +
6()m 2-1=0.
因为Δ=()12km 2
-24()1+6k 2
()m 2-1=24(1+6k 2
-
m 2)>0，所以m 2<1+6k 2.设M ()x 1,y 1，
N ()x 2,y 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2=-12km 1+6k 2
，x 1x 2
=
6()m 2-11+6k 2
.则||MN =1+k 2
||x 1-x 2=.
因为||MN ，
即.整理得m 2
=-18k +39k +7
9()
1+k 2
.令k 2+1=t ≥1，则k 2=t -1.
所以m 2=
-18t 2
+75t -509t
=19éëêùûú75-æè
öø18t +50t ≤75-2×309=53.等号成立的条件是t =
53，此时k 2=23，m 2=5
3
满
足m 2<1+6k 2，符合题意.故m 的最大值为.
14.解:（Ⅰ）∵圆O :x 2+y 2
=2，∴d =||b k 2+1
=2，
即b 2=2()k 2
+1()k ≠1；（Ⅱ）设点A ()x 1,y 1、B ()x 2,y 2，由ìíî
y =kx +b ，
x 2-y 2=1，得
()1-k 2
x -2kb -()b
2
+1=0，
∴x 1+x 2=2kb 1-k 2，x 1x 2=-b 2
+11-k 2
，
∴ OA ∙
OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+()kx 1+b ()kx 2+b =()k 2+1x 1x 2+kb ()x 1+x 2+b 2
=()1+k 2
æèçöø
÷-b 2+11-k 2
+kb ∙2kb 1-k 2+b 2=k 2+1，∴k 2=2，k =±2，
b =±6，因此，直线l 的方程为y =±2x ±6；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
-11-k
2=m ，∴k 2=1+1m
，∴b 2-k 2=k 2+2∴||AB =1+k 2
||x 1-x 2=1+k 2
∙，又O 到AB 的距离d =2，
3d眼镜制作
∴S ΔAOB =12
||AB ∙d =2()4m +1()
2m +1=[]
310,334.
15.（1）解：设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b
探头板2=1(a >0,b >0)，a =3,c =2∴b =1，
故双曲线方程为x 2
3
-y 2=1.
（2）解：将y =kx +2代入x 2
3
-y 2=1得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0，
由{
1-3k 2≠0，Δ>0，
得k 2≠13，且k 2<1，
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由 OA ∙
OB >2得，
x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)
=(k 2+1)x 1x 2+2k (x 1，
=(k 2+1)-91-3k 2+2+2>2，则13<k 2<3.又k 2<1，所以13<k 2
<1，即k ∈(-1,.
64
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