第21卷第6期
Vol.21No.6
Control anc Deczszon
2OO6年6月
Jun.2OO6收稿日期:2OO5-O4-25；修回日期:2OO5-O9-2O.
碟形螺母
作者简介：李志军(1978 ) 男 河南平顶山人 讲师 博士 从事模型预测控制~鲁棒控制的研究；刘吉臻(1951 )
男 山西岚县人 教授 博士生导师 从事电厂大机组智能优化控制的研究.
文章编号:1OO1-O92O(2OO6)O6-O641-O5
李志军1 刘吉臻2 谭
文2
(1.北方工业大学机电工程学院 北京1OOO41; 2.华北电力大学自动化系 北京1O22O6)
摘
要：针对饱和约束系统提出了一种鲁棒模型预测控制算法 分别考虑了多面体不确定性和结构反馈不确定性. 考虑无穷时域的最坏二次性能指标 通过采用带有饱和特性的反馈控制结构 将控制律的求解转化为一个在线的线性矩阵不等式优化问题.初始时刻优化问题的可行性保证了闭环控制系统的鲁棒稳定性.最后的仿真结果说明了算法的优越性.
关键词：鲁棒模型预测控制；模型不确定性；线性矩阵不等式；饱和中图分类号:TP 273
文献标识码:A
Robust Model Predictive Control f or saturated systems
Ll zhz -jun 1 LlU Jz -zhen 2 TAN Wen
2
(1.College of Electromechnically Engineering North China univer ity of Technology ei ing 1OOO41 China ;
2. e artment of Automation North China Electric Po er univer ity ei ing 1O22O6 China .Corre on ent : hi - un E -mail :li 78 16
3 )
bstract :A ro u t mo el re ictive control algorithm for aturate y tem i ro o e in hich olyto ic uncertainty an tructure fee ac uncertainty are re ectively con i ere .An infinite hori on or t -ca e ua ratic function i con i ere a erformance o ective . y u ing a aturate fee ac control tructure the control la i o taine y olving a linear matri ine uality ( )o timi ation ro lem on -line .The fea i ility of o timi ation ro lem at the original time im lie ro u t ta ility of the clo e -loo y tem .
ey ords : o u t mo el re ictive control ; o el uncertainty ; inear matri ine uality ; aturation
引
言
模型预测控制( PC )自2O 世纪7O 年代末出现
以来 已经在很多工业领域得到了广泛应用.近年来 考虑模型不确定性的鲁棒模型预测控制( PC )的研究引起了人们的普遍关注 许多学者
都提出了不同的 PC 算法 1 7
. PC 通常采用
最坏情况下( or t -Ca e )的性能指标 1 从而需要
引入 in - a 优化技术求解控制律.然而 in - a 优化问题的求解通常是很困难的 othare 2 提出了一种基于 的 PC 算法 它考虑了无穷时域二次性能指标 通过采用一个线性状态反馈控制结构 将控制律的求解转化为一个 优化问题.这个算法的提出对 PC 的发展提供了一个方向.文献
3 4 提出了采用N 个控制自由度的 PC 算法;
u 5
和 u 6
分别给出了针对结构反馈不确定性系
统和线性参数变化系统的算法形式;Cu ola 7
提出
采用多个 ya unov 函数的一种改进算法.
本文分别针对多面体不确定性和结构反馈不确定性系统 提出了采用饱和状态反馈控制结构的 PC 算法 给出了闭环系统的鲁棒稳定性条件.
不确定性系统描述
多面体不确定系统描述如下:
( 1) A( ) ( ) ( )u( ) ( ) C ( )
A( ) ( ) O
Co A 1 1 A L L
.(1)
其中: ( ) n u( ) ( )
是系统的状态~输入和输出; A z z
是凸多面体 的所有顶点.
CO 指由其中元素形成的凸包，即[A(k),B(k)]E O 等价于存在标量 z >O，使得对V k >O，都有
尾气吸收塔
A(k)=
Z L
z=1
z
A z
,
B(k)=
Z L
z=1
z
B z
,
Z L
z=1
z
=
1, z }O,z =1,-,L.(Z )
结构反馈不确定系统如图1所示，它由一个已
知的线性时不变对象G 和不确定部分的A 构成~
图1
结构反馈不确定性系统描述
状态空间方程为I(k +1)Z(k) y(k)=A
B 1B Z
C 1
D 11D 1Z C Z D Z 1
D Z Z I(k) (k)
u(k), (k)=AZ(k).
(3)
其中,I(k)E R n ,u(k)E R m ,y(k)E R P 是系统的状态~输入和输出; (k),Z(k)E R g ,A 属于集合
A ={diag(61l 11,-,6s l 1s ,A 1,-,A t ),6z ,
l Z -l Z , 6z 1,A j ,l U j
Z -l U j Z ,
A j
>
1,Z s
z=1
1z +
Z
t
j=1
U j =g}.(A)
这是一个既有重复块又有满块组合形成的不确定性，定义与A 对应的集合为
超分散剂应用涂料工业
变速轮F ={diag(E 1,-,E s ,c 1l U 1,-,c t l U t ),
E z E R 1z >1z ,E z =E T z >O,z =1,-,s,
c j E R,c j >O,j =1,-,t}.( )
很明显对任意的A E A,E E F，都有AE =EA.
此外，假设系统的输入饱和约束为u z 1,z =1,-,m，输出约束为y 1 y 1,max ,1=1,-,P.指出当系统的饱和上界不为1时，通过对输入矩阵的归一化总可以使饱和上界达到1.
3
鲁棒模型预测控制
考虑上述两种不确定性系统，假设状态完全可
测，控制目标是调节系统的初始状态I O 到原点.定义k 时刻的鲁棒性能指标为
max [A(k),B(k)]E O OF AE A (k)=
Z
>
z=O
[I T (k +z)k)@O I(k +z\k)+
u T (k +z\k)Ru(k +z\k)].(6)
I(k +z\k),u(k +z\k)分别指在k 时刻对k +z 时刻状态和输入的预测值，其中只有u(k\k)是在k 时
刻实际执行的控制输入.令U(k)=[u(k\k),u(k
+1\k),-,u(>\k)]，那么RMPC 的在线优化问题可描述为,
min
U(k)
max [A(k),B(k)]E O OF AE A
(k).(7)
定义二次函数V(I)=I T PI,P =P T >O，假设V(I)满足下列不等式,
V(I(k +z +1\k))-V(I(k +z\k)) -[I(k +z\k)T @O I(k +z\k)+
u(k +z\k)T Ru(k +z\k)].(8)如果鲁棒性能指标函数(6)是有界的(即优化问题是可行的)，那么I(>\k)=O，进而V(I(>\k))=O.对式(8)从z =O 到z =>求和，得到
max [A(k),B(k)]E O OF AE A
(k) V(I(k\k)).(9)
那么满足条件(8)的V(I(k\k))是性能指标(6)的上界，从而可以代替原有的性能指标.
考虑饱和反馈控制律
u(k +z\k)=S a r (F I(k +z\k)),z }O,(1O)其中S a r (u)=[S a r (u 1),-,S a r (u m )],S a r ()是幅值为1的饱和函数，即
S a r (u j )=u j ,-1 u j 1;
1,u j >1;-1,u j H G G <-1.
(11)
从而将求解无穷维控制变量U(k)的问题转化为求解状态反馈矩阵F .
令D 是m >m 维对角元素为1或O 的对角矩阵的集合，其中每一个元素表示为D z ，可以得到D =
{D z ,z E [1,Z m ]}，令D -z =l -D z ，那么D -z E D.
对饱和特性有下面的引理,
引理1[8]
令u,U E R m 且u =[u 1,u Z ,-,u m ]T ,
U =[U 1,U Z ,-,U m ]T ，假设U z 1,V z =1,-,m，那么
S a r (u)E CO{D z u +D -z U,z =1,-,Z m
}.(1Z )
由上述引理，假设反馈增益F ,H E R m>n ，那么对V I E X (H )={I,H I\> 1}(其中->表
示向量的无穷范数)，存在标量 z >O,z =1,-,Z
m
和矩阵H E R m>n ，使得
S a r (F I)=
Z Z
m
z=1
z管式反应器
(D z
F +
D -z H )I,
Z Z
m
z=1
z
=
1, z }O,V I E X (H ).
(13)
下面分别针对以上两种不确定性系统给出求解控制律的L M I 形式.
3.1多面体不确定性系统
令V(I(k\k)) 7且@=7P -1，那么由式(9)可得
Z
A 6控制与决策
第Z 1
卷
考虑控制器那么不等式可转化为
假设存在矩阵使得
那么饱和控制律可以用式描述又由
令那么得到式的一个充分条件为
又由式可以得到当采用控制器
时椭球是闭环系统的不变集即对
采用控制律都有
那么可以转化为如下的
其中是的第行考虑输出约束可得
不难将其转化为如下的
那么控制律的求解可转化为如下的优化问题
式
结构反馈不确定性系统
与上面的推导方法相同令是的上界且不难得到考虑控制器那么不等式可转化为由式对有
假设存在矩阵使得饱和控制律可以用式描述令由式
和能够得到式的一个充分条件即
同样地可转化为式输出约束等价于
其中分别是的第行
进而可得
其中那么可将优化问题转化为如下的优化问题
式
那么对上述两种不确定性系统本文提出的
算法可描述为
算法
测量
令求解优化问题或得到
施加时刻的控制作用
双片糊箱机令返回
第期李志军等饱和约束系统的鲁棒模型预测控制
鲁棒稳定性
定理考虑多面体不确定性系统或结构反馈不确定性系统如果在时刻优化问题或是可行的那么由算法构成的闭环系统是鲁棒渐近稳定的
证明这里只证明多面体不确定性系统结构反馈不确定性系统与之相同假设在时刻优化问题的最优解为
那么当采用饱和控制器时椭球
是闭环系统的不变集由有其中
即
因此在时刻满足约束又由于在优化问题中只有约束与实际状态有关那么
是优化问题在时刻的一组可行解经过递推也不难得到时刻优化的可行性意味着时刻优化的可行性根据约束条件可得
又假设时刻的最优解为
由最优解的性能目标不大于可行解的性能目标能够得到
进而
这表明是一个严格递减的函数闭环系统是鲁棒渐近稳定的
仿真实验
例考虑下面的多面体不确定性系统
假设图显示了在时系统的控制输入和状态轨迹其中实线虚线和点线分别代表提出算法文献中算法以及文献中的算法在自由度为时的控制结果图显示了文献中的算法与本文提出算法在每一个采样时刻得到的控制器增益的范数的比较
从仿真结果可以看出提出的算法具有更高的控制器增益从而能够更充分的利用控制输入范围控制性能优于文献中算法与文献中算法在控制自由度为时的控制效果相当
图时的输入和状态响应
图控制器增益的二范数比较
例考虑一个角度定位系统
其中采样时间为
参数的物理含义可参考文献输入约束
将系统转化为标准的结构反馈不确定性系统的形式定义
显然可得
假设控制器参数初始状态为分别采用线性反馈控制结构的算法和本文提出的带有饱和特性控制器结构的算法进行了仿真试验图和图分别显示了当为和时系统输入和输出的时间响应其中实线是提出算法的控制结果虚线是文献中
控制与决策第卷
图时的输出和输入响应
图时的输出和输入响应
算法的控制结果从图中不难看出本文提出的算法具有更好的控制性能
结论
本文针对饱和约束系统提出了一种鲁棒模型预测控制算法分别考虑了多面体不确定性和结构反馈不确定性算法采用了无穷时域的最坏性能指标以及带有饱和特性的状态反馈控制结构其控制律可以通过求解一个优化问题得到闭环系统的鲁棒稳定性取决于优化问题在初始时刻的可行性仿真结果表明与原有采用线性反馈控制结构的算法相比提出的算法能够更加充分地利用输入的约束范围提高控制性能
参考文献
上接第页
单梁强浩李军等基于映射的混沌优化算法
控制与决策
王凌智能优化算法及其应用北京清华大学出版社
第期李志军等饱和约束系统的鲁棒模型预测控制
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议