第47卷第2期
2021年4月Vol.47 No.2Apr. 2021曲阜师范大学学报Journal of Qufu Normal University DOI : 10.3969/j.issn.1 0015337.2()21.2.044
张琪,栾世霞
(曲阜师范大学数学科学学院,73165 ,山东省曲阜市)ttx2基板
摘要:研究了全空间上一类基尔霍夫问题的无穷多解,通过山路结构和临界点理论,得到了(PS)序列. 再利用Bartsch 的喷泉定理,得到了方程的多重解. 关键词:基尔霍夫型问题;喷泉定理;变分方法
中图分类号:O175.8 文献标识码:A 文章编号:0015337(2021)02004405
0引言
本文主要研究下述基尔霍夫型方程
—(+" V u 2 X ) △ u +V (x)u =f(x,u ),x € R N , (1 )
J R N a 为常数且 a >0,是一个参数,f € C(R N X R, R),F(x,u ) = ["f (x ,s)ds,s € R N .
J 0
过去几十年间,问题(1)是一个重要的非局部拟线性问题.因为当f 满足不同的条件就会得到不同的 结果,所以这类基尔霍夫问题及其结果已经得到了广泛的研究.例如,文献[4]在f 满足超线性的条件下,通 过变分方法和扰动方法得到了基尔霍夫问题的无穷多解.文献[3]在f 满足渐近线性的条件下,利用极大 极小方法和莫斯理论,得到了共振和非共振条件下基尔霍夫型方程的3个非平凡解的存在性.文献[8]提 出当f 满足适当的控制增长条件,通过最小化的讨论,得到基尔霍夫型方程的最小能量变号解.另外,当f 满足奇性条件,利用定量形变引理,得到基尔霍夫型方程的无穷多非平凡弱解. 当V(x )=0,A 为正常数,R N 被一个有界区域Q 取代时,问题(1)就简化为下述问题
— (a +b J Q V u 2d x )
=f (x ,u ) .基尔霍夫在文献[]中首次提出此方程.准确来说,与拟线性基尔霍夫方程
u t — (a +b )| V u |2 X ) = f (x , u )J Q
密切相关,是自由振动弹性绳的经典达朗贝尔波方程的扩展.自此方程提出后,方程()备受关注,早期的研 究成果见文献[57].事实上,在各种物理和生物模型的研究中,基尔霍夫问题也受到越来越多的关注[81214].
文献[5]通过下降流不变集的方法在R 3中得到无穷多变号解.文献[6]利用喷泉定理,在AR 条件 下,即3 u >4 ,R >0,使得I u I A R 时0<“F (x ,u )C uf (x ,u )得到了无穷多高能量解.利用变分方法, JinJ 和Xu X [i7]研究了当V (x )=1时在有界区域的基尔霍夫方程的无穷多径向解.受上述研究启发,在全空间上,我们给VX )增加一些条件,证明了无穷多解的存在性.
在主要结果证明前,我们假设V(x),f(x,u )满足以下条件:
(V i ) V(x )€C (R N ,R ),V(x )三 V (|x |)>V 0= inf V(x )>0,x € R N
x € R N
收稿日期:2020-10-12
作者简介:张琪,女,996-硕士研究生;研究方向:基础数学:E-mail : *****************;
通信作者:栾世霞,女,1972-,博士,教授;研究方向:非线性泛函分析;E-mail : *************** .
第2期张琪,等:基尔霍夫型方程的无穷多解45
(F i)存在4<p<2*,f(x,)|Cc(t+t p I)其中2
蓄电池隔板+*
,N=1,2.
(F2)lim fX,)=0x€R N.
,当11|f+*.
(F3)G()=4f()—F()>0,且G()f*
(F J存在常数R>0,满足lim F(x,)>0.
(F5)f(x,—1)=—f(xt),€R x€R N.
利用喷泉定理来求泛函的解,需验证(PS)条件成立.首先,由于在全空间H4(R n)上,很难验证(PS)序列的有界性,其次,由于非局部项[V u|2X的影响,得到一个有界的(PS)序列时,对于[V u”|2X f
R N R N
V u|2X极限的成立仍面临着困难.为了解决这些困难,我们使用径向对称的索伯列夫空间H;(R N)H4 (R N)为H4(R n)的子空间.于是,定义泛函I a u L H—CR N)-R
V u2d x+V(x)u2X+F(x,u)d x.
由(F i)知,a€C4,且I的临界点为问题(1)的弱解.设X=H l(R N丿则X T L q(RN)为紧嵌入q€(2, 2*).见文献[2,推论1.26]
1预备知识和主要结果
-I p定义了L p空间中的范数,u|=([u|s X);,C s C*.
J R N
X=H;(R N)定义了径向函数索伯列夫空间.设X=㊉X,,dim X j<*,'€N.令=@X,,
j€R N j=0
Z k=®X j,其中,X”,Xm〉=1若n=m;〈X”,X m〉=0若
j=k
B k={u€Y k:I u I
C p}N k= {u€Z k:I u I=r k},且p>r>0.
(a V u Vu+V(xCuv)drr(a V u|2+VX)u2)X)记为I u I.
C定义了不同的正常数.
定理1.假设(V i),F i)—(F5)成立,则存在A*>0,当A€(0,*)时,问题(1)有无穷解u,使得当k f*时,I a(u)f+*.
2引理及主要结果的证明
因为I a€C1,所以,对任意v€X有
〈I a'(u),v〉=(a V u Vu+V Ouv)X+入|V u|2X V u VuX―f(x,)u X.(4) J R N J R N J R N J R N
我们先介绍一下喷泉定理.
引理212]假设泛函卩€C4(X,R)满足卩(一u)=9(u),对于几乎处处的k€存在p k>r>0,使得
(i)a k=max卩(u)C();
u€Yk•u=Pk
(ii)b k=inf卩(u)f+*,当k
u€Zk■u=r
防震型投光灯46曲阜师范大学学报(自然科学版)
2021 年
(iii )对任意的c >0,满足(PS)条件;则卩有一个无界的临界值序列卩(u ) — + x ,—x.
证明 定义 c k = inf max *(y (u )) Y k =(7 € C (k X ) : b k =i d }.由(i )和(ii )知,存在 k € N ,
u€bk
+ \ 1f (x ,k)u k —F(x ’uk )〕d x J RN I 4 丿反证,假设{u }在X 中无界,即当k —x 时,I u I —+ x.由不等式()及条件(F 1 ),若{u }无界,贝」(7)式矛盾,所以{u k }在X 中有界.
引理2.5若{u k }在X 中有界,且当k —x 时I , (u )—0,贝」{u }在X 中有一个收敛的子列,为书
写方便,仍记为{u } •
证明 因为{u }在X 中有界,且索不列夫嵌入H 1(R N )T L p (R N )(p €[,*)为紧嵌入[3].于是, 可以假设子序列{u k U X ,使得
当 k >K 时,k >0,即 b k >a k .于是,存在{u ”}U X ,满足 c »—2e ”C *(u ”)C c » +2” I *'(u ”)|c ¥”,当 n —x 时,有 * u ”)—0 ,*(u ”)—5 .又因为 * € C 1( X , R ),所以,*(u ”)—* (u )*‘(u ”)—* (u ).由极限唯 一性知(u)=Ck *' (u )=0.即C 为泛函*的临界点,由c 的定义知c k $b k .
引理2.2假设条件(V 1),F 1) —(F 3)成立,则
鹰眼监控系统(a )存在 p >0,a >0,使得 I , (u ) $a >0,u € X 且 I u I =p .
(b )存在 e €X ,| e I >p ,*>0,当 0<A <A * 时,,()<().
证明 a )由条件(F 1)和 F )知,对任意的£>0有C >0使得
c- r F(x,u ) C — u |2 +----- u p 2p (5)
由索不列夫嵌入不等式,有
I a (u ) =1
(a 2J R N I u I 22V u |2 + V(x ) u 2) x +I u I 2 —c 2I u I p ,
V u 2d x )F (x ,)x $R N
c r —歹 u 12 — ; u p $ I 乡2 p | 2所以,由上式知,当I u I =p >0 ,充分小时,有I a (u )$a >0 ,即()成立.
(b )取 e €X ,满足 I )(e)<0 且 e €B p (0)则对于 0 < A <—2I 0(e )
V e 2d x )=A ,有
I A (e ) =I 0(e ) + V e 2d x )R N
因此,存在e €X J| e I >p 且I , ()<0其中0<A <A *,于是(b )成立.
引理233]设E 为巴拿赫空间E *为E 的对偶空间.*€C (E , R)存在a <0p >0u 1 €E 且I u 1 I >p ,满足条件 max{ * (0) , * (u ”)}C a <0C if * (u ).设 c $0 , = inf max * (y ())其中 A = {Y € C
u =p Y €A0C t C 1
(0,1],E ):Y (0) = 0,Y (1)=u 1}是连接0和u 之间的连续路径的集合.则存在{u ”}U E ,使得
I (u j ) — C $0,I ‘(u )— 0, — x .
由引理2.2和引理2.3,可知,存在一个(PS)序列{k U X ,满足
I a (u )— c > 0 , I'(u ) — 0 , — x
(6)引理2.4假设条件(V 1)和(F 3)成立,则(PS)序列{u }在X 中有界. 证明由(6)式得,
看门狗电路
c + 1 + I u ” I $ I A (u) — 1〈I'(u ),u 〉=
蒸煮炉(a V u |2 + V(x ) u ) x + |
| —f (x ,u )u — F(x,u ) x =J RN I 4 丿 *I u I 2
4
(7)
第 2 期张琪,等:基尔霍夫型方程的无穷多解
47
u *亠u ,在X ,u f u 在L p n N >b p e [,*/)
u f u 几乎处处在读N
接下来证明{u }有强收敛子列
<)'(k) 一 I A ’(u )— u > =
(a V w * V(u * ― u J + V(x)u (u * ― u ) J c X +入 | V u * |2 c X N u * V(u * ― u J c X ―J N J J N J J N
f (x ,u k )(u k —u )d x — [
(a V u V U * —u ) +V (x )u (u ,一 u ))x + A V u |2 x J N J N J J N
Vu V(u.k —u )d x — f (x ,u )(u k —u )d x ] =
J N J J N I u * — u I 2+A V u * |2d x v ”k V (u —u )d x —A V u |2 X
V u V ( u * 一 u J c X +J N J N J N J J N J N V u |2d x V u V U k —u )d x —A N V u * |2 X V u V (u * —u )d x —
J N N J N J J N k J J N J N (f (x ,u )—f (x ,u ))(u k u )d x =
I U * — u I 2+A V u |2d x f v u * —
u ) 2d x +A V u V (u * —-u J d x ( V u * |2 ―
J N J N J N J N J J N V u |2)X — (f (x u k J 一 f(x u ) U k 一 u ) X .
(8)J 臥N 显然,当n f x 时,等式左边和等式右边的中间两项趋于0.另外,由文献[2]的定理A.2,可以得到
f(x,u ”)f f(x,u ),在丄“读“)中 \ q = p
\ p — 1
由Holder 不等式可知
f U k > — f (x u > J U * — u J c X W f(x,u *)—f(x,u ) q \ u * 一 u \ p f 0.
J J N 当” fx 时,其中--------= 1.因此,由(8)式可得到当”fx 时,I u k —u I f(),所以在X 中{u k }有强收qp
敛子列U f U .
定理11的证明 由引理2.2,引理2.3,引理2.4可以得到有界的(PS)序列.由引理2.5,可知道IU) 满足引理2.1的条件(iii).另外,由条件(F 5)知,)满足I a (—u )= I a (u ).下面证明I a (”)满足引理2.1中 的条件(i >和(ii > .
首先验证(i )有条件(F 1Jb F 3)b F .1J 知,存在常数c >0,e N ,使得
F (X , U J 上 c 3 u 4 一 c 4 u |2.
则 I )(u J = 11 (a V u |2 + V (x J u 2) X + A (| V u |2X ) ― I F (x , u ) X W
2J j n 4J j n / J j n 2 I u I 2 +4 V u 4 — c 3 \ U | + c 4 U 2
因为在有限维空间Y *中范数等价,所以,当I u I =p ,充分大时b i )满足.
其次验证(ii )由条件(F 1),得
|F(x,u ) W ° u |2 +
|u p .2p 定义= sup
U p .u e Zk ■ u = 1由文献[2]知,当k fx,0*f ().所以,在空间乙中,由(9),(1))式及索不列夫嵌入不等式,得
IA (”> = 1 I U I 2 + A ([ V u |2x ) ― [ F (X , u (X 上2 4\J j n / J j n
(9)(10)
48曲阜师范大学学报(自然科学版)2021 年
取
— I u I 2_2I u I 2-加 I u I p .
(11)
■ (1 一 2c5)p ] p — r ~_因为p >2,所以当k f *,k f + *.将(12)式代入(11)式,得
(12)
I" (u ) A 1(1 _ 2")p
4c 號
当k f *,所以,条件(ii )成立.综上,定理1.得证.
参考文献:
[1 ] Kirchhoff G. Voicsungcn uber mathcmatischc Physik : Mcchanik , Teubner, Leipzig , 1883.
[2] Willem M.Minimax Thcorcms[M].Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications,24.Boston(MA):
Birkhauscr, 1 996.
[] Rabinowitz P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential E :quations[ ]. in : CBMS Re
gional Conference Series in Mathematics »Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences » Washington , DC, 1986,65:8-10.
[] Wang W B.nfinitcly many solutions for perturbed Kirchhoff type problemsJJ ].Electronic Journal of Qualitative Theory of
Differential Equations ,2019,2019:1-11.
[5] Poh oz acv S I. A certain class of quasilincar hyperbolic cquations[].Mat Sb(N S) , 1 975(96) : 152-1 66 ,1 68.
[6] Arosio A ,PanizziS.Onthewe l -posednessoftheKirchho f string [J ].TransactionsoftheAmerican MathematicalSociety.
1996,3/18(1):305-330.
[7] I)'Ancona P,Spagnolo S.Clobal solvability for the degenerate Kirchhoff equation with real analytic data[J ]. Invcntioncs
mathcmaticac , 1 992,108(2) ,47-262.
[8] ChenC ,Kuo Y ,WuT.The Neharimanifoldfora Kirchho f typeprobleminvolvingsign-changing weightfunctions [J ].J
Differential Equations ,201 1 ,250(4.) : 1876-1908.
[9] Deng Y ,Peng S,Shuai W..xistcncc and asymptotic behavior of nodal solutions for the Kirchhoff-type problems in R 3[j].J
Funct Anal ,2015,269(1 1.) : 3500-3527.
[10] He X,Zou W.Ground states for nonlinear Kirchhoff equations with critical growthJj ]. Ann Mat Pura Appl ( ) , 2014 , 1 93
(2):473-500.
[11] He X,Zou W. Existence and concentration result for the fractional Schrodinger equations with critical nonlincaritics[].
Calc Var Partial Differential Equations ,016 ,5(4.) :55-91.
[12] He Y , Li G , Peng S.Concentrating bound states for Kirchhoff type problems in R 3 involving critical Sobolev cxponcntsjj].
Adv Nonlinear Studies , 2014 , 14 (2) :4835 10.
[13] Pci R C,Ma C C. Multiple Solutions for a Kirchhof-Typc Equation [J ]. Mediterranean Journal of Mathematics , 2020 , 17
(7):85-93.
[14] Tang X H,Cheng B.Ground state sign-changing solutions for Kirchhoff type problems in bounded domains[].J Differen
tial Equations ,016,61(4.) : 2384-24 02.
[1 5] Liu Z L , Wang Z Q,Zhang J J .Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrodinger-Poisson systcm[].
Ann Mat,201 6,195(3) :775-794.
[16] He X M,Zou W M.Multiplicity of solutions for a class of Kirchhoff type problems]」].Acta Math Appl Sini ,010,6(3.):
387-394.
[17] Yc Y W 」nfinitcly many solutions for Kirchhoff type problcms[]. Nonlinear Anal,2013, 5(1) : 83-92.
[18] Isernia T.Sign-changing solutions for a fractional Kirchhoff cquation[J]. Nonlinear Analysis , 2020 , 190,1)OI : 10. 1016/j.
na.2019.1 1 1623.
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