线性二次型最优控制设计方法是20世纪60年代发展起来的一种应用较多的最优控制系统设计方法。设计对象是以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小值。 二次型公式的优点是它们可以导出易于实现和分析的线性控制率，因此本章主要对二次型最优控制设计问题作为重点讨论的问题。本章首先讨论连续系统的二次型最优控制设计问题，接着讨论离散系统的二次型最优控制设计问题，包括有限阶和无限阶（稳态）问题，然后讨论最少燃料控制设计问题。最优观测器设计，即Kalman—Bucy 滤波器也将在本章讨论。最后，讨论二次型高斯问题。
8.1连续系统的二次型最优控制
设线性定常系统的状态方程为引出线
)()()(t Bu t Ax t x += （8—1）
式中，)(t x 为n 维状态矢量；)(t u 为r 维控制矢量；A 为n n ×维常数矩阵；B 为r n ×维常数矩阵。假设控制矢量不受任何约束。 二次型性能指标为
∫=f
t dt u x L J 0),( （8—2）
式中，),(u x L 为x 和u 的二次型函数。若终端时间f t 趋于∞，则系统属于无限长时间状态调节器问题，可以证明，由此导出线性控制率为
)()(t Kx t u −= （8—3） 式中，K 为n r ×维矩阵。
因此基于二次型性能指标的最优控制系统设计，就简化为矩阵K 中元素的求取。
具体二次型性能指标如下：
∫∞+=0)(dt u R u x Q x J T
T （8—4） 式中，Q 为n n ×维半正定实对称常数矩阵；R 为r r ×维半正定实对称常数矩阵。
Q 和R 决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性最优控制的目标就
是求取)(t u ，使性能指标J 达到最小值。
8.1.1连续系统二次型调节器问题的求解
求解这类问题的方法有很多种，这里仅介绍基于Lyapunov 第二方法的求解方法。
通常，首先进行控制系统的设计，然后再检查其稳定性。但是，也可以先给出稳定性条件，然后在这些限制条件下设计系统。如果将Lyapunov 第二方法作为最优控制设计基础的话，则可以保证系统是渐进稳定的。而且对于很多实际控制来说，Lyapunov 函数与用于最优控制设计的二次型性能指标之间具有一种直接的关系。
将式（8—3）代入式（8—1）中，可得
)()()()()(t x BK A t BKx t Ax t x −=−= （8—5）
如无特殊说明，在下面的推导中设矩阵BK A −是稳定的，即BK A −的特征值均具有负实部。
将式（8—3）代入式（8—4）中，可得
∫
∫∞∞+=+=00)()(xdt RK K Q x dt Kx R K x x Q x J T T T T T （8—6） 对任意x 都有 )()(Px x dt
d x RK K Q x T T T −=+ （8—7） 式中，P 为正定实对称矩阵，可进一步推得
x P x Px x x RK K Q x T
T T T −−=+)( （8—8）
将式（8—5）代入式（8—8）中，可得
x BK A P P BK A x x RK K Q x T T T T )]()[()(−+−−=+ （8—9） 由Liyapunov 第二方法可知，对于给定的正定矩阵RK K Q T +，如果BK A −是稳定的，则存在正定矩阵P ，使得
)()()(RK K Q BK A P P BK A T T +−=−+− （8—10） 由此可求出J 为
)0()0()()()(00x P x x P x Px
x dt Kx R K x x Q x J T T T T T T −∞∞−=−=+=∞∞∫ （8—11）
由于假设矩阵BK A −是稳定的，因此0)(→∞x ，这样得到
)0()0(x P x J T
B的立体图
−= （8—12）即J 可由初始条件)0(x 和矩阵P 得到。
由于R 为正定实对称矩阵，因此可将R 写成
S S R T = （8—13） 式中，S 为一非奇异矩阵，式（8—10）可改写成
0)()(=++−+−SK S K Q BK A P P BK A T T T （8—14） 整理可得
0111=+−−−++−−−Q B PBR P B S SK P B S SK PA A T T T T T T T ])([])([
（8—15） J 对K 取极值就要求下式对K 取极小值
x P B S SK P B S SK x T T T T T T ])([])([11−−−− （8—16） 由于式（8—16）为非负，其最小值为零，即有
P B S SK T T 1)(−=
（8—17） 因此可以求得最优反馈增益矩阵K 为
P B R P B S S K T T T 111)(−−−== （8—18） 最优控制)(t u 为
)()()(1t Px B R t Kx t u T −−=−= （8—19） 式（8—19）中的矩阵P 必须满足式（8—10）或者满足下列方程：
01=+−+−Q P B PBR PA P A T T （8—20） 把式（8—20）称为代数黎卡提（Riccati）方程。
系统设计步骤如下：
（1）解黎卡提方程，求得矩阵P 。如果正定矩阵P 存在（对有些系统，可
能不存在正定矩阵P ），则系统是稳定的或矩阵BK A −是稳定的。
（2）将矩阵P 代入方程方程式（8—18），得到的即为最优反馈增益矩阵K。
8.1.2连续系统二次型调节器问题的拓展
二次型调节器问题可以从多方面拓展。这里将讨论其中的两种，即在目标函数中带有交叉乘积项及带有预制稳定度的调节器。
1、带有交叉乘积项
当非线性系统线性化，或将一个非线性目标函数用一个二次型函数近似时，目标函数经常会出现如下状态变量和输入控制交叉的形式。
[]∫∫∞
∞
+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)(dt
x N u Nu x Ru u Qx x dt u x R N N Q u x J T T T T T T （8—21） 如果考虑进入系统的功率时，或在目标函数中包含y y T 项)(Du Cx y +=时，目标函数也会呈现式（8—21）的形式。
对于这种目标函数，修正后的黎卡提方程为
0)()(1=+++−+−Q N PB R N PB PA P A T T （8—22） 最优控制为
)()()()(1t x N P B R t Kx t u T +−=−=− （8—23） 稳定的最优控制存在的唯一条件为),(B A 完全可控，),(1W N BR A T −−完全可观测，而W 是使T T N NR Q WW 1−−=成立的任一矩阵。医院新风系统
熔断器底座
2、带有预制稳定度的调节器
若设计一个调节器时，预先给定一个正定的标量α，要求系统的极点位于虚轴左侧，
距离为α的地方，则要求对目标函数进行修正。修正的目标函数为
鞋架
∫∞
+=02)(dt Ru u x Q x e J T T t α （8—24） 对应的黎卡提方程为
0)()(1=+−+++−Q P B PBR I A P P I A T T αα （8—25）
8.1.3 MATLAB 实现方法
应用MATLAB 中的lqr 和lqry 命令可以直接求解二次型调节器问题，以及相关的黎卡提方程。这两个命令的格式为
[]),,,,(,,N R Q B A lqr E P K = （8—26）
[]),,,,,(,,R Q D C B A lqry E P K = （8—27）
其中，K 为最优反馈矩阵；P 为对应黎卡提方程的唯一正定解（若矩阵BK A −是稳定的，则总有P 的正定解存在）；E 为BK A −的特征值；其中的N 为可选项，其代表交叉乘积项的加权矩阵。lqry 命令用于求解二次型调节器的特例，即目标函数中用输出y 来代替状态x ，此时的目标函数为
∫∞
+=0)(dt Ru u y Q y J T T （8—28） 命令are 则可用来求解由下式给出的一般形式的代数黎卡提方程
风力发电机安装
0=+−+C XBX XA X A T （8—29） 命令格式为
),,(C B A are X = （8—30） 该命令返回对应黎卡提方程的正定解。这个正定解存在的条件为：B 是半正定对称矩阵，C 是对称矩阵。
值得注意的是，有的系统矩阵BK A −无论如何选取K 也不能稳定。在这种情况下，就不存在黎卡提方程的正定矩阵P 。如下例所示。
【例8—1】 给定系统如下
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0120112121 （8—31） 该系统无论如何选取K ，也不可能通过反馈控制规律
Kx u −= （8—32）使系统稳定。
设 []21k k u = （8—33）
则 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−20110120112121k k k k BK A （8—34）
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议