《算法初步》全章复习与巩固
【学习⽬标】
1.了解算法的含义，了解算法的思想；
2. 重点理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构； 3. 重点理解⼏种基本算法语句――输⼊语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；4．会⽤辗转相除法和更相减损术求最⼤公约数。 【知识络】
【要点梳理】
要点⼀：算法的概念
1、算法的定义：
⼴义的算法是指完成某项⼯作的⽅法和步骤，那么我们可以说洗⾐机的使⽤说明书是操作洗⾐机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，现代意义的算法是指可以⽤计算机来解决的某⼀类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，⽽且能够在有限步之内完成.
2、算法的特征：
（1）确定性：算法的每⼀步都应当做到准确⽆误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可⽆的、甚⾄⽆⽤的步骤，“不漏”是指缺少哪⼀步都⽆法完成任务.
（2）逻辑性：算法从开始的“第⼀步”直到“最后⼀步”之间做到环环相扣，分⼯明确，“前⼀步”是“后⼀步”的前提，“后⼀步”是“前⼀步”的继续.
（3）有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终⽌步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能⽆限制的持续进⾏.
（4）不唯⼀性：求解某⼀个问题的算法不⼀定是唯⼀的，对于⼀个问题可以有不同的算法．
3、设计算法的步骤
算法与⼀般意义上的解决问题的⽅法不同，它是针对⼀类问题的⼀般解法的抽象和概括，在设计算法时，要注意算法的特性，即概括性、逻辑性、有穷性、普遍性等．⼀般⽤算法解决问题的过程可⼤致分为三步：
(1)明确问题的性质，分析题意．
(2)建⽴问题的描述模型．
(3)设计明确的算法．
要点⼆：程序框图及其画法
1. 程序框图的概念：
程序框图⼜称流程图，是最常⽤的⼀种表⽰法，它是描述计算机⼀步⼀步完成任务的图表，直观地描述程序执⾏的控制流程，最便于初学者掌握。
2.
3.画程序框图的规则：
(1)使⽤标准的框图的符；
欧米伽3榨油机(2)框图⼀般按从上到下、从左到右的⽅向画；
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(3)除判断框图外，⼤多数框图符只有⼀个进⼊点和⼀个退出点。判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符；
(4)⼀种判断框是“是”与“不是”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；
(5)在图形符内描述的语⾔要⾮常简练清楚。
4、算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
铁氧体电感顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进⾏的.它是由若⼲个依次执⾏的步骤组成的，它是任何⼀个算法都离不开的⼀种基本算法结构.
见⽰意图和实例：
顺序结构在程序框图中的体现就是⽤流程线将程序框⾃上⽽下地连接起来，按顺序执⾏算法步骤.如在⽰意图中，A框和B框是依次执⾏的，只有在执⾏完A框指定的操作后，才能接着执⾏B框所指定的操作.
(2)条件结构
如下⾯图⽰中虚线框内是⼀个条件结构，此结构中含有⼀个判断框，算法执⾏到此判断给定的条件P是否成⽴，选择不同的执⾏框(A框、B框).⽆论P条件是否成⽴，只能执⾏A框或B框之⼀，不可能既执⾏A框⼜执⾏B框，也不可能A框、B框都不执⾏.A 框或B框中可以有⼀个是空的，即不执⾏任何操作.
见⽰意图
要点诠释：
条件结构中的条件要准确，不能含混不清，要清楚在什么情况下需要作怎样的判断，⽤什么条件来区分．
(3)循环结构
在⼀些算法中要求重复执⾏同⼀操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照⼀定条件重复执⾏某⼀处理过程.重复执⾏的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
①当型循环结构，如左下图所⽰，它的功能是当给定的条件P成⽴时，执⾏A框，A框执⾏完毕后，返回来再判断条件P是否成⽴，如果仍然成⽴，返回来再执⾏A框，如此反复执⾏A框，直到某⼀次返回来判断条件P不成⽴时为⽌，此时不再执⾏A框，离开循环结构，继续执⾏下⾯的框图.
②直到型循环结构，如右下图所⽰，它的功能是先执⾏重复执⾏的A框，然后判断给定的条件P是否成⽴，如果P仍然不成⽴，则返回来继续执⾏A框，再判断条件P是否成⽴，依次重复操作，直到某⼀次给定的判断条件P成⽴为⽌，此时不再返回来执⾏A框，离开循环结构，继续执⾏下⾯的框图.
见⽰意图
要点诠释：
循环结构中使⽤什么样的条件控制循环的开始和结束，要清楚满⾜某个条件的变量的次数与循环次数的联系与区别.
5．设计程序框图的注意事项
程序框图是⽤规定的图形和连接线来准确、直观、形象地表⽰算法的图形，画程序框图之前应先根据问题设计出合理有效的算法，然后分析算法的逻辑结构，最后根据逻辑结构画出相应的程序框图．在画程序框图时，应注意图形的准确性，连接线指向⽅向要正确．
在利⽤判断框设计循环结构时，对循环变量要先赋值，同时注意推出的条件，不能形成死循环．要点三：⽤基本算法语句编写程序 1．输⼊语句
在程序中的INPUT 语句就是输⼊语句.这个语句的⼀般格式是：
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其中，“提⽰内容”⼀般是提⽰⽤户输⼊什么样的信息.
功能：可对程序中的变量赋值．要点诠释：
①“提⽰内容”提⽰⽤户输⼊什么样的信息，必须加双引，提⽰内容“原原本本”的在计算机屏幕上显⽰，提⽰内容与变量之间要⽤分隔开；
②变量是指程序在运⾏时其值是可以变化的量；③⼀个语句可以给多个变量赋值，中间⽤“，”分隔，但最后的变量的后⾯不需要；④要求输⼊的数据必须是常量，⽽不能是函数、变量或表达式；⑤⽆计算功能.
例如，输⼊⼀个学⽣数学，语⽂，英语三门课的成绩，可以写成： INPUT
“数学，语⽂，英语”；a ，b ，c 2．输出语句
在程序中的PRINT 语句是输出语句.它的⼀般格式是：
同输⼊语句⼀样，表达式前也可以有“提⽰内容”. 功能：可输出表达式的值，计算. 要点诠释：
①“提⽰内容”提⽰⽤户输出什么样的信息，提⽰内容必须加双引，提⽰内容要⽤分和表达式分开；②
表达式是指程序要输出的数据，可以是变量、计算公式或系统信息；③⼀个语句可以输出多个表达式，不同的表达式之间可⽤“，”分隔；④有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符. 3．赋值语句
⽤来表明赋给某⼀个变量⼀个具体的确定值的语句.它的⼀般格式是：
赋值语句中的“=”叫做赋值.
功能：先计算出赋值右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
要点诠释：
①赋值的左右两边不能对换，如“A=B ”“B=A ”的含义运⾏结果是不同的；
②格式中右边“表达式”可以是⼀个数据、常量和算式，如果“表达式”是⼀个算式时，赋值语句的作⽤是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量；
③赋值左边只能是变量名字，⽽不能是表达式，如：2=X 是错误的；④不能利⽤赋值语句进⾏代数式的演算(如化简、因式分解等)；⑤对于⼀个变量可以多次赋值；⑥有计算功能；
⑦赋值与数学中的等的意义是不同的.赋值左边的变量如果原来没有值，则执⾏赋值语句后，获得⼀个值，如果已有值，则执⾏该语句后，以赋值右边表达式的值代替该变量的原值，即将“原值”冲掉.
4．条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分⽀逻辑结构的算法语句.它的⼀般格式是：(IF-THEN-ELSE 格式)
当计算机执⾏上述语句时，⾸先对IF 后的条件进⾏判断，如果条件符合，就执⾏THEN 后的语句1，否则执⾏ELSE 后的语句2.其对应的程序框图为：(如上右图)
在某些情况下，也可以只使⽤IF-THEN 语句：(即IF-THEN 格式)
IF 条件 THEN 语句
END IF
计算机执⾏这种形式的条件语句时，也是⾸先对IF 后的条件进⾏判断，如果条件符合，就执⾏THEN 后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转⽽执⾏其他语句.其对应的程序框图为：(如上右图)
要点诠释：
条件语句的作⽤：在程序执⾏过程中，根据判断是否满⾜约定的条件⽽决定是否需要转换到何处去.需要计算机按条件进⾏分析、⽐较、判断，并按判断后的不同情况进⾏不同的处理.
5．循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，⼀般程序设计语⾔中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构.即WHILE 语句和UNTIL 语句.
（1）WHILE 语句的⼀般格式是：
其中循环体是由计算机反复执⾏的⼀组语句构成的.WHLIE 后⾯的“条件”是⽤于控制计算机执⾏循环体或跳出循环体的.
当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执⾏WHILE 与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执⾏循环体，这个过程反复进⾏，直到某⼀次条件不符合为⽌.这时，计算机将不执⾏循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执⾏WEND 之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.其对应的程序结构框图为：(如上右图)
（2）UNTIL 语句的⼀般格式是：
其对应的程序结构框图为：(如上右图)
直到型循环⼜称为“后测试型”循环，从UNTIL 型循环结构分析，计算机执⾏该语句时，先执⾏⼀次循环体，然后进⾏条件的判断，如果条件不满⾜，继续返回执⾏循环体，然后再进⾏条件的判断，这
WHILE 条件循环体 WEND
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
个过程反复进⾏，直到某⼀次条件满⾜时，不再执⾏循环体，跳到LOOP UNTIL 语句后执⾏其他语句，是先执⾏循环体后进⾏条件判断的循环语句.
要点诠释
当型循环与直到型循环的区别
①当型循环是先判断后执⾏，直到型循环是先执⾏后判断；②当型循环⽤WHILE 语句，直到型循环⽤UNTIL 语句；
③对同⼀算法来说，当型循环和直到型循环的条件互为反条件．
基本算法语句包括输⼊语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件分⽀结构、循环结构，⽤基本语句编写程序时，要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表述以及循环语句中有关变量的取值范围．【典型例题】类型⼀：算法设计
例l ．写出解⽅程2
230x x --=的⼀个算法．【解析】算法⼀：
第⼀步：将⽅程左边因式分解，得(3)(1)0x x -+=；①第⼆步：由①得x -3＝0，②或x+1＝0；③
第三步：解②得x ＝3，解③得x ＝-1．算法⼆：
第⼀步：移项，得2
23x x -=；①
第⼆步：①式两边同时加1并配⽅，得2
(1)4x -=；②第三步：②式两边开⽅，得12x -=±；③第四步：解③得x ＝3或x ＝-1．算法三：
第⼀步：计算⽅程的判别式判断其符△＝22+4×3＝16＞0；
第⼆步：将1a =，2b =-，3c =-，代⼊求根公式，得12
x =，得13x =，21x =-．
【总结升华】⽐较三种算法，算法三更简单，步骤最少，由此我们只要有公式可以利⽤，利⽤公式解
决问题是最理想、合算的算法．因此在寻求算法的过程中，⾸先是利⽤公式，下⾯我们设计⼀个求⼀般的⼀元⼆次⽅程2
0(0)ax bx c a ++=≠的根的算法如下：
第⼀步：计算24b ac =-△；第⼆步：若0<△，⽅程⽆实根；
第三步：若△≥0，⽅程的根12
x =，．
例2．设计⼀个算法，将⾼⼀某班56名同学中考试成绩不及格者的分数打印出来．
【解析】算法步骤如下：
S1 令n ＝1．
S2 如果n ＞56，则转到S7． S3 输⼊⼀个学⽣的成绩G ．
简易过滤器
聚磷酸铵阻燃剂S4 将G 和60⽐较，如果G ＜60，则输出G ． S5 n ＝n+1． S6 转到S2． S7 结束．
【总结升华】该题中实际是⽤到了算法的条件结构和循环结构，条件结构⽤于判断分数是否⼩于60；循环结构⽤于控制输⼊成绩的次数．
举⼀反三：
【变式1】写出求过点M (-2，-1)、N (2，3)的直线与坐标轴围成的三⾓形⾯积的⼀个算法．【解析】算法步骤如下：
第⼀步：取12x =-，11y =-，22x =，23y =；第⼆步：得直线⽅程
11
2121
y y x x y y x x --=--；
第三步：在第⼆步的⽅程中令y ＝0，得y 的值m ，从⽽得直线与y 轴的交点A (0，m )；第四步：在第⼆步的⽅程中令y ＝0，得x 的值n ，从⽽得直线与x 轴的交点B (n ，0)；
第五步：根据三⾓形的⾯积公式求1
||||2
S m n =
；第六步：输出运算结果．
【总结升华】先由M ，N 两点得出直线的⽅程，再求直线与两坐标轴的交点，求出三⾓形的两条直⾓边长，再由⾯积公式计算．
类型⼆：程序框图及其画法
例3．输出1000以内能被3和5整除的所有正整数，画出其程序框图．
【解析】能被3和5整除的正整数⼀定能被15整除，由于1000＝15×66+10，因此1000以内⼀共有66个这样的正整数．
引⼊变量a 表⽰待输出的数，则a ＝15n (n ＝1，2，3，…，66)，n 从1变到66，反复输出a ，就能输出l000以内的所有能被3和5整除的正整数，算法流程图如图所⽰．
豫公网安备41160202000603
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