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上海中学数学 2 0 1 3年第 6期
彰显行列式的魅力计算解析几何中三角形的面积2 0 0 0 6 2 上海市普陀区教育学院陈兴义2 0 0 0 1 1 上外附属大境中学赵玉梅前苏联著名数学教育家 A. 斯托利亚在《数学教育学》中指出：“数学中符号和公式等人工语言的制定是最伟大的科学成就，它很大程度上决定了数学的进一步发展 .” 诚然，行列式也是数学符号，它是表示特殊算式的记号.作为上海现行教材的教学内容之一，用其讨论线因为 tl,所以s△。≥ 2 0+l 0 (当且仅当t一 1十 时取等号 ) .
说明：本题通过行列式建立了△ B C D的顶点坐标与面积之间的联系，将面积表示为变量 t的函数，运用基本不等式求得面积的最小值. 2计算以“圆”为载体的三角形的面积如图 2,已知圆+一 4, A、 P、 Q为圆上按逆时针方向排列的三点， A(一1,一 ), Q AP
性方程组解的情形具有理论上的价值.若将方程组的解用公式表示出来，其形式整齐、简单明了、便于记忆. 所以用行列式解二、三元线性方程组的方法，经过几年的教学实践，已得
到教师和学生的较高认同.
除此之外，教材还给出了通过三角形的三个顶点的坐标，用行列式的形式表示三角形的面积公式. 如果在学习解析几何的过程中有意识地运用这个公式，会彰显出行列式的又一魅力.下面举例说明运用行列式求解析几何中三角形的面积，以求达到“行列式”与“解析几何”的自觉融合 .
一3 0。,求出△AP Q的面积的最大值. 分析：△AP Q的顶点 A的坐标为常数，点 P与 Q是圆周上相关联的两个点，由题意可知， Q AP一
,
J
~
一
3,从而借助圆的参数方程， P 图2
与 Q两点的坐标均可由一个量来表示 .
营养米
1计算以“直线”为架构的三角形的面积如图 1,已知定点 A( 6, 4 )、 B( 1 0, 1 0 )和动点 ( , 4 t ),经过点 A、 的直线 Z与. T轴正半轴的交
解：连接 0 P、∞一
,令
z一 0,则∞ r
+ 7“ -,P( 2 c o s 0,
2 s i n 0 ) (0≤ 2丌),则t】
点为 D,当f 1时，求三角形 B C D面积的最小值 .分析：三角形 B C D的三个顶,
Q( 2 c o s ( 0+ ), 2 s i n ( 0+ ) ),其中 A(一1,一 ),―
J
点中，顶点 B的坐标为常数，顶点\C的坐标已知，问题的关键在于顶
.
1
一 2 s i n
1 1
点 D在直线 Z上，且 D是直线 z与 _’轴的交点，所以 D坐标能用 t来表示，运用行列式表示三角形B D面积，问题得到解决 . 解：直线￡的方向向量( . r一 6)一( t m 6) (一 4 )一 0.
|。 o图 1
所以邶一
2 c o
2 c o s ( +号 )2 s i删+号 )1l 2 c o s ( 一要)+ I,U
=( f一6, 4 t一4 ),由
当0一要时，三角形 A P Q面积的最大值为 2+U
直线方程的点方向式可知，直线 Z的方程为 ( 4 t一4 )
ddtsf
令 . y一 0,则 . r一苦，得 D (￡一 5 t l, o ),则三 坐标与面积之间的联系，将面积表示为变量的三角形 B C D的面积为：1 0bt
说明：本题通过行列式建立了△AP Q的顶点
角函数，运用三角函数的性质求得△AP Q面积的最1 0 1 0 1一
小值 . 5 ( t -1 )+ 3 计算以“椭圆”为依托的三角形的面积
t-――1
4 r 1
如图 3,过点 P (。, 2 )作直线 z与椭圆‘等+ 。一
上海中学数学 2 0 1 3年第 6期
1相交于 A、 B两点， 0为坐标原点，若/￣ A O B的面积为 2,
由于直线 P A与直线 P B相交于点 P( , o ),则
求直线 z的方程 .,
』 。一 。一 所以1 z2 o― 2 Yo===l
一
一 1所以
1 2 o一 T 2 m一.
分析：在△AO B中，点 0( 0, 0 ),点 A、 B在直线 Z上，
\,一
l
f
。一
―
1 1 Y z Y o一- r 1 2 l一 1所以 L z _ 1 2 一 2一 . T 2 l m― 1,即 ( . T 2 l―
它们的坐标之间的关系
可以用/一 直线 Z的斜率来表示 . 二解：设直线 Z的方程为一疋+ 2测
一
l
2
)一 . y 1一 2…… ( 1 )’
l
1
1 11
j等 w一 I v― +2―
由( 1 )得 s△一=
1
母线夹
2
(
o
消去得，( 1+2 k ) +8 4 - 6― 0
2
)+( 1 2 -, T 2 1 )l一 0,所以A、 M、 B三点共说明：本题运用了三角形面积为零的特殊情
△一6 4 k 一2 4 ( 1+2 k )0,解得志 _昙 _……( 1)
线.
令 A( _’ , l+2 ), B( ’ 2, 2+2 ), .一
形，即此时三点共线 .5计算以“抛物线”为支撑的三角形的面积
一
8走,
则
所以
热锻工艺 s△枷
一
如图 4,直线一 1 与抛物线一 1 z一4交于A、 B两点，线段 A B的垂直平分线与直线一一
1 . T 1, T 2一
专 l, + 2 1 l― I I 2 h 2+2 1 l￣/ _ i _=解得志一± 或走一±
1 0
0
1 I增量式光电编码器
一 z l― A、B )的动点时，求/￣ O PQ面积的最大值 .分析：在△ 0 P Q的J l
5交于点 Q.当 P为抛物线上位于线段 AB下方 (含
缀花草坪
顶点 O、 Q (一 ) 一 r 2 4一号， 三个顶点中，的坐标都是常数，顶点 P ,代入( 1 )检验，均满 .+ 2或1
在抛物线一告. T一 4
~
/
尸 Q\
一
足条件，所求直线 z的方程为： 一±―一
上，所以其坐标可以用点 P的横坐标加以表示 .解：A(一 4,一 2 ),B( 8, 4 ), Q( 5,一5 ),
±
。 _+ 2.
图 4
说明：本题中的直线 Z的斜率不存在，否则不能构成 AA O B.题中在已知三角形面积的情况下， 直线 Z经过点 P,只需运用行列式表示三角形的面
设 P ( ,告 2― 4 ) (一 4≤ _,≤ 8 ),Oc
11―
积，求出直线 z的斜率，即可求出直线的方程 .△舯 B一
1―
―
5
1 }, l
。十
4计算以“双
曲线”为媒介的三角形的面积设点 P( r。, 0 )在直线― ( y≠土， 04) 一 48 1 .
.
r z+ 4 1
√ 2
1)上，过点 P作双曲线一y一 1的两条切线 P A、 P B,切点为 A、 B,定点 M ( , 0 ),求证：A、 M、 B共线.
所以当 一 8时， s△ 最大值为 6\/ 2 .说明：本题充分利用已知条件，运用行列式建立了三角形面积与点 P的横坐标的函数关系，进而求得了面积的最大值 . 从以上几例可以看出，行列式是一个特定的算
分析：由于定点 M ( , 0 ),所以若要证明 A、 M、 B三点共线，只需证明 S△ n M B一 0即可 .
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