李嘉元
【摘要１二次曲线是解析几何研究的重要对象之一，而它的切线与弦的长度是二次曲线的两个非常重要的问题，本文对这两个问题给出相应的计算公式。 助勃器
【关键词】二次曲线；切线；弦长；计算公式
中图分类号：０２４１．６文献标识码：Ａ文章编号：ｃＮ５３—１１８０（２００２）０４—００２１一０２
ｌ引言
在解析几何的讨论和学习过程中，我们经常遇到讨论二次曲线的切线与弦长的问题，而这类问题探讨起来一般情况下计算量较大，比较复杂。本文将给出相应的计算公式，使问题变得较为简单。
２二次曲线的切线
Ｆ（ｘ，Ｙ）＝ａｌｌｆ＋瓠２ｘｙ＋妞ｙ２＋砜３ｘ＋２劫ｙ＋曲，＝０（１）
点（‰，峋）是（１）上的一个点。下面我们来求通过点（Ｋ，ｙ０）且与（１）相切的切线的方程。
设过点（）（。，ｖ０）的切线方程为
（Ⅱｌｌ凳＋２口１２ｘＹ＋毗２铲）亡＋２｛（ｑ１１‰＋。１ｄ。＋Ⅱ】ｊｊｘ＋ｒｍ２勘＋Ⅱ２ｍ＋蚴ｊ列Ｅ＋ｒ嘞Ｊ蔚＋瓦Ｊ删ｙｏ＋ｑ２２菇＋２啦撕＋２毗批＋锄３，－ｏ
（３）为计算方便，我们令ｎｒ％，∥＝ｍｍ＋８ｊｍ＋ｎⅡ
疋ｆ勒，刊＝口Ｊ２肋＋啦啪＋蚴，
由（ｘ．Ｙ）＝知凳＋２啦２ｘＹ＋啦譬
则ｆ引可写成
西｛Ｘ，Ｙ）·亡＋２、Ｆｌ（勒，如）·ｘ＋Ｆ２《渤．ｙ０）
【收稿日期】：２００２—０６一１９
【作者简介】：孛嘉元（１％５一），男（白族），云南洱源人
讲师，主要从事数学教学研究
·Ｙ１‘＋Ｆ｛‰，如）＝ｏｔ４ｊ要使ｒ２Ｊ成为二次曲线ｆ＂的切线的条件，当圣ｆ盖，ｙ）≠Ｏ时是
△＝［ｘ—ｒ知，仲ｊ＋ｌＲｒ劫，ＫＪ］２一中ｒｘ，¨Ｆ（‰．靳ｌ＝ｏ｛．５１焦（靳，枷）在ｌ１）上，‘Ｆ（‰，如）＝ｏ
砒（５》为ｘＦｌ《靳，№）＋ＹＦ２《‰，扣）＝ｏｉ６）
当中ｒ五列＝Ｄ时，直线ｒ２ｊ成为二次曲线ｒ，Ｊ的切线的条件除了Ｆｒ∞，抑Ｊ＝０外，唯一的条件仍然是ｆ酬
如果ｎｒ％，如Ｊ与托ｒ∞，肋Ｊ不全为零．那么由ｒ６Ｊ得：
ｘ：Ｙ＝Ｆ２（‰，ｖｏ）：（一Ｆ１｛‰，如）），鼠此过ｆ‰，恂）的切线方程为：
ｆｘ＝‰＋Ｒｒ勘，川ｌ或写成
Ｉｙ；ｙ一一ｆ勘，ｙｏ）ｔ
ｌｘ一‰）Ｆｌ｛％。，轴）＋Ｉ，一ｙ。１Ｆ２ｌ轧，，ｏ）＝ｏ
或Ｉｘ一‰）｛Ⅱｌｌ轴＋ｄｌ订ｂ＋蛳３）＋《ｙ一№）ｆⅡＪ撕＋勋恂＋幻Ｊ＝Ｄ（刀如果Ｒｒ勋，抑Ｊ＝足ｆ劫，如Ｊ＝Ｄ，那么ｆ引变为恒等式，切线方向ｘ：，，不能唯一地被确定，从而切线不确定，这时通过ｒ鳓，蛳Ｊ的任何直线都和二次曲线ｆＪ）相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线ｒ¨的切线，另外我们称满足ｎｆ却，ｙＤＪ＝Ｆ２ｒ翱，如）＝ｏ的点为ｆｊＪ上的奇点，非奇点的点称为正常点，于是，我们有以下的定理。
obd数据定理』；如果ｒ∞，帅Ｊ足二次曲线ｒ＂的正常点，那么通过ｒ∞，帕Ｊ的切线方程是ｆ力，ｒ‰，帕ｊ
总第４期太理学院学报２００２年第１卷第４期
是它的切点，如果ｆ∞，彬是ｒ＂的奇点，则通过ｒ％，％Ｊ的每一条直线都是ｒ』，的切线。＾推论：设ｒ劫，伸Ｊ是下列曲线上的点，则通过ｆ≈，％，且与下列曲线相切的切线方程分别为：ｒｚ—ｎＪ２＋ｒｙ一纠２＝砰切线方程是ｒⅫ一Ⅱ）Ｅ％一ｏ）＋Ｉ‰一ｂＨｖ—ｂ）＝硭
砉＋吾＝，的切线方程是等＋专｝＝ｊ
矿矿一６２
善一菩＝，的切线方程呼一号＝，
，＝２如的切线方程是，∥＝ｐｒｚ＋％Ｊ．
３二次曲线的弦长
设二次曲线的方程为ｒ＂，直线的方程为ｒ到且ｒＪＪ与ｒ２Ｊ有两个交点，下面我们来求这两个交点之间的距离即弦长。
从理论上来说可将ｆＪ，与ｒ２Ｊ联立起来，然后解二元二次方程组可解得两交点的坐标，再用两点间的距离公式求出它们之间的距离，但此法一般情况下计算量较大，最烦就是解此二元二次方程组，以下介绍一种方法来求弦长。
在直线方程ｒ２Ｊ中，设，ｘ，列为单位矢量，即Ｆ＋Ｐ＝Ｊ，若不是单位矢量，可将ｒ纠的方程化为｛～＋毒
７２Ｋ＋了霞彳则参数方程ｒ２）中的￡有特殊的含义，事实上，由ｆ２Ｊ得ｆｆ＃一％Ｊ２＝，Ｐ
档案管理方法ｏｒｙ一训２＝，Ｐ
两式相加可得，＝ｒ＊一靳Ｊ２＋ｆｙ一％Ｊ
Ｉｆ｜＝√ｒｚ一％）２＋ｒｙ一州２
即ｆ的绝对值ｌｒＩ为直线上的点ｒ＊，ｙＪ到ｒ％，％Ｊ的距离。因此直线ｒ２ｊ与二次曲线ｒ＂的两交点之问的距离为两交点到ｒ‰，％Ｊ的距离之差的绝对值或距离之和。这取决于ｆ∞，刊与这两交点的位置关系。当我们把ｒＪＪ和ｒ纠联立起来并将ｒ劭代人ｒ』Ｊ后得到ｒ卅，设ｒ卅两个解为ｆ。ｂ，则直线ｆ２）与ｒＩＪ的两交点之间的距离为
“一ｂｌ，Ｊ“一“ｌ２＝ｒ“＋ｎＪ２一吼“
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４ｔＦ｜ｌ‰，，ｏ）Ｘ＋Ｆ２｛‰．№）Ｙ、２—４中ｌＸ？Ｙ）Ｆ《‰．№）
廿ｌＸ．Ｙ）
因此我们有；
定理２：设二次曲线ｒ』Ｊ与直线ｒ２Ｊ相交于两个交点，则两交点之间的距离ｒ弦长Ｊ为：
ｆｆ，一＆Ｉ＝２√，Ｅｆ≈，∞）ｊ＋Ｅｆ∞，∞）Ｐ一口ｆｘ，一Ｆｆ≈，∞Ｊ／ｌ垂ｒｊ，ｙｌ
ｒ其中ｒ＋Ｐ＝，Ｊ
二次曲线的切线与弦长
作者：李嘉元
作者单位：大理学院数学系，云南，大理,671000
刊名：
大理学院学报
英文刊名：JOURNAL OF DALI COLLEGE
年，卷(期)：2002，1(4)
被引用次数：2次
1.期刊论文张会凌非退化二次曲线过其内点和外点的切线-甘肃教育学院学报(自然科学版)2003,17(3)
首先统一给出了过平面上任一给定点M0所引的给定二次曲线Γ的切线的方程，进而定义了以一般方程的形式给出的非退化二次曲线Γ的内部和外部
，并证明了过不在Γ上的点M0可作Γ的两条实切线的充要条件是M0在Γ外部，过M0存在Γ的两条共轭的虚切线的充要条件是M0在Γ的内部.其中以
I3F(x0,y0)的符号给出了判定M0是Γ的内部和外部的条件.
2.期刊论文尹水仿.舒阳春.YIN Shui-fang.SHU Yang-chun二次曲线与其任意两条切线所围面积为定常值的问题研究-数学杂志2005,25(5)
本文得到了二次曲线的任意两条相交切线与曲线本身围成的面积如果为定常值，则切线交点的轨迹仍为同类型二次曲线.又若给定两条同类的二次曲线，由其中一条上的每一点向另一条引出两条切线，则这两条切线与另一条曲线围成的面积为定常值.
3.期刊论文彭震春二次曲线切线的几何性质-株洲师范高等专科学校学报2003,8(2)
讨论了二次曲线切线的几何性质，给出了二次曲线切线的几何作图方法，以及二次曲线切线的几何性质的若干应用.
4.期刊论文崔美华利用特征根研究二次曲线的切线问题-高等数学研究2008,11(1)
根据二次曲线依其特征根所作的分类.分别讨论各类二次曲线的特征根与其切线方程一般式各系数之间的具体关系，从而获得任意一条直线是否为二次曲线切线的充要条件.
5.期刊论文张会凌退化二次曲线的过其外一点的切线-甘肃教育学院学报(自然科学版)2004,18(1)
对退化二次曲线Γ过不在Γ上的一点M0的切线的各种情况进行了讨论，证明了Γ有奇点时，过M0的切线一般总要经过Γ的奇点.
6.期刊论文刘耀斌关于二次曲线的切线及奇异点的探讨-高等数学研究2010,13(2)
利用二次曲线的切线的定义，分别讨论过二次曲线上的一点的切线的求法及过二次曲线外的一点的切线的两种求法，并且得到了存在奇异点的二次曲线的具体类型.
7.期刊论文刘荣玄.张波.LIU Rong-xuan.ZHANG Bo二次曲线切线的一种新求法-井冈山师范学院学报（自然科学）2005,26(3)
利用点与点的对应和点与线的对应介绍二次曲线切线的一种新求法.
8.期刊论文马亚利一种求二次曲面切平面及二次曲线切线方程的方法-西北轻工业学院学报2001,19(4)
给出了求二次曲面切平面方程及二次曲线切线方程的简单方法并证明了该法的正确性.
9.期刊论文席高文有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法-大学数学2009,25(1)
通过有心二次曲线的性质，说明了文[1]中一些错误的结论.运用有心二次曲线切线的性质，以及有心二次曲面切面的性质，得到了有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法.
手套加工10.期刊论文张政武.Zhang Zhengwu二次曲线的计算方法研究-机械科学与技术2008,27(7)
二次曲线的射影理论是射影几何中极其重要的一个组成部分.利用二次曲线的对应进行物体识别、场景重建及运动分析是计算机视觉中非常活跃的一个研究领域.利用图像坐标计算二次曲线，当图像坐标很大时，就会出现计算故障或者引起计算精度的下降；利用齐次坐标来计算二次曲线，相应地增加计算量.本文从实际计算的角度出发，使用Ⅳ矢量来表示视平面上所有的点和直线，从二次曲线的定义建立了二次曲线的N矢量计算公式.在此基础上，给出了射影平面上由任意一点或一条直线所确定的二次曲线切点、切线的N矢量计算方法，通过举例分析和实验验证，该算法实用、可靠.
1.余皓曲线长度测量仪的设计与实现[期刊论文]-机械与电子 2007(10)
2.姜长胜.徐歆恺.葛庆平一种任意曲线长度的测量方法及其应用[期刊论文]-计算机工程与应用 2005(14)光纤调整架
本文链接：d.g.wanfangdata/Periodical_dlxyxb200204007.aspx
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