1.空间向量基本概念
隔离桩空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模，记为a 或AB .
零向量：长度为0的向量叫作零向量，记为0 .
单位向量：模为1的向量叫作单位向量.
相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记为a .
共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空间向量的线性运算
空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘，其定义、画法、运算律等均与平面向量相同. 3.共线、共面向量基本定理
（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.
（2）共线向量基本定理：
对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ .
（3）共面向量：
如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .
如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.
平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.
（4）共面向量基本定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的
磺酸酯>储酒罐
有序实数对(),x y ，使p xa yb =+ .
4.空间向量的数量积
（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫作向量
a ,
b 的夹角，记作,a b <> .如果,2a b π<>= ，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ，则cos ,a b a b <> 叫作,a b 的数量积，记作a b ⋅ .
即a b ⋅= cos ,a b a b <> .
（3）数量积的性质：
静压测试0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .
（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：
贴片线圈()()
a b a b λλ⋅=⋅ a b b a ⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ （分配律).推论：()2222a b a a b b +=+⋅
+ ，()()22a b a b a b +⋅-=- .
（5）向量的投影向量：
向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b
=<> 向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a 所在直线与平面α所成的角.
5.空间向量基本定理
如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p .存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得
p xa yb zc =++ .
6.基底与正交分解
(1)基底：如果三个向量,,a b c 不共面，那么我们把{}
,,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c 都叫作基向量.(2)正交分解:
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{}
,
,i j k 表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系
在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k .
以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴，它
们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k 都叫作坐标向量，通过
每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.
空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.
8.空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k 为坐标向量.给定任一向量OA ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使
OA xa yb zc =++ .有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作
(),,OA x y z = .(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .
9.空间向量运算的坐标表示
设()()111222,,,,,a x y z b x y z == ，则：
（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++ ，
（2）()121212,,a b x x y y z z -=--- ，
（3）()111,,a x y z λλλλ= .
10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示
（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔=== ，
（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔= ，（3）
a == ，
（4）cos ,a b a b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式
设()()11112222,,,,,P x y z P x
宁码输入法y z ，则12PP =.
12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a 为平面的法向量.
13.空间中直线、平面的平行
（1）线线平行：若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量，则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ= .
（2）线面平行：设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅= .
法2：在平面α内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa = ，且l α⊄，则//l α.
法3：在平面α内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+ ，且l α⊄，则//l α
（3）面面平行：设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ= .
14.空间中直线、平面的垂直
（1）线线垂直：若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量，则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅= .
（2）线面垂直：设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量，则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ= .
法2：在平面α内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.
（3）面面垂直：设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅= .
15.用空间向量研究距离、夹角问题
（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为
PQ =(2)求点到平面的距离
已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点，过点P 作则平面α的垂线l ，交
平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为AP n PQ n
⋅= .（3）直线与直线的夹角
若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212
cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>= .(4)直线与平面的夹角
设1n 是直线l 的方向向量,2n 是平面α的法向量，直线与平面的夹角为θ.则
121212
sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>= .（5）平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.
若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212
cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>= .<；解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
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