中国传媒⼤学2010 学年第⼀学期数学建模与数学实验________ 课程
数学建模与数学实验
题⽬Pristine湖污染问题的建模与求解
学⽣姓名_________________________
学号 ________________________
班级 ________________________ 学⽣所属学院 _________________________ 任课教师 _________________________教师所属学院_________________________ 成绩____________________________
Pristine湖污染问题的建模与求解
摘要
通过分析⽔流输⼊输出湖泊的过程，建⽴了湖⽔污染浓度随时间变化的含参变量的微分⽅程模型，在河⽔污染浓度恒定和⾃然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带⼊具体数据得到结论：在PCA声称的河⽔污染浓度下，湖的环境不会恶化；在⼯作⼈员实地测得的河⽔浓度下，湖的环境将会恶化。 同时建⽴了计算机模拟模型，带⼊具体数值，运⽤时间步长法来仿真模拟了在湖⽔污染浓度稳定以前湖⽔每天的变化情况，输出⾃PCA建⼚以来每年的湖⽔污染浓度，得到与微分⽅程模型相同的结论。
在全停产和半停产时，通过前⾯的两个模型可以计算湖⽔污染浓度在⾃然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。并可得到结论：在半停产状态下，在选
定的⾃然净化速率常数的约束下，只有当河⽔污染浓度降⾄原来的 3.15% (⾃然
净化速率呈线性关系)，4.7%(⾃然净化速率呈指数关系)，才有可能使河⽔在100 年内恢复⾄0.001mol/l ，然后给出整改建议。
⼀、问题重述
Pure河是流⼊Pristine湖的唯⼀河流。50年前PCA公司在此河旁建起⼀个⽣产设施并投⼊运⾏。PCA将为处理的湖⽔排⼊河中，导致Pristine湖被污染。PCA公司声称：已排放的废⽔的标准多年从未改变
切不会对湖的环境有影响。
15 14
现已知：Pristine湖的湖容量为10
L，流⼊(流出)的⽔流速度为=9 L/年。
PCA公司声称河⽔污染浓度仅为0.001mol/L，⾃⼯⼚以来没有改变过。讨论下列问题：
(1)建⽴数学模型⽤PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；
gammaproteobacteria(2)以⽬前湖⽔污染浓度0.03mol/L，和河⽔污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；
、模型的合理假设和符号系统
2.1模型的合理假设
(1) 降⽔量和增发量相等；
(2) 湖中流⼊量和流出量相等且⼀直未变；
(3) 污⽔量远⼩于河⽔注⼊量，且污⽔与河⽔混合均匀;
(4) 湖⽔混合均匀，且流⼊污⽔的扩散速度⽆限⼤；
(5) 湖内除Pure河外，⽆其他污染源；
22符号系统
阳光天井5 ：河⽔污染浓度mol/L ;
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V ：湖泊容量10 L;
c:⾃然净化速率mol/ （L。年）
流⼊（流出）的⽔流速度1.914L/年；
t ：从PCA建⼚⾄考察时刻的时间段。
三、问题的分析
3.1问题分析：
对于问题中⼏个词语的理解：
1. 是否会恶化⼀⼀湖的环境恶化即湖⽔污染浓度⼤于0.001mol/L，要判断其是否会
恶化，则需计算在某⼀污染物积累速度（分析影响此速度的因素）下，湖⽔能
达到的最⼤污染浓度和其变化趋势，以及湖⽔经⼏年超过0.001mol/L，经过⼏年
达到最⼤污染浓度。
2. ⾃然净化——⾃然净化是独⽴的⽣态系统进⾏⾃我调节的⽅式之⼀，是在空
⽓，阳光，⽔和细菌的参与下，进⾏包括物理沉降，化学反应和⽣物转化三⼤⽅⾯的活动，其最终作⽤是将污染物转化为⽆害物质，从⽽净化⽣态系统。当河⽔
输⼊湖泊并均匀混合之后，影响湖⽔污染浓度的唯⼀因素便是⾃然净化速度。打捞沉船
湖⽔污染问题⽔流的动态流程图：
Pure河输⼊Pristine湖输出
此问题中，我们考察对象是湖⽔污染浓度的变化趋势：
1. 在整改之前，其增加的趋势，超过净化指标0.001ml/L （即湖⽔恶化）的可能性和时限；
2. 在全停产（⽆污染物输⼊）和半停产的情况下，其降低的趋势，达到净化指标的时限。
3. 在整改之后，其增加的趋势，未定与净化指标之下某⼀⽔平的时限、
在前假设条件的基础之上，湖⽔容量不变，出河⽔外⽆其他的污染源，故我们可将湖泊作为⼀个封闭的⽣态系统，其简化的湖⽔被污染的动态过程为：受污河输⼊湖泊，河⽔与湖⽔均匀混合，受污河⽔进⾏⾃我的净化，湖⽔数出湖泊。湖中污染物的量直接决定了湖⽔污染浓度，⽽污染物的量受到以下两⽅⾯因素的影响：1.河⽔的污染浓度及其流⼊速度（根据已知此速度不变），2?湖⽔的⾃然净化速度，前者使其增加，后者使其减少（负增加）。问题⼀、⼆、三的实质都是要分析污染浓度的变化趋势，其去表便在于前⼀因素的不同。问题⼀中，河⽔污染浓度不变，恒为0.001mol/L ；问题⼆中，河
⽔污染浓度可能会变化，受PCA 效益的影响⽽按⼀定规律波动；问题三中，在全停产或半停产的情况下，和硕污染浓度为0或减为问题⼆中的⼀部分。后⼀因素（⾃然净化速度）在三个问题中的作⽤都是相同的。
根据微积分的知识可知，在适当短的时间段之内，通过建⽴微分⽅程，可以将连续的过程离散化，从⽽可以得到湖⽔污染浓度与时间之间的关系式。
利⽤时间步长发，缩⼩步长值（从年到⽉到天），并与微分⽅程所得的精确解做出⽐较。
四、模型建⽴与求解
问题⼀：
根据PCA的公开申明和所提供数据，可认为：河⽔污染浓度恒为0.001mol/L。
从存在⾃然净化和不存在⾃然净化两个⽅⾯考虑：
（1）.在不考虑⾃然净化的情况下：
六足机器人由于假设湖中流⼊量和流出量相等，⽽在经过与湖⽔均匀混合后，流出湖⽔污染浓度明显
减⼩，故流出污染物的量⼩于流出污染物的量，污染物将在湖中沉积，从⽽使湖⽔污染浓
度增加，当其增加⾄于输⼊的河⽔污染浓度相等时，河⽔污染浓度达到最⼤，并稳定在这
⼀数值，不在增加。
建⽴湖⽔污染浓度随时间变化的微分⽅程模型：设在极短时间dt，湖⽔污染浓度增加d
'，在
将湖⽔被污染这⼀连续动态过程简化为离散的瞬间静⽌状态（如问题分析中所述）之后，根据湖中剩余量=输⼊量⼀输出量，我们可以列微分⽅程如下：
订泊.⼆泊dt ?亍V
-0d?
V J dt
化简可得：d::
W) (1)
带⼊V可0
11, " ".9 10)/年和= 0.001mol/L的数据，我们可得到'和t的纸绳手挽
0 . 1 t9 z 0t. 1 9
关系式如下：P = 0. 001e y (—1)
通过此关系式我们可知，当t=：：时，湖⽔污染浓度将趋近与0.001mol/L，即湖的环境不会恶化。
建⽴计算机模拟模型：湖⽔污染浓度的变化时有湖中污染物随时间的积累⽽引起的，这个逐步积累的过程我们可以⽤计算机进⾏仿真模拟，其实质为完成⼀个循
环累加的过程，并可改变时间步长，如⼀年⼀年的累积，⼀⽉⼀⽉的累积，⼀天⼀天的累积，从⽽使我们的模拟值逐步精确，可与微分⽅程求得精确解⽐较，分析误差。为提⾼模拟结果的精确性和运算的效率，我们采⽤了逐天累加，数出年污染浓度的⽅式。
模拟程序见附件⼀，从后⾯的分析中我们可知：在此河⽔污染浓度恒定，⽆⾃然净化的最简单的情况下建⽴的模型是以后问题的基础，后⾯的问题只是改变条件或数据，其实质是不变的，故我们在此程序中加⼊了多个选择语句，在不同德条件或数据下执⾏不同的命令，从⽽⽤⼀个程序解决全部的模拟问题。
模拟所得的数据如下表:闪光棒
根据模拟数据所作的湖⽔污染浓度变化趋势图如下图1：
M TO 召门右冃址⽫扌"
O 10 20 30 40 50 60
模拟所得的数据显⽰：湖⽔污染浓度将稳定于0.001mol/L，这与分析微分⽅程所得的结果是相符的。
（2）在考虑⾃然净化的情况下：
A.⾸先，我们应该了解什么事⾃然净化。
根据资料显⽰：湖⽔中的污染物可分为有机污染物和⽆机污染物两⼤类，在多种
环境因素邙阳光，空⽓，⽔，⽔中⽣物，⽔中化学物质，重⼒等）的作⽤下，通过物理沉降，化学反应和⽣物转化⼀系列复杂的活动，它们的量会发⽣变化。
有机物在⽔环境中的迁移转化过程如图2:
可以看出整个过程是相当复杂的，不仅过程多，⽽且在相同的过程中，不同的物质有着不同的结果。此问题中没有明确给出输⼊湖中的污染物种类，也没有对湖泊环境做任何描述，⽆疑给问题的解决增加了极⼤的难度。为是问题简化，我们从⼀般的情况出发，假设：湖中所进⾏的反应均为⼀级反应，有机物的存在不会对环境参数造成改变，环境固定（⾃然净化速率恒定），考虑湖泊⽣态系统中起主要作⽤的⼏种过程作简要分析：
1. 物理沉降。不同物质有着不同的沉降速度常数’，沉降速率为c = ‘；
K
2. 挥发。不同物质有着不同的挥发速率常数v，在有机物在⽔体上的⼤⽓中的
Kv '
c = ---------
分压为0的条件下，挥发速率为Z （Z为⽔体深度）
3. ⽔解反应。不同物质有着不同的⽔解速率常数K p
，在⼀级反应的条件下，⽔
解速率为c = K p J ；
4.
⽣物降解反应。不同物质有着不
同的降解速率常数 K b
，在⼀级反应的条件下，
⽣物降解速率° =
K b ?
；
B.在最简模拟程序的基础上，从每天的积累量中减去每天的⾃然净化量 K 时间步长，重复
循环可得到逐年湖⽔污染浓度的值，设 K
=0.0003天‘。K 越⼤，湖⽔污染浓度将越快稳
定于⼀个更⼩的浓度值。模拟所得的数据如下表2：
⽤关系式表达即可为：C ⼆A(1 -e )，A ,B 为与环境和污染物种类有关的常数。将此关系式
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