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1 引言
调频指数、频偏是调频信号的主要指标，通常使用专用信号测试仪器（如调制度测量仪）测量，对于测量的硬件条件要求较高。本文基于调频信号频谱与第一类贝塞尔函数间的关系，提出了一种使用频谱分析仪——一种较为常见的通用仪器，来测量调频信号调频指数、频偏的方法，并作了从理论分析到实际运用的全面介绍。该方法大大降低了测量调频信号调频指数、频偏对硬件条件的要求，可为实际工作带来较大便利。 2 贝塞尔函数
贝塞尔函数（Bessel Function）因最初用于解决圆柱形边界问题（如
酵母分离机摘要：本文介绍了贝塞尔函数及调频信号的数学模型，并基于调频信号频谱与第一类贝塞尔函数的关系，给出了使用频谱分析仪测量调频信号调频指数、频偏的方法，最后通过实际测试验证了该方法的实用性。
关键词：贝塞尔函数 频偏 调频信号 调频指数
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义Δω与Ω的比值为调频信号的调频指数，用m f 表示。将式（9）代回式（8），可得到正弦信号调制下调频信号的表达式，如式（10）所示，再代入式（11）劳伦级数[2]（Laurent Series），可得式（12）。
由图3中式（12）可以得到如下结论：在正弦信号sin(Ωt)调制的情况下，调频信号s FM (t)可用频率为
ω0的载波和频率为ω0±υΩ的无限对上下边频分量来表示。贝塞尔函数J υ(m f )决定了载波分量和边频分量的幅度，载频分量的幅度为|A 0J 0(m f )|，第υ对边频的幅度为|A 0J υ(m f )|。由上述结论可以画出调频信号 s FM (t)的频谱图，如图4所示（此处仅画出载波分量和上下5对边频分量），其调制信号为sin(Ωt)，m f =5。
如图4所示，调频信号s FM (t)的频谱具有对称性，奇数上下边带分量关于载波频率ω0奇对称，偶数上下边带分量关于ω0偶对称。这是由于贝塞尔函数的性质决定的：当υ为整数n 时，J n (x)=(-1)n J -n (x)。
4 测量原理
由图2可以清晰地看出，不同阶数的贝塞尔函数都是关于x 的函数。结合式（12）和图4，可根据图2中的垂线x=5与曲线J υ(x)(υ=0,1,2,3,4,5)的交点作图。也就是说，对于单音调制，无论调制信号的频率Ω如何，只要确定了调频信号的调制指数m f ，调频信号的频谱形状就确定了（谱线的归一化幅度取决于m f ，谱线的间隔取决于Ω）。又由调频指数的定义m f =Δω/Ω，可以明确调频指数m f 、调制信号频率Ω
与调频信号的频偏Δω三者间的数学
图3 相关公式
图4 调频信号s FM (t)的频谱图
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关系。通过使用频谱分析仪观察调频信号的频谱，我们可以得到调频信号
的调制指数m f 和调制信号的频率Ω，继而算出调频信号的频偏Δω。
特别是在使用频谱分析仪观察调频信号的频谱时，若载波分量或某一边频分量幅度为0，我们可以直接得出此时调频信号的调制指数m f 。这本
质上就是求函数J υ(x)
（υ取自然数时）的零点。由于贝塞尔函数是确知函数，我们可以通过零点表迅速查到其零点值。以υ分别取0、1、2、3、4、5时J υ(x)的前五个零点为例，如表1[3]
所示，表中的n 表示J υ(x)的第n 个零点。例如，在频谱仪观察到调频信号s FM (t)的频谱中载波分量消失，即
A 0J 0(m f )=0时，测得调制信号sin(Ωt)的频率为10kHz，此时通过表1可
以算出调频信号的频偏Δω/2π应为24.05kHz、55.20kHz、86.54kHz 等一系列数值中的某一个。那么如何确定调频信号的频偏Δω/2π具体为哪一个值呢？可以通过预估调频信号的频偏范围来进行验算，例如估计此
调频信号的频偏为24.05kHz，改变调制信号sin(Ωt)的频率至6.276kHz （24.05/3.832）附近，看调频信号s FM (t)的频谱中上下第一边频分量是否
消失，即A 0J 1(m f )是否为0。若消失，说明调频信号的频偏为24.05kHz，否
则须重新估计，再次验算，直至得到正确结果。
除了上述利用贝塞尔函数零点对调频信号进行测量的方法外，我们还可以利用载波分量与边带分量或边带分量间的幅度比（可使用频谱分析仪的码刻功能得到此值）对调频信号进行测量。测量原理与步骤如下：已知载波分量的幅度为|A 0J 0(m f )|，第υ对边频的幅度为|A 0J υ(m f )|，由帕萨瓦尔定理[4]（Par-seval's Theorem）可知，其在阻值为1Ω的电阻上所产生的功率分别为P 0=A 02J 02(m f )、P υ=A 02J υ2(m f )（单边，
υ=±1,±2,±3……）。P 0、P υ相比
取对数，结果如图5中式（13）所示。由式（13）可以看出，载波分量与边频分量（或不同边频分量间）幅度之比是调制指数m f 的函数。因此，可以
通过测得载波分量与边频分量（或不同边频分量间）幅度之比来计算调制指数，继而计算调频信号的频偏Δω。
以使用载波分量与第一边频分量幅度之比来计算调制指数为例，已知G 0,1(m f )=Δ0,1，求m f 。可以事先利用科学计算软件（如MATLAB 等）绘制G 0,1(m f )的图表，使用图解或查表
法求得近似解，如图6所示（篇幅所限，仅画出0＜m f ＜10时的图像）。由于G 0,1(m f )不是单值函数，求解过程中仍涉及与前述方法中相似的结果估计与验证过程。
5 测量实例
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笔者使用频谱仪对某调频信号激励器产生的调频信号进行测量，调频信号激励器所使用的调制信号为信号发生器所产生的单音正弦信号，设备测试连接图如图7所示。
调频信号激励器（调频信号）的
表 1 各阶贝塞尔函数的零点表
n
υ
0123451 2.405 3.832 5.136 6.387.5888.7712 5.527.0168.4179.76111.06512.33938.65410.17311.6213.01514.37315.7411.79213.32414.79616.22317.61613.98514.931
16.471
17.96
19.409
20.827
22.218
图6 函数G 0,1(m f )图像
图5 相关公式
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参数设置为中心频率100MHz，频偏75kHz。信号发生器（调制信号）设置为输出正弦波，频率9.10kHz，幅度1.046V pp 。频谱分析仪的参数设置为
中心频率100MHz，扫描宽度50kHz，RBW 1kHz，VBW 1kHz，扫描时间50ms。在频谱分析仪的显示器上显示出此时调频信号的频谱，如图8所示，从中可以清晰地看到调频信号频谱中的载波分量及上下第一、第二边带分量的幅度。
改变信号发生器（调制信号）的频率，使得在调频信号的频谱中，载
波分量的幅度为0（即让信号淹没在噪声中），如图9（a）所示。此时调制信号频率为13.59kHz，根据表1可计算得到调频信号的频偏可能为
32.68kHz、75.02kHz、117.61kHz 等一系列值中的某一个。继续改变信号发生器的频率，使得在调频
信号的频谱中，载波分量的幅度再次为0，如图9（b）所示，此时调制信号频率为8.72kHz，根据0阶贝塞尔函数的零点分布，可计算得调频信号的频偏可能为20.97kHz、48.13kHz、75.46kHz 等一系列值中的某一个，继而可以推
图8 调频信号的频谱图
定调频信号的频偏应在75kHz 左右。当信号发生器的频率为6.37kHz 时，载波分量的幅度再次为0，如图9（c）所示。此时计算得调频信号的频偏为6.37×11.792≈75.12kHz。
上述三次测量得到调频信号的频偏分别为75.02kHz、75.46kHz、75.12kHz，与预设值75kHz 的偏差小于1kHz，符合《米波调频广播发射机技术要求和测
量方法》（GY/T 169-2001）[5]的规定。
类似地，我们可以通过改变信号发生器（调制信号）的频率，使得在调频信号的频谱中，任意边带分量的幅度为0，根据任意阶贝塞尔函数的零点分布，计算得到调频信号的频偏，下不赘述。
此外，我们可以通过载波分量与第一边频分量（或不同边带分量间）幅度之比来计算调制指数，继而求得调频信号的频偏。如图10（a）所示，调制信号频率为5.70kHz，算得Δ0,1=12.74dB，查函数G 0,1(m f )数值表或图，得到m f 的可能值为0.45、3.61、4.06、6.79、7.24、9.94、10.40、13.10、13.
55等中的某一个，
继而算得调频信号的频偏为2.57kHz、20.58kHz、23.14kHz、38.70kHz、41.27kHz、56.66kHz、59.28kHz、74.67kHz、77.24kHz 等数值中的某一个。改变信号发生器（调制信号）的频率，如图10（b）所示，调制信号频率为6.40kHz，Δ0,1=G 0,1(m f )=-24.84dB，得到m f 的可能值为2.34、2.46、5.46、5.57、8.60、8.71、11.73、11.85、14.87、14.99等中的某一个，继而计算得到调频信号的频偏为14.98kHz、15.74kHz、34.94kHz、35.65kHz、55.04kHz、55.74kHz、75.07kHz、75.84kHz、95.17kHz、95.94kHz 等值中的某一
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个。同理，继续改变信号发生器（调制信号）的频率，如图10（c）所示，调制信号频率为9.10kHz，计算得到调
频信号的频偏为18.11kHz、25.12kHz、46.68kHz、53.60kHz、75.26kHz、82.08kHz 等中的某一个。
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经过分析，确定调频信号的频偏应在75kHz 附近，三次测量值分别取74.67kHz、75.07kHz、75.26kHz，与预设值75kHz 的偏差小于1kHz，符合《米波调频广播发射机技术要求和测
量方法》（GY/T 169-2001）[5]的规定。6 结语
本文基于调频信号频谱与贝塞尔
函数间的关系，提出了两种使用频谱分析仪测量调频信号调频指数、频偏的方法，一种利用贝塞尔函数的零点
与频谱图像形态的关系，另一种利用载波分量与边频分量（或不同边频分量间）幅度之比与调频指数的函数关系。两种方法各有适用场景：当能较为精确地测得调制信号频率时，使用前一种方法测得的频偏较为精确；当能较为精确地测得载波分量与边频分
量（或不同边频分量间）幅度之比时，使用后一种方法测得的调频指数、频
偏较为精确。使用本文所提出的方法，通过频谱分析仪测量调频信号调频指数、频偏，可以使测试工作摆脱对专
用测量仪器的依赖，让实际工作更加方便。
参考文献：
[1] 刘颖编著.圆柱函数[M].北京：国防工业出版社,1983.
[2] 章文勋.无线电技术中的微分方程[M].北京：国防工业出版社,1982.
[3] 张自立，张韵琴，王文祥.数学物理方程[M].西安：西安交通大学出版社,1989.
[4] 陈后金，胡健，薛健编著.信号与系统[M].
北京：高等教育出版社,2007.
[5] 国家广播电影电视总局.米波调频广播发射机技术要求和测量方法:GY/T 169-
2001[S/OL].[2019-07-02].www.
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