*
彭 政
1)
厚美瑛
1)
史庆藩
1)2)
陆坤权
1)
1)(北京凝聚态物理国家实验室，中国科学院物理研究所，北京 100080)
2)(北京理工大学应用物理系，北京 100081)(2006年4月26日收到;2006年9月28日收到修改稿)
回顾了颗粒介质中应力的分布和传播模式以及物体在颗粒介质中运动所受阻力的研究进展，并报道了我们对颗粒体系中代表离散特性的颗粒尺寸效应对颗粒介质特性影响的研究.研究发现物体由于自身重量在颗粒介质中下沉的深度随着颗粒尺寸的增大单调减小；球体在下陷过程中受到的颗粒床的支撑力，除了在约1mm 范围的表面作用区域以外，与下陷深度之间满足很好的幂率关系，幂值在1 5 1 0之间，并且此幂值随着颗粒尺寸的增大而单调减小.颗粒床的支撑力与下陷深度的幂率关系可解释为颗粒介质内部应力结构重组的宏观反应结果. 关键词：颗粒物质，离散介质力学PACC :8270,4610
*国家自然科学基金(批准号:A0402 10474124)资助的课题. 通讯联系人.E mail:mayhou@aphy.iphy.ac.c n
1 引
言
颗粒体系中许多异于固体和流体的奇异特性
[1,2]
均缘于颗粒介质的离散性引起的应力分布的非均匀性，因此对于应力以及应力在颗粒介质中的传播方式的研究是研究颗粒介质离散态性质的一个重要的基础问题.
长期以来工程界一直借用连续介质的弹塑性模
型来描述颗粒介质的整体行为[3]
，但是弹塑性模型需要知道应力与应变的本构关系，而在颗粒介质中
怎样定义应变场仍是一个有争议的问题[4 6]
.弹塑性模型的另一个问题是无法在颗粒尺度范围内描述颗粒体系的一些特性，比如颗粒介质内部存在着大
于平均力的不均匀的 力链 结构[7 9]
，以及与沙堆的制备历史相关[10 11]
熔断器式隔离开关的沙堆底部应力分布存在的
中心应力凹陷现象[12]
.
早在十多年前,Liu 等人[7]
就对颗粒介质底部应力大小的概率分布进行了测量，发现大于平均力的应力出现的概率随着应力增大呈指数衰减，并提出了q 模型成功地解释了这一指数分布的实验现象.Wittmer 等人[13,14]
则提出了OSL (oriented stress linearity)模型较好地解释了沙堆底部的中心应力凹陷，以及沙堆应力响应与形成历史有关的现象.
1 1 颗粒介质的应力传播模型
对于在颗粒床表面局域施加点压，使介质产生
弹性范围内的应力，前面提到的三种模型：弹塑性模型,q 模型以及OSL 模型所给出的应力传播形式是完全不同的.弹塑性理论模型得到弹性传播模式,q 模型为扩散传播模式,OSL 模型则给出波传播模式[15]
.这三种传播模式的差别可以由颗粒床深h 处的应力响应格林函数看出.对于弹性传播模式(椭圆型偏微分方程)，其应力响应函数是一个半高宽随着深度h 线性增加的钟形曲线，应力的峰值位于顶部施力点
的正下方.对于扩散传播模式(抛物型偏微分方程)，其应力响应函数同样是一个简单的单峰分布，但是峰的半高宽正比于深度h 的1 2次方.而对于波传播模式(双曲型偏微分方程)，颗粒介质底面的应力分布在二维情况下是一个对称的双峰(三维情况下对应为一个环带)，在施力点的正下方存在一个应力极小点[16]
.看起来似乎只要直接测量到颗粒介质在表面加载点压情况下的响应函数的形式就应可分辨出颗粒介质中的应力传播方式了.然而过去几年里已有的实验和模拟的结果却无法给出一个显而易见的结论.
Geng 等人[17]和Mueggenburg 等人[18]
分别在二维和三维有序排列的颗粒介质中观察到了底部应力分
第56卷第2期2007年2月1000 3290 2007 56(02) 1195 08
物 理 学 报
AC TA PHYSIC A SINICA
Vol.56,No.2,February,2007
2007Chin.Phys.Soc.
布存在的双峰结构，正如双曲型偏微分方程描述的波传播情况一样.Geng等人[17]同时发现随着二维颗粒介质中无序度(包括颗粒排列的无序以及颗粒形状引入的无序)的增加，这种双峰的应力分布会在系统尺度较大时变成弹性传播的单峰结构.这种应力分布的单峰结构在无序排列的三维颗粒介质中也被观察到[19]，其分布的半高宽随着深度的增加线性增加.Silva等人[20]用方形颗粒在小系统尺度下甚至观察到了扩散传播形式的应力响应.Moukarzel等人[21]则通过实验和模拟研究了颗粒介质的位移响应函数，发现颗粒位移场宽度在小系统尺度(几个颗粒尺寸)范围内随深度的平方根增大(类似于扩散模型)，而在系统尺度变大时则线性依赖于深度(类似于弹性模型).
以上这些研究结果似乎相互矛盾.实际上这些描述都是正确的，只是它们适用于不同尺度的系统中[22,23].Goldenberg等人[22,24]指出力链存在的本质是由于颗粒系统是一个在宏观上含有相对较少组分(颗粒)的体系，每个颗粒在局域范围内都是各向异性的，因此系统尺度较小的颗粒体系会偏离宏观的弹性模型特性，但粒子数足够多的大尺度体系仍然表现出弹性模型特性.同时指出如果能观测到固体原子之间的作用力，那么在固体的原子尺度上应该同样可以观察到原子之间的 力链 .通过在二维模拟中调节颗粒之间的摩擦系数以及系统的无序度, Goldenberg等人[23]系统研究了颗粒系统对局域小应力的响应，发现应力在颗粒介质中的传播在短程范围内是以波的形式传播，而在长程范围则体现出了弹性传播的性质，而且体现波传播形式的特征短程区域会随着颗粒间的摩擦系数以及系统无序度的增大而缩小，也就是说摩擦和无序会增大颗粒系统的弹性适用区域.弹性模型在颗粒介质大尺度体系内的成立也正是长久以来工程界用弹性理论也能较成功地处理大体系颗粒物质中的许多实际问题的原因.
1 2 颗粒介质中的阻力研究
应力在准静态的颗粒介质中的传播问题似乎已经得到了一个完整的解释[15].然而实际情况通常要涉及到颗粒介质的塑性形变问题，即对颗粒介质施加外力作用以后会导致颗粒介质产生不可恢复的形变，这时的情况显然更加复杂.已有模型的适用性仍有待实验验证.运动物体在颗粒介质中所受到的阻力就是一个涉及颗粒介质塑性形变的问题.
近年来这方面的研究结果包括圆棒在三维颗粒介质中低速水平运动时[25]阻力F d线性依赖于棒的直径D，与棒的深度h呈二次方关系F d Dh2，而与棒的运动速度和颗粒尺寸无关，同时粗糙颗粒带来的阻力略大于光滑颗粒.Schiffer的小组还从实验和理论上研究了物体在颗粒介质中水平运动时受到的阻力的涨落过程[26 28]，发现随着物体的深度和颗粒尺寸的不同，阻力的涨落呈现不同的三种形式：周期涨落，随机涨落和阶梯涨落.在周期涨落的区域，验证了文献[25]中的结论.他们之后的实验[29]还发现不同形状的物体在颗粒介质中水平低速运动受到的阻力大小与物体的截面积成正比，而随深度的增长关系比线性增长更快，同时阻力的大小与物体的形状关系不大.Schiffer小组[30,31]在另一项研究中将一个圆形平板垂直压入三维颗粒介质中发现受底部边界的影响，颗粒介质对平板的阻力在接近底部一定距离时呈指数增长.Geng等人[32]发现物体在二维颗粒介质中缓慢移动受到的阻力平均值与约化的堆积分数呈幂率关系(幂值1 5)，与物体运动的速度呈缓慢的对数增加，而与物体的尺寸呈非线性的依赖关系.
1 3 颗粒尺寸
以上讨论的物体在颗粒介质中运动受到的阻力，显然与固体的塑性形变以及液体的黏性阻力不同，不同的主要原因在于颗粒介质在宏观上是离散的，而一般的固体和液体在宏观上是连续的.因此研究颗粒介质中的阻力要遇到的一个不可回避的问题就是要研究宏观离散的颗粒介质中颗粒的尺寸与阻力之间的联系.在文献[30 32]中都涉及到了颗粒尺寸与阻力之间关系的实验研究，但均未能得到有信服力的结论.然而文献[30,31]中颗粒尺寸的不同对阻力值的影响是很明显的，因此有必要对阻力与颗粒尺寸的依赖关系进行更系统的研究.
本文通过在不同颗粒尺寸的床中测量受重力作用的钢球准静态陷入颗粒床中的深度，系统研究了颗粒体系的阻力与颗粒尺寸的关系，发现随着颗粒尺寸的增加，钢球的下陷深度单调减小.在下陷过程中颗粒床对钢球的支撑力对深度的依赖关系满足幂率关系，幂值在1 1 5之间变化.这种阻力随颗粒尺寸不同的系统变化第一次被观测到.这表明物体在自身重力下在颗粒床中准静态下陷的深度或许是
1196物 理 学 报56卷
一个更敏感依赖于颗粒尺寸的参数，也就是说我们到了一个较好的实验方法来研究颗粒的尺寸效应.
2.实验方法
实验中采用的颗粒床由一个装满玻璃颗粒，直径为16 9c m，高为10cm 的玻璃容器来提供.容器的尺寸经过实验检验足够大，边界效应不会造成对实验测量的影响.大球通过一根细金属链与力传感器(力传感器精度:0 1g)连接，力传感器固定在一个可以精确控制位移的升降台上.以球与颗粒床相切时的位置为初始位置，升降台以50 m s 的速度控制大球在颗粒床中匀速下降，直到金属链完全松弛，大球不再下沉.测量此时大球在颗粒床的陷入深度d ，并通过力传感器记录下大球在下沉过程中所受到的颗粒床的支撑力.颗粒床的制备采取了在容器中心用漏斗从固定的高度(漏斗口比容器口平面高约5cm)加入颗粒的方法，在漏斗加入颗粒完毕后用直尺将颗粒床表面齐容器口刮平，以得到一个平整的颗粒床初始平面.每一次实验均重新制备颗粒床，以保持相同的初始条件.采用这种方法制备的颗粒床堆积分数约为60% 0 5%.实验中大球采用了三种尺寸的钢球，半径R 分别为10mm,12 5m m 和15mm.大球密度 R 为7 8g cm 3
.采用了半径r =0 19 1 2m m 的13种玻璃颗粒为床颗粒.床颗粒密度 r 为2 5g cm 3
.由于玻璃颗粒在尺寸较小时颗粒间的内聚力受湿度影响较为严重，所以在实验过程中保证湿度在10% 30%之间.
3.实验结果
图1是三种尺寸的大球在13种颗粒床中沉入深度随床颗粒尺寸变化的曲线.曲线上的每个点都是至少5次
桶盖实验的平均结果.可以看出，随着床颗粒尺寸的增加，大球的沉入深度单调下降.直观上在不考虑密度差别时，当r R ，沉入深度d 0，因为此时大球与单个的床颗粒已经没有区别了.在另一个极限当r 0时，由于床颗粒变小，颗粒床整体的表面积增大，对水的吸附能力增强，导致内聚力的影响加剧，最终将会导致大球的下沉深度在一定程度上随床颗粒尺寸变小而变小.这时的情况比较复杂，影
响因素也不好控制.故在本文中选择的床颗粒的尺
寸均不是太小，同时保持较小的环境湿度，以便将湿度导致的颗粒间内聚力的影响降到最小.
为考察大球下沉深度与大球 床颗粒尺寸比之间的关系，图2中的插图以大球半径R 参数对图1进行了无量纲标度，由三条曲线的重合情况可以看出R 并不是一个很好的标度参数.
图1 直径2R =20,25,30mm 的钢球在颗粒直径2r =0 38 2 4mm 的十三种颗粒床中的最终下沉深度随颗粒直径的变化关系
3 1 颗粒介质与 浮力
对于浮在液体表面的物体，我们由阿基米德原理知道W
V s l (=常数), l 为液体的密度,W 和V s
网络球分别为物体的重量和物体沉入液体的体积. 颗粒流体 也许也存在相类似的描述关系.若把颗粒介质描述成为一种具有 等效密度 的液体，它的 等效密度 应可由大球沉入的深度决定，而此密度应与大球的尺寸无关.图2为以大球的重量W 与其沉入体积V s 的比值W V s ，即 等效密度 为纵坐标，颗粒与大球的尺寸比r R 为横坐标进行标度的结果.由图可见，三条曲线较好的重合，与我们设想的一致.与液体不同之处在于颗粒床的 等效密度 随着颗粒尺寸的增加而增加，不是一个随材料决定的常数.
为验证颗粒床 等效密度 的概念，还应该比较不同密度的大球的沉入深度与颗粒床 密度 之间的关系.
由于在实验过程中大球下沉的速度很慢(50 m s)，而大球与力传感器之间采用的细铁链这种软连接方式保证了大球在下沉过程中始终是在自身重力下达到力平衡，故可以将大球下沉的过程看
1197
2期彭 政等：颗粒介质的离散态特性研究
图2 颗粒床的 等效密度 随r R的变化关系.插图为图1中的数据用R进行标度得到的结果
成是一个时时处于力平衡的准静态过程.因此在不同沉入深度测得的支撑力，可以看成为对应于不同下沉深度d时，具有不同等效密度 R的大球的重量.图3(a)和图3(b)分别是R=15mm的大球在最大和最小的颗粒床中下沉对应的力曲线，每条力曲线同样是5次以上实验平均的结果.对于涨落较大的力曲线，我们对曲线进行了平滑处理.由支撑力与下沉深度的关系我们可以对应出一系列具有等效 R的大球的下沉深度.图4是由选取的五种等效 R 给出的颗粒床的 等效密度 f V s随r R的变化关系图.由图4可见，对于相同的 R，三个尺寸的大球如同图2所示，能较好的归一到了一起.但是不同的 R归一的曲线随着密度的增加向下漂移.尽管不同 R归一的曲线无法重合到一起，但是同一 R的曲线随着r R的减小 等效密度 f V s都逐渐归一趋于一个常数.我们知道当r趋于零(或r R趋于零)时，颗粒介质趋向于连续介质，而作为
连续介质的液体，在体现浮力作用时液体密度就是一个不变的常数.这说明了用 等效浮力 来描述颗粒介质在颗粒介质趋向连续极限时是满足于流体特性的.当r R 逐渐增大时，颗粒介质的离散特性开始表现出来，支撑力(见图3(a))以及 等效密度 的涨落开始变大(在 R较小时更加明显)，但所有 R对应的颗粒床的 等效密度 都有随着颗粒介质离散性增强(即r R增大)而发散的趋势.并且随着 R的减小, 等效密度 发散的速度逐渐变快.尽管 等效密度 的说法可以将同样 R不同R的曲线较好的归一到一起，并且在趋向连续极限时满足液体的一般特性，但
是由于不同 R的曲线无法重合在一起，因此将颗粒
图3 (a),(b)分别为R=15mm的钢球在r=1 2mm和
0 19mm的颗粒床中下沉所受的颗粒床的支撑力随下沉深度的变化关系.图(a)中的实线为平滑处理后的结果.由于实验中采用的力传感器显示的是大球的重量，故图中的纵坐标支撑力的单位直接取为了质量单位 g
图4 当大球密度 R分别等于0 25,0 33,0 5,0 67和1倍钢球真实密度时，颗粒床的 等效密度 随r R的变化关系
介质类似液体的 等效密度 的说法存在局限性，仍有待进一步的研究.
以上将物体在颗粒介质中沉入的深度用 等效浮力 的观点将颗粒介质与液体进行了类比，发现这种类比存在一定的局限.那么是否能将颗粒介质与弹性固体进行比较呢?
1198物 理 学 报56卷
3 2 颗粒介质与 弹性形变
对于在压力F 作用下弹性接触的两个球形弹性体,Hertz 给出了两个球之间由于形变而压缩的距离 与压力F 之间的关系为
=
F
2 3
D
2
1R 1+1
R 2
1 3
,
其中R 1和R 2分别为两个球的半径,D 与两球的材料性质有关
[33]
.而Laudau 和Lifshitz电子离合器
[33]
则将这一结
论推广到两个任意形状的有限尺寸弹性体之间的接触，都满足关系F 1 5
.如果将整个颗粒床看成是一个有限尺度的弹性体，那么它与陷入的大球之间的接触也应该满足F 1 5
的关系，此时 为球陷入的深度d .(在Laudau 和Lifshitz 理论中要求出现
的形变 是小形变，在我们的实验中大球近似为刚性，其自身形变可以忽略, 主要由颗粒床的形变带来，而所有大球陷入的深度均没有超过球的半径，这对于大尺度的颗粒床来说可以看成是小形变.)
仿真人图5 大球在颗粒床中下沉过程中支撑力f 随下沉深度d 的变化关系 R =15mm,r =0 19mm；图中的实线是一条辅助直线
通过测量大球在颗粒介质中下沉时受到的颗粒床的支撑力随下沉深度的变化，我们发现除了在表面约1mm 的范围以外，支撑力f 与下沉深度d 在双对数坐标里是一个很好的线性关系,f d
, 为此直线的斜率(见图5).图6给出了直径为30mm 的钢球在各种颗粒尺寸的颗粒床中支撑力与下沉深度的变化曲线，可以看到，对于各种颗粒尺寸的颗粒床，都存在一个表面作用区域，而且不同颗粒尺寸的颗粒床的表面作用的区域几乎都是1mm 左右，这与普通的弹性固体的宏观表现很不相同.1mm 的深
度对于小颗粒尺寸约是2 3层，而对于大颗粒尺寸
连一层都不到.表面作用只与深度有关系而与颗粒的层数没有关系，说明表面作用是表面的颗粒在重力作用下体现连续介质特性的结果，而与体现离散
介质特性的颗粒之间的几何相互作用无关.另外由于表面的颗粒在受到钢球挤压后可以向两侧移动甚
至向上方膨胀，所以表面层的作用力要小于颗粒床
ip电话系统内部，也就是说颗粒介质的表面比内部更容易侵入，这与存在表面张力作用的液体刚好相反.这约1mm 深度的表面作用区域分界明显的存在，也保证了我们测到的幂率关系是真实的颗粒介质内部的体效应.
图6 支撑力f 在不同颗粒尺寸的颗粒床中随下沉深度d 的变化关系 R =15mm,2r =0 38 2 4mm，图中的直线对应d =1mm 的深度
图7 支撑力的幂率指数 随颗粒尺寸的变化关系,2R =20,25,30mm
图7给出了不同尺寸的大球在不同颗粒床中支撑力的幂值 , 1 0 1 5，并且随着床颗粒尺寸的增大而减小.大球在颗粒介质中下沉的过程受到
的支撑力随下沉深度的变化满足幂率关系，这一点与Hertz 描述的弹性固体比较相似，然而幂值却并不
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2期彭 政等：颗粒介质的离散态特性研究
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