第2O卷第2期
1998年6月
V0l-2ONo.2
Jun.1998
经验过程的Cesaro大数定律
刘吉定
(基础教育部)
摘要得到了经验过程的Cesaro大数定律成立的充要条件.设X为概率空间(/-/,,P)上取 值于可涮空间(s,)中的随机元,{x).为x的独立版本序列.在给予，一可测函数族以某些条件下，对所有∈(O,1)，得到 Il{蚱l,(墨)一0,a.s.
……/怅P艮定弭关键词赋范空间的随机元；经验过程；独立随机元的和外ft1
分类号O231.4
1引言和主要结果
可分B值随机元的某些重要极限定理在经验过程中已有相应的形式.例如,Ledoux,M.
和Talagrand,M建立了经验过程的LIL；吴黎明教授建立了经验过程中另一形式的LIL;
Dudley开创了经验过程的CLT的课题0；邵启满和于浩研究了配重经验过程的收敛性问
题.本文建立了可分B空间的Cesaro大数定律在经验过程中的相应形式.
设(n,,P)是一概率空间,(s,)是一可测空间,x为(n,,P)上取值于(s,)中的
随机元.不妨设(n,，尸)足够大，其上存在x的独立版本序列{X}≥.,{X)≥o的独立版本
耳机转接器{x}.≥.以及与{X},{X)≥.独立的Bernoulli序列}≥o，管是S上的一族实值一可测
函数.对于任何以管为下标集的一族实值{4,},，记d，川一supI,I.令
盘一{—哝的映射,supI(,)l<..}.V,yE盘，令(Xx+蚶)(,)一Xx(f)+(,),
V,∈雪.则盘为一线性空间，这样,(盘,I)为一赋范空间.
本文中，表示只与有关的常数，在不同的地方，它有可能表示不同的常数.为在可测条
件下讨论，还设管只含可数个函数.
定理设V,∈管,El(X)一0?{ll白'A：二:).￡|If(X)l1,2}(EN)I~-Pr?
Vz∈S
1If(x)<..(1)
则对于任何∈(0,1)，有
1
lill∑A:ZIf(X)=0,a.s.(2)～一
成立的充要条件是
zllf(x)<oo.(3)
收稿日期{1997—1O一27
刘吉定：男,1963年生?硕士，讲师
武工学院第2O卷
2几条引理及其证明
为了证明定理，需要下面几条引理;
引理1且：一∑A:,～/r(+1)(文献[6],P.42).…
引理2设{.)是一值独立随机元列,{目)是实数列,V,∈,i一1,2,…,EI/(x,)
<o.，则Vt>0,n∈N，有
P{∑m(,(墨)一Ef(X))>3t}一
I
≤2P{1_,(I>f}+~
…
upp{IZ(,(x)_E,(墨))l>)?
证明由文献[7]可知:Vt>0,n∈N，有远红外烘干炉
(卜s
脚
upP{I~n(,(墨)一Ed(X.))l>￡训(,(墨卜Ef(x>3)
≤尸钏(,()一,(,))l_>2}自动旋转喷雾喷头
故，对任何一4-1,k一1,2,…,n，有
P钏(,()一Ef(X))l_>3t}
≤P{f1,(一f(X-}-supP{1,(墨)_E,')1>)
一
E{l_(,(墨卜f(xI1>2¨+supP{1,(墨卜E,(墨))1>}
<ze{ilZ…
f(X>}+s捕虾机电路图
脚
upP{I,(一E,(XD)I>}?
引理3([8]P.165)设{}是—值独立随机元列,{4,)是实数列,p>O,V,∈, Elf(x)I>oo，则,,n∈N,
圳e,(驯1≤4.3m
—
axII:C,
n,(驯I;+16'3}
电量监控
这里:inf[z>o:P{II~f(x,)11>}≤i_南]
引理4([8]P.164)设(x_.'X)是一值独立随机元组,(n..'口)是实数组,Vf6, ,(五)(1≤i≤n)对称，则Vt>O，有
P{I1f(x>3￡}≤P{
.
s
"
upIIf(xr)11>￡}+4Pa{.?,(驯1>)
引理5([9]Th.2.1)设(.-'x)是一值独立随机元,(n")是实数组.若存在M >o，使得V1,2,…,n,IIf(X,)≤'a.s.定义一EllnJf(x.)，则V>o，有镁碳砖
P({I1n,,(x.)l1一Elln,,(x)l>￡}≤2exp{南一(南+南)ln(1+)}.
引理6设VxES,1If(x)<co,{.)是一值独立同分布随机元列,Vf6,≥O, f(.)对称，若
第2期刘吉定：经验过程的Cesaro大效定律89
1Im∑=if(x)11一o,a.s～～
则EIIf(Xo)<...
证明对每一个整数，定义
g?一f(X?)",(I){{1
(4)
(5)
令Gl一去A:=l，由对称性及L∈vy不等式，可得存在>o，使得
su
≥
p
.
P{
nIIA：二j,(x)11>)≤吉
从而
infIn(P{supIIA'~:if(X)≤M})≥一1n2
】nH0《^≤
所以
P{蚱If()11>)≤ln2
因此存在常数使得
sup[：尸{k.-Ln～IIf(x.)>KM}+P{n_IIf(X.)>KM}]≤In2…^一l
于是
sup(n+1)P{II/(Xo)>KMn)≤ln2
由此可得
suptP{IIf(x.)>t)<..(6)
由(6)式及BorelCantelli引理，即有
liraIIGI一0,a.S.(7)
定义"0一go,"】一g1一g一,"^一--g,…,NV≥O,g一"0+"l+…+.令g是舅的共轭空间舅的单位闭球中的一个元素，对每一个∈(
<..}，定义s()一s(,m)如下:
1,1)及每一个∈{:lIGl
()一∑(1一)一g(ua)一∑(1一)一'(∑)g(机)●≥0≥0J≥^
由IIII≤可知
s()一∑一(1一)一'(∑g(u))一∑(1一)一g(gj)
J≥0o~t<jo
∑一(∑A：一')g(g)
∑Agg(G,)
V∞∈{甜:pG一(∞)<..},V∈(一1,1)
g
∑
∑
培
∑
∑
一
A∑
∑
g
一一
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∑Ⅲ
一
得
正
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