3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
锯末板常见二阶系统结构图如图3-,所示其中，为环节参数。系统闭环传递函数为 KT
K ,s, ()2Ts，s，K1
化成标准形式
2,n (首1型) (3-5) ,(s),22s，2,,s，,nn
1,(s), (尾1型) (3-6) 22Ts，2T,s，1
11T1K1式中，，，。 ,,,,,,Tn2KTTTK11
、分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首,,n
1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为
22 D(s),s，2,,s，,,0nn其特征特征根为
2,,,,,,,,,1 nn1,2
若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见,
表3-3。
表3-3 二阶系统(按阻尼比)分类表 ,
纸浆模
,t1e ,,12,,,,,,,,,1 nn 1,2,t2e过阻尼
双合金螺杆
,,tn ,,1e,,,, 1,2n,,tnte临界阻尼 测井车
,,t,2n,,esin1,t0,,,1 n2,,,,,,j,1,, nn1,2t,,,2necos1,,,t欠阻尼 n
57
胡纯玉
,sint ,,0n ,,,j, 1,2ncos,tn零阻尼
数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，
,t,t,tn12代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是，，且无重根，则把函数，，eee,,,？,？,12n称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
,t2,t,如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。 tete,？
(,，j,)t(,,j,)t如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态ee,,,,j,
,t,t与。 esin,tecos,t
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模
态的线性组合。
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算
设过阻尼二阶系统的极点为
1122 ，， ，， ,,,,,,,,,1,,,,,,,，,,1,(T,T)12nn12TT12系统单位阶跃响应的拉氏变换 2,1nCs,sRs, ()()(),s，Ts，Ts(1)(1)12进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应
tt,,TT12eet,0ht(),1，， (3-7) TT21,1,1TT12
石墨钢
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。根据式(3-7)，令取不同值，可分别求TT12
tT解出相应的无量纲调节时间，如图3-7所示。图s1
中为参变量，由 ,
22 s，2,,s，,,(s，1T)(s，1T)nn12
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性 1，(TT)12可解出 ,, 2TT12
58
,tT2当(或)很大时，特征根比远离虚轴，模态很快衰减为eTT,,,1T,,,1T,122211
,tT1零，系统调节时间主要由对应的模态决定。此时可将过阻尼二阶系统近似看作由e,,,1T,111确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图3-7曲线体现了这一规律性。
16,(s),例3-3 某系统闭环传递函数，计算系统的动态性能指标。 2s，10s，16
21616,n,(s),,,解 2(s，2)(s，8)(s，1T)(s，1T)s，10s，1612
11T,,0.5T,,0.125 1228
1，(TT)12 TT,0.50.125,4,,,1.25,1122TT12
ts,3.3查图3-7可得 ，计算得 T1
tTs,,，,3.33.30.51.65 s1
图
3-8
59
给出系统单位阶跃响应曲线。
T,0.1例3-4 角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，为开环增益，s为伺服电动机K时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间s，问应取多大, Kt,1s
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