一、解答题
1．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，且离心率等于2. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P 作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由. 【答案】（Ⅰ）22142
x y +=；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）将点⎛ ⎝⎭
psho
代入椭圆标准方程，结合222,c e c a b a ==+列方程组，解这个方程组求得22
梭式止回阀
4,2a b ==，椭圆方程为22
142x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用0PA PB ⋅=，解得22,33m k y k x ⎛⎫=−
=− ⎪⎝⎭，此直线过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 试题解析： （1）22直流调压器
142
x y += （2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得
()2222
12122424124240,,1212km m k x kmx m x x x x k k −+++−=+=−=++， ，
由()()()()1212220x x kx m kx m −−+++=得224830k km m ++=，
2m k =−（舍去），22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆
的标准方程，除了222a b c +这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.
2．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【分析】
（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭
， 所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭玻璃模具设计
.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【详解】
解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12
c a =， 解得2a =，1c =，
又2223b a c =−=，
所以椭圆C 的标准方程22
143
x y +=． （Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，
联立()
2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨−=−⎪⎩，得 ()()()2
223484120k x k t k x t k ++−+−−=， 由题意，>0∆，
设()()1122,,,A x y B x y ，
则()
122834−+=−+k t k x x k ， 因为PA PB =，所以P 是AB 的中点． 即1212
x x +=，得()28234−−=+k t k k ， 340kt += ①
又l AB ⊥，l 的斜率为1k
−， 直线l 的方程为()11y t x k
−=−− ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭
所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，
此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.地沟油检测方法
3．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
2），P 4（1
，2
）中恰有三点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【答案】(1) 2
214
x y +=. (2)证明见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b
+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C
的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2
214
x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=−列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.
试题解析：
（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b
+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2
22
111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. 故C 的方程为2
214
x y +=. （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t
，（t
，.
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则121k k +==−，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
214
x y +=得 ()
222418440k x kmx m +++−= 由题设可知()
22=16410k m ∆−+>. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441
m k −+. 而121212
11y y k k x x −−+=+ 1212
11kx m kx m x x +−+−=+ ()()
12121221kx x m x x x x +−+=.
由题设121k k +=−，故()()()12122110k x x m x x ++−+=.
即()()22244821104141
m km k m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12
m k +=−. 当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−
+，即()1122m y x ++=−−， 所以l 过定点（2，1−）
点睛：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证
明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.
4．已知点P 3(1,)2−是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，
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