高考数学平面几何专题训练库（100题-含参考答案）
1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点,33a a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，B ⎭
(2)点()00,Q x y 是单位圆221x y +=上的任意一点，设P ，M ，N 是椭圆E 上异于顶点
的三点且满足00=+uu u r uuu r uuu r
OP x OM y ON ．求证：直线OM 与ON 的斜率乘积为定值．
【答案】(1)2
21
8
x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】
（1）将,A B 两点的坐标代入椭圆方程中解方程组求出22,a b 的值，从而可求得椭圆方程，（2）令()11,M x y ，()22,N x y ，则由已知可得()01020102,P x x y x x y y y ++，代入椭圆方程
中化简整理，再结合221118x y +=，2
2
2218
x y +=，22001x y +=，可证得结论
(1)
由题意得22
22
工地降尘222
314199a b a a a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21b =，28a =，故椭圆方程为2
远距离遥控器218
x y +=．
(2)
证明：令()11,M x y ，()22,N x y ，则由00=+uu u r uuu r uuu r
OP x OM y ON ，
可知()01020102,P x x y x x y y y ++，
故：()()2
2
01
02010218
x x y x x y y y +++=，
整理得222222
0012121020001222
1888x y x x x x y x y y x y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭．又221118x y +=，2
22218x y +=，22001x y +=，故001200122208
x y x x
x y y y +=，
故12121
8
OM ON y y k k x x ⋅=
=-．2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且过点12⎫⎪⎭.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一动点，直线PA ，PB 与直线3x =交于M ，N 两点，设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，求
1
2
r r 的最小值.【答案】(1)2
21
4
x y +=
【解析】【分析】
(1)将点的坐标代入方程可得
22
3114a b +=，结合离心率算出a 、b 即可；(2)根据题意求出点A 、B 坐标，设椭圆C 上动点(),P x y ，利用两点连线的斜率公式可得
1电磁炮制作
=4
PA PB k k ⋅-，设出直线PA 、PB 方程，根据点M 、N 坐标求出MN ，利用正弦定理表
示121
544
k MN r k r AB
+==，结合基本不等式即可得出结果.
(1)
由题意知
c a =
223114a b +=，∴2a =，1b =，∴椭圆2
2:14
x C y +=.(2)
由已知得()2,0A -，()2,0B ，设椭圆C 上动点(),P x y ，则利用两点连线的斜率公式可知02-=
+PA y k x ，0
2
PB y k x -=-，∴()()2
2222100142222444
PA PB
x y y y y k k
x x x x x x -
--⋅=⋅====-+-+---，设直线PA 方程为：()2y k x =+，则直线PB 方程为：()1
24y x k
=--，根据对称性不妨设0k >，令3x =，得5M y k =，1
4N y k
=-，即()3,5M k ，13,4-⎛
⎫ ⎪⎝
⎭k N ，则154MN k k =+
，
设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得：12sin MN r MPN =
∠，22sin AB
r APB
=∠，
又∵180MPN APB ∠+∠=︒，∴sin sin MPN APB ∠=∠，
∴121
55444
k MN r k r AB +
==
≥
，当且仅当154=
k k
，即10
=k 时，等号成立，即12r r
3．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点()()3,1,0,2A B .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点()4,0E 的直线与椭圆C 交于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =于点,P Q .求证：线段PQ 的中点为定点.
【答案】(1)221
124
x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】
（1）根据椭圆过点()()3,1,0,2A B ，代入椭圆方程求解；
（2）设直线MN 的方程为()
4y k x =-，联立()22
11244x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，，令4x =，分别求得直线
,MA NA 与直线4x =的交点,P Q 的纵坐标，结合韦达定理，由P Q y y +求解.
(1)
解：由题设，得22
柿子去皮机2,
91
1.b a b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得2212,
4a b ⎧=⎨=⎩
.
所以椭圆C 的方程为：22
1124
can总线电路x y +=.
(2)
依题意，直线MN 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-.
由()22
11244x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()
2222
312448120k x k x k +-+-=.由()2
Δ4810,k
=->得2
1k
<，即11k -<<.
设()()1122,,,M x y N x y ，
则22121222
244812,3131
k k x x x x k k -+==++.直线MA 的方程为()()1111
1333
xoy2y y x x x --=
-≠-，令4x =，得点P 的纵坐标()11114
33
P y x y x x +-=≠-.
同理可得点Q 的纵坐标()22224
33
Q y x y x x +-=≠-.
所以11221244
33
P Q y x y x y y x x +-+-+=
+
--()()()()()()2111221234434433x k x x x k x x x x ⎡⎤⎡⎤--+-+--+-⎣⎦⎣⎦=
--()()()()()()
()()
21121213413433k x x k x x x x +--++--=
--()()()()()()()
()()()()
21121212121213434127243333k x x x x k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+--+-++⎣⎦⎣⎦
=
=----，
因为()22
12122248122427242724
3131
k k x x x x k k --++=⨯-⨯+++222241731
240,
31
k k k k --++=⨯=+所以0P Q y y +=.
所以线段PQ 的中点坐标为()4,0是定点.
4．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 过点21,2P ⎛ ⎝⎭
，直线1PF 交y 轴于Q ，且22PF QO =
，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，菱形ABCD 内接于椭圆C ，菱形中心在坐标原点.①求
22
11
||||OA OB +的值；②求菱形ABCD 面积的最小值.【答案】(1)2
21
2
x y +=(2)①32②
83
【解析】【分析】
（1）依题意可得2PF x ⊥轴，即可得到1c =，
再根据点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆上及222c a b =-得到方程组，解得2a 、2b ，即可得到椭圆方程；
（2）①将椭圆方程化为极坐标方程，设OA 的极坐标为θα=，则OB 的极坐标为
2
π
θα=
+，OA 为1ρ，OB 为2ρ，即可表示1ρ、2ρ，从而计算可得；②由①可知
122ABCD S ρρ=，由
2
2
121
1
3
2
ρρ+
=
利用基本不等式求出12ρρ的最小值，即可得解(1)
解：依题意22PF QO = ，所以2PF x ⊥轴，所以1c =，又222221112a b c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆方程为2
212
x y +=；
(2)
解：①将椭圆的方程2212x y +=化为极坐标方程，即()()2
2cos sin 12
ρθρθ+=，所以
2222
cos 2sin ρθθ
=
+，设菱形的中心在坐标原点，故可设OA 的极坐标为θα=，则OB 的
极坐标为2
π
θα=
+，OA 为1ρ，OB 为2ρ，则21222
cos 2sin ραα
=
+，所以
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议