第27卷第4期2010年4月
机械设计
JOURNAL OF MACHINE DESIGN
Vol.27No.4
Apr.2010
冯志友1，何连才2，杨廷力3，张策4
（1.天津工业大学天津市现代机电装备技术重点实验室，天津300160；2.佳木斯大学机械工程学院，黑龙江佳木斯154007；
3.中国石化集团金陵石化公司，江苏南京210042；
4.天津大学机械工程学院，天津300072）
摘要：基于单开链单元应用牛顿欧拉法对平面并联气液动连杆机构进行了逆动力学分析。依据平面并联气液动连杆机构的拓扑结构特征，建立了与机构拓扑结构相统一的机构逆动力学分析模型，得到了维数恰等于机构耦合度的平面并联气液动连杆机构逆动力学方程。以一个3自由度平面并联气液动连杆机构为实例，给出了已知连杆运动规律下驱动力及运动副反力分析。
关键词：并联机构；气液动连杆机构；动力学分析；单开链
中图分类号：TH112文献标识码：A文章编号：1001－2354（2010）04－0058－04
并联气液动连杆机构具有制造容易、坚实耐用、维
修保养方便等优点，而且便于遥控，易于实现自动化或
半自动化，被广泛应用于农业机械、矿山装备等领
域［1］。并联机构逆动力学分析是在已知机构运动规律
的前提下，求解机构的主动输入和运动副支反力。目
前，并联机构逆动力学模型均建立在系统拓扑描述方
式之上，主要有构件和支路单开链两种单元划分方式，
前者单元数目多，动力学方程数目多；后者单元数目较
少，但方程的维数较高。
文中基于序单开链法给出一种平面并联气液动连
杆机构逆动力学分析的新方法。该方法首先对机构进
行序单开链结构分解，按照分解路线的逆序，应用牛
顿－欧拉方程建立逆动力学分析模型，得到维数最少，
且恰等于机构耦合度的含有虚拟变量的逆动力学方
程。然后通过线性叠加原理得到虚拟变量的真实值，
从而求出各驱动力及运动副反力。利用该种方法所建
立的逆动力学方程，未知数最少，可提高计算机程序的
自动化程度以及运算效率，并且该方法可适用于任何
支路结构类型的并联机构。
1逆动力学分析的序单开链法
基本原理
如图1所示，该机构由机架、3支驱动杆A
1B
1
，
A 2B
2
，A
3
B
3
和连杆B
1
B
3
组成，每个驱动杆包含一个由
缸体和活塞组成的移动副，杆PC与连杆固结且垂直于B
1
B
3
，以驱动杆A
1
B
1
的转动副的中心A
1
为原点，建立
静态坐标系A
1
－xy，以连杆上的点P为原点建立动态坐标系P－uv，连杆与x轴正向之间的夹角为θ，当给定连杆的位置和运动规律，各个运动副的位置和运动便可求得
。
图1机构示意图
按照序单开链法机构分解思想，此机构的分解路线为［2］：
KC［f=3，v=2，k=1］=J［3］+BKC［f=0，v=2，k=1］= J［3］+BL+SOC1（Δ1=1）+SOC2（Δ2=－1）
式中：J———主动副；
BL———基础构件；
KC———运动链；
SOC———单开链；
BKC———基础运动链；
SOC1ʒ｛A1－P1－B1－B2－P2－A2｝；
Δ1=m1－I1－ξ1=6－2－3=1；
SOC2ʒ｛A3－P3－B3｝；
Δ2=m2－I2－ξ2=3－1－3=－1；
Δj———SOC j的约束度；
m j———SOC j运动副自由度之和；
*收稿日期：2008－12－22；修订日期：2009－10－15
基金项目：国家自然科学基金资助项目（50875261）
作者简介：冯志友（1964－），男，黑龙江嫩江人，教授，博士，主要从事机器人机构学与机械动力学研究，发表论文近40篇。
I j ———SOC j 主动副数；
ξj —
——第j 回路独立位移方程数。机构耦合度为：
k =
1
2∑v
j =1
|Δj |=1
对结构因子为负值的每一单开链SOC （Δ－
j ），取其适当的|Δ－
j |个未知支反力分量以虚拟赋值，
共有k 个未知支反力分量的虚拟赋值，则按照机构结构分解路线的逆序（由SOC v 到SOC 1），
每一单开链的动力分析可依次单独求解，但k 个未知支反力分量的虚拟赋值应满足约束度为正值的每个单开链SOC （Δ+j
）的支反力相容性条件，则共有k 个相容性方程。满足全部k 个支反力相容性方程的k 个未知支反力分量的虚拟赋值即为这些支反力分量的真实值，
然后，机构其余运动副的支反力及驱动力（矩）可由首先求出的k 个支反力分量方便求得。
因为动态静力分析是线性问题，所以力的虚拟赋值可以通过线性叠加法取得
［3］
。用线性叠加法确定方程系数，
方程求解即可得各虚拟赋值变量的真实值。2机构的逆运动学分析
机构的逆运动学分析是指在已知连杆B 1B 3的位
置、速度、加速度条件下，求解机构各运动副的位置、速度和加速度，为动力学分析建立基础。2.1
位置分析
令c =A 1C ң
，
由图1可知：c =p +Hc k
（1）
式中：p —
——向量A 1P ң
；c k
———向量PC ң在动坐标系下的表示，c k =（0，0.05）T ；
H ———动坐标系到静坐标系的变换矩阵，H =
cos θ－sin θsin θcos [
]
θ
。
由式（1）得：
p =c －Hc k
（2）各个转动副的位置向量为：
r i =p +He k i
（3）
式中：e k i —
——向量PB ң
i 在动坐标系下的表示，i =1，2，3。各个杆的位置向量为：
b i =l i s i =r i －a i
（4）
式中：s i —
——向量A i B i ң
的单位向量；a i ———向量A 1A i ң；l i ———A i B i ң的模。
各个驱动杆的长度为：
l i =|r i －a i |
（5）各个驱动杆的单位向量为：
s i =（r i －a i ）/l i
（6）各个驱动杆与x 轴的夹角为：
θ=arctan （s iy /s ix ）
（7）
式中：s ix —
——单位向量s i 的轴分量；s iy ———单位向量s i 的y 轴分量。
2.2速度分析
式（3）对时间求导得各个转动副的速度向量为：
r ·=p ·+H ·e k i （8）
式中：p ·=c ·+H ·c k ；
H ·=
－θ·sin θ－θ·cos θθ·cos θ
－θ·sin [
]θ
。
各个转动副沿驱动杆方向的速度为：
l ·
i =r i ·s i
（9）各个驱动杆角速度为：
θ·i =r ·
i ˑs i /l i
（10）
因θ·
i 仅含有z 向分量θ·
iz ，故取：
θ·i =θ·
iz
（11）
2.3加速度分析
式（8）对时间求导得各个转动副的加速度向
量为：
r ㊆i =p ㊆+H ㊆e k i
（12）
式中：p ㊆=c ㊆－H ㊆
c k ；
H ㊆=
－θ㊆sin θ－θ·
2cos θ－θ㊆cos θ+θ·
2sin θθ㊆cos θ－θ·
2sin θ
－θ㊆sin θ－θ·
2cos [
]θ
。
各个转动副沿驱动杆方向的加速度为：
l ㊆i =r ㊆
i ·s i
（13）各个驱动杆的角加速度为：
θ㊆i =r ㊆
i ˑs i /l i
（14）
因θ㊆
i 仅含有z 向分量θ㊆
iz ，故取：
θ㊆i =θ㊆
iz
（15）
3
逆动力学分析
3.1
单开链SOC 2的逆动力学分析
驱动杆的受力分析如图2所示（i =1 3），设缸
体质心D i 到A i 的距离为a ，
活塞质心O i 到B i 的距离为b 。在转动副B 3处，设f B 3=［f B 3x ，f B 3y ］T
为连杆作用于驱
9
52010年4月
冯志友，等：基于单开链单元的并联气液动连杆机构逆动力学分析
动杆A
3B
3
的的运动副反力向量，单开链SOC
2
相对A
3
点的合外力矩向量为：
n A
3=l23s3ˑf B
3
+［m D
3
a+m O
3
（l
3
－b）］s3ˑg）（16）
式中：m O
3，m
D3
———驱动杆A3B3上活塞和缸体的质量；
g———重力加速度，g=［0，－g］T。
单开链SOC
2相对点A
3
的合惯性力矩向量为：
n A
3=－m D
3
a（s3ˑV·D
3
）－m
O3
（l
3
－b）（s3ˑV·O
3
）－
I O
3
θ
㊆
3
－I O
3
θ
·2
3
－I D
3
θ
㊆
3
－I D
3
θ
·
2
3（17）
式中：I O
3———活塞绕质心O3的转动惯量，I O
3
=［0，0，I O
3
］T；
I D
3———缸体绕质心D3的转动惯量，I D
3
=［0，0，I D
3
］T；
V D
3
———质心D3处的合加速度矢量；
V O
3
———质心O3处的合加速度矢量。
因式（16）、式（17）乘积结果均只含有z向分量，故可方便展开，联立式（16）、式（17）展开得：
f B
3x =2l
·
3
θ
·
3
m O
3
（l
3
－b）+m O
3
g（l3－b）sinθ3+
m D
3
ga sinθ3－f B
3y
l3sinθ3－m O
3
（l
3
－b）2θ㊆3－
I O
3
θ
㊆
3
－I D
3
θ
㊆
3
－m D
3
a2θ㊆3/l3cosθ（18）
给f
B
3y
以虚拟赋值f*
B
3
y
，则f
B
3
x
鱼塘全自动增氧控制器变为含有虚拟赋值
f* B
3y
的f*
B
3
x
。
图2驱动杆的受力分析
3.2单开链SOC
1
的逆动力学分析
设连杆B
1B
3
的质心位于点P，质量为m
P
，绕质心
的转动惯量为I
P 。对连杆B
1
B
3
建立x向力平衡：
f B
1x +f B
2x
+m Pθ㊆l B
1P
sinθ+m Pθ·2l B
1P
cosθ－f B
2x
=0（19）
对杆B
1B
3
建立y向力平衡：
f B
1y +f B
2y
+m Pθ·2l B
1P
sinθ－m P g－m Pθ㊆l B
1P
sinθ－f B
3y
=0
（20）
参考式（16）、式（17），杆B
1B
3
对B
1
取矩并展
开得：
（f
B3x l B
1B3
－f B
2x
l B
1B2
）sinθ+（f
B2y
l B
1B2
－f B
3y
l B
1B3
）cosθ=
m P gl B
1P cosθ+I Pθ㊆+m P l2B
1P
θ
㊆（21）
由式（21）得：
f B
2x
卡门涡街效应=［m P gl B
1P
cosθ+I Pθ㊆+m P l2B
1P
θ
㊆－（f
B2y
l B
1B2
－
f B
3
y
l B
1B3
）
cosθ］/（－sinθl
B1B2
）+f
B3x
l B
1B3
/（－l B
1B2
）
（22）
对杆A
2
B
2
建立力矩平衡方程得：
f B
2x
=［2l
·
2
θ
·
2
m O
2
（l
2
－b）+m O
2
g（l2－b）·sinθ2+
m D
2
ga sinθ2－f B
2y
l2sinθ2－m O
2
（l
2
－b）2θ㊆2－
I O
2
θ
㊆
2
－I D
2
θ
㊆
2
－m D
2
a2θ㊆2］/l2cosθ2（23）
联立式（22）、式（23）可求得f
B
2
y
：
f B
2y
=m P gl B
1P
cosθ+I Pθ㊆+f B
3y
l B
1B3
cosθ+m P l2B
1P
θ
㊆+
f B
3x
l B
1B3
sinθ］l2cosθ2+［2l
·插销螺母
2
θ
·
2
m O
2
（l
2
－b）+
m O
2
g（l2－b）·sinθ2+m D
2
ga sinθ2－m O
2
（l
2
－b）2·θ
㊆
2
－I O
2
θ
㊆
2
－I D
2
θ
㊆
2
－m D
2
a2θ㊆2（24）
式（24）中仅含有f
B3x
和f
B3y
，当给f
B
3
y
以虚拟赋值
f*
B
3
y
时，则f
B
2
y
变为仅含有f*
B
3
y
的f*
B
2
y
。
把式（24）代入式（22）可求得f
B
2
x
。由式（19）、式（20）得：
f B
1x
=f B
3x
－f B
2x
－m Pθ㊆l B
1P
sinθ－m Pθ·2l B
1P
cosθ（25）
f B
1y
=f B
3y
－f B
2y
+m Pθ㊆l B
1P
sinθ+m Pθ·2l B
1P
sinθ+m P g（26）
参考式（16）、式（17），杆A
1
B
1
对A
1
取矩并展开得：
f B
1x
l1cosθ1+f B
1y
l1sinθ1+m O
1
（l
1
－b）2θ㊆1+I O
1
θ
㊆
1
+
I D
1
θ
㊆
1
+m D
1
a2θ㊆1－2l·1θ·1m O
1
（l
1
－b）－
m O1g（l1－b）sinθ1－m D
1
ga sinθ1=0（27）
式（27）为只含有虚拟赋值f*
B
3
y
的方程，此方程即
为支反力相容性方程。通过线性叠加法求得真实f
B
3
y
，代入各式得各运动副反力和驱动杆的驱动力。
对杆A
1
B
1
上端活塞进行受力分析，由各力沿A
1
B
1
方向上力平衡可得驱动力q
1
为：
q1=m O
1
g cosθ1+m O
1
l㊆1+f B
1x
sinθ1－m O
1
θ21（l1－b）－f B
1y
cosθ1
（28）
同理可得驱动力q
2
和q
3
为：
q2=m O
2
电腐蚀机g cosθ2+m O
2
l㊆2+f B
2x
sinθ2－m O
2
θ22（l2－b）－f B
2y
cosθ2
（29）
q3=m O
3
g cosθ3+m O
3
l㊆3+f B
3x
sinθ3－m O
3
θ23（l3－b）－f B
3y
cosθ3
（30）
对杆A
1
B
1
下端缸体进行受力分析，可求得转动副
A
1
处的支反力：
f A
1x
=q1cosθ1－m D
1
aθ㊆1sinθ1－m D
1
θ
·2
1
a cosθ1（31）
06机械设计第27卷第4期
f A 1y =q1sinθ1+m D
1
aθ㊆1cosθ1+m D
1
g－m D
1
θ
·2
1
a sinθ1（32）
同理可求得A
2A
3
处的支反力f
A2x
，f
A2y
，f
A3x
，f
A3y
。
4数值实例
已知A
1（0，0），A
2
（0.33，0），A
3
（0.55，0.85），l
B1P
=
0.255m，l
B2P =0.165m，l
B3P
=0.08m，a=0.1m，
b=0.09m，l
PC =0.05m，I
O i
=I
D i
=0.2kg·m2，
m
O i
=m
D i
=1kg。取点C的运动规律为：
x C=0.330+0.1sin（t）
y C=0.330－0.1cos（t）
θ=0.73+0.1sin（t）
运动时间为2πs，得到驱动力及支座反力分析结
果如图3 图5所示
。
图3
驱动力与时间变化的关系
图4支反力f A
i
x
向分量与时间变化的关系
图5支反力f A
i
y向分量与时间变化的关系
基于序单开链法所进行的平面并联气液动连杆机构的动力学分析过程较为简单，而且无需任何技巧性降维便可得到最低维数等于机构耦合度的机构逆动力学方程，分析过程物理意义明确。
参考文献
［1］冯志友.气液动连杆机构组成原理的探讨［J］.佳木斯工学院学报，1993，11（1）：1－4.
［2］冯志友.基于单开链单元的并联气液动连杆机构运动分析［J］.
农业机械学报，2006，37（3）：105－108.
［3］杨廷力.机械系统基本理论———结构学、运动学、动力学［M］.
北京：机械工业出版社，1996.
［4］冯志友.基于单开链单元的并联机器人机构学理论研究［D］.天津：天津大学，2006：65－90.
［5］杨廷力.机构学理论研究进展［J］.机械工程学报，1985，31（2）：1－25.
［6］Shen H P，Ting K L，Yang T L.Configuration analysis of complex multi-loop linkages and manipulators［J］.Mach.Theory，2000，35：
碱性锌锰电池353－362.
［7］李学荣.四连杆机构综合概论：气液动连杆机构设计［M］.北京：机械工业出版社，1983.
Inverse dynamic analysis of a parallel pneumatic and hy-draulic linkage based on single-opened-chain
FENG Zhi-you1，HE Lian-cai2，YANG Ting-li3，ZHANG Ce4
（1.Advanced Mechatronics Equipment Technology Tianjin Ar-ea Major Laboratory，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300160，China；2.School of Mechanical Engineering，Jiamusi Uni-versity，Jiamusi154007，China；3.Jinling Petrochemical Corpora-tion，Sinopec Group，Nanjing210096，China；4.School of Me-chanical Engineering，Tianjin University，Tianjin300072，
China）Abstract：Based on Single-opened-chain，inverse dynamic a-nalysis for planar parallel pneumatic and hydraulic linkage is pres-ented by using the Newton-Euler Formulation.The linkage inverse dynamic analysis mathematics model that is uniform with its topolog-ical structure characteristics is established.The inverse dynamic e-quations are derived，the equations’number of dimension is just e-qual to the linkage coupling-degree.As an example，the driving and kinematic pair forces analysis of a3-DOF planar parallel pneu-matic and hydraulic Linkage are obtained in the given kinematic condition of the linkage.
Key words：parallel mechanism；pneumatic and hydraulic linkage；Inverse dynamics analyses；single-opened-chain Fig5Tab0Ref7“Jixie Sheji”8889雷击测试
16
2010年4月冯志友，等：基于单开链单元的并联气液动连杆机构逆动力学分析
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