圆和圆的位置关系经典例题+练习
青梅1H例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。 分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧； 双联齿轮油泵因此，我们必须分两种情况来解。 解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121
2
12=
= 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125= 侧翻手机-=-=
∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm
如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm
例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。 例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：
（1）PC 平分∠BPD
（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。 证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC
在⊙O1中，由弦切角定理：
∠BPM=∠A
∵∠CPD为△APC的外角
∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC
∴PC平分∠BPD。
（2）两圆内切时仍有这样的结论。
证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M
∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP
∴∠MPC=∠MCP
∴∠MPB=∠A
马铃薯馒头∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A
又∠MPC=∠MPB+∠BPC
∴∠BPC=∠CPA
即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。
从这道题我们还可以联想到做过的两道题，
①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）
②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。
例3. 如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：
（1）AC=CE
（2）AC2=DB2－BC2
分析：（1）易证
（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。
证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，
∵OA为⊙O1直径∴OC⊥AE
环模
在⊙O中OC⊥AE ∴AC=CE
（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB
捕虾机电路图由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）
∵AC=CE ∴AC2＝DB2－BC2
本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。
例4. 如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，
（1）求证：PA·PE=PC·PD
（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。
分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。
（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。
（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线
∴·∴PA PB PD PB PA PD
2
2 ==
在⊙O2中由相交弦定理
PA PC PB PE PB PA PC
PE
··∴·
==
∴
·
∴··PA
PD
PA PC
PE
PA PE PC PD 2
==
（2）连结AB、CE
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