河北省名校联盟2023届高三年级摸底考试
数学参考答案
一、单选题1——4:BADD 5——8:BBBC 二、多选题9.AB
10.ABD 11.BCD
12.CD
三、填空题13.-114.15.1
16.n ⋅2n +1
17.【解析】(1)数列{a n }中,a n >0，由a n -a n +1=2a n a n +1，可得
11
21=-+n
n a a .…………………………………………………………………………2分又生姜去皮机
11111a ==，则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列，则
12)1(211-=-+=n n a n
，则数列{}n a 的通项公式为1
21-=n a n .…………………………………………………4分
(2)由(1)知1
21
-=
n a n ，则1111
(21(21)(21)22121
n n a b n n n n n =
==-
+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和
11111111
112
3352121221()()n S n n n =-+-++
-=--++L ,………………………8分,012131,3
1
1210,312,*<+-≤-∴≤+<
数模转换电路∴≥+∴∈n n n N n .2131,112113
2
<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分
18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6
P X ==-=
()()300.410.60.16
P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048
P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯= (5)
分
所以X 的分布列为
X
0305060P
0.6
0.16
0.048
0.192
………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．若小康按照ABC 顺序答题，记Y 为小康答题的累计得分，则Y 的所有可能取值为0,10,30,60
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()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288
P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分
所以()00.2100.32300.288600.19223.36
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①，由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分
即,2
2
2
ac a c b -=-即,2
2
2
ac b c a =-+2221
cos ,222
a c
b a
c B ac ac +-∴===……4分
(0,),,3
B B π
π∈∴=
Q ……………………………………………………………………5分若选②
cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分
,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,
生姜切片机B B +-=即2cos -=B (舍)或2
1
cos =
B ,…………………………………………………………4分(0,),,3
π
π∈∴=
Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值.…………………6分
法一：由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 2
1
≤=
∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分
所以AC 边上的高的最大值为43
12
b =..…….…….…….…….………………12分
法二：由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==
,.……………………7分
利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233
ABC S ac B A C B ∆==⋅122
sin()sin()233
A A A A ππ
=
-=-
)保健牙刷
363
A π=
-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322
1
3
4=b ..…….…….…….…….………………12分
20.【解析】(1)证明：如右图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线, 所以AD EF ∥且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥，所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线，所以
EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = , DF 、EF ⊂平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分
(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =，则
22
:
6
Rt ABE x y+=
在中有
,………………………………………………………………5分
所以
22
111
3326622
B DEF DEF
x y
V S BE x y
-∆
+
⎛
=⋅=⋅⋅⋅=≤=
⎝
,
当且仅当3
=
=y
x时等号成立，即点E,F分别是»
AB,»
CD的中点时，三棱锥B DEF
-
的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:
另解等积转化法:1.
3
B DEF D BEF D BCF B CDF CDF
V V V V S BC
-
---∆
====⋅
,)
F CD E F AB CD
易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为 、 中点 下面求二面角B DF E
--的正弦值：
法一：由(1)得BE⊥平面DEF，因为DF⊂平面DEF，所以BE DF
⊥.
又因为EF DF
⊥,EF BE E
⋂=，所以DF⊥平面BEF.
因为BF⊂平面BEF，所以BF DF
⊥，所以BFE
∠是二面角B DF E
--的平面角,……9分由(1)知BEF
为直角三角形,
则3
BF==.
故
3
sin
3
BE
BFE
BF
∠==，所以二面角B DF E
--
的正弦值为分法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,
如图，以点E为原点,EA,EB,EF所在直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz
-
,
则00000000
(),(,,),(,
B D E F.
由(1)知BE⊥平面DEF，故平面DEF的法向量可取
为00
()
EB=
uuu r
.设平面BDF的法向量为(,,)
n x y z
=
,
由((0,
DF BF
==
,……………………………………………………8分得
n DF
n BF
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
,
即
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
,
即
x
y
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，取1
z=,
得n=
(10)
分
设二面角B DF E --的平面角为
θ,cos cos ,n EB n EB n EB
θ⋅=<>==
⋅r uur r uur
r uur ，所以二面角B DF E --的正弦值为3
3
.………………………………………………12分21.【解析】(1)解法一：由2c
e a
=
=得：2c a =
,b ∴=,120PF PF ⋅=uuu r uuu r
Q ,∴12PF PF ⊥，在12Rt F PF V 中，由122PF PF a -=得：
222121224PF PF PF PF a +-=，代入2
2
2
124PF PF c +=,126PF PF =得:22
4124c a -=解得:2
3b =,21a =,∴双曲线方程为：2
2
13
y x -=.………………………………………4分
解法二：由2c
e a
==得：2c a =
,b ∴==，设点()(),0P x y y >，则点P
满足22221x y a b
-=…①,120PF PF ⋅=uuu r uuu r Q ,()()222
,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,
即222x y c +=…②,1
2
1211
222
F PF S PF P y c F ⋅==
，即3y c ⋅=…③，则由①②得：2b y c =，代入③得：2
3b =,21a =,∴双曲线方程为:2213
y x -=.…………4分
(2)解法一：当l 斜率不存在时,:2l x =，此时()2,3A ,()2,3B -,2(2)9QA QB m ⋅=--，
uur uuu r
当l 斜率为0时,:0l y =，此时()1,0A -,()10B ,
,21QA QB m ⋅=-uur uuu r
；QA QB ⋅若为定值，
uur uuu r 22:(2)91.,0,1m m m QA QB ⋅=--=-=-则有解得uur uuu r
:
(10),:0.QA QB Q ⋅=-uur uuu r
下证当为，时恒有；………………………………………………6分
当l 斜率存在时，设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,
联立()22
233
y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=，则2
36360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122
43
3k x x k --=-,…………………………………8分
()()121211QA QB x x y y ∴⋅=+++uur uuu r ()()212121212124x x x x k x x x x =++++-++⎡⎤⎣⎦线性驱动器
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