-28-中学数学研究2020年第11期
参考文献
版社,2011,2.
[2]朱华伟，张景中.论推广[J].数学通报,2005,44（4）：
[1]喻平等.中国数学教育心理研究30年"M].北京：科学出55—57.
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湖北省松滋市第一中学（434200）王波
22题目（2020福州市质检）已知椭圆C：耸+%
a b =1（a>'>0）的焦距为2匹，且过点（匹,1）.
（1）求C的方程；（2）若直线6与C有且只有一个公共点，6与圆％2+
*=6交于",）两点，直线04,0）的斜率分别记为8,8，试判断8•8是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由. 22
答案:（1（椭圆c的方程为亍+牙=1;（2）81•8=-；（定值）-解答过程从略.
将试题作进一步探究推广，得到椭圆与圆的一个充要条件. 性质已知直线6与圆0：%2+*2=a2+'2相交
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2于"，）两点（不在坐标轴上），则直线6与椭圆C：%
a +'=1（a>'>0）相切的充要条件是8："•k0B= "a2*
防爆软启动柜证明：（必要性）①当直线6平行于％轴，直线I 与椭圆相切，所以*=*=土'，又"，）两点在圆上所以"（-a，'），）（a，'）或"（a，'），B（-a，'）或"（—a，_'），B（a，_'）或"（a，—'），B（—a，_'），
'2
此时80"*8ob=_"T-
a
②设直线6的方程为%=/+2，"（%1，*1），B（%2，*2），联立6与圆的方程消去％得（/+1）*2+ 2tmy+22—a2-'2=0，由韦达定理得*+*= -誥，*1*2=2/联立6与椭圆的方程消去%得（'2m+a2）*2+2'2m*+'222—a2'2=0，因为直线6与椭圆相切，所以&=4'4/22—4（'2m2+a2）（'222—a2'2）=0.化简得22=a2+'2/，而8："•8：）
=』2W2=________7^2________兀1%2(/1+2)(妙2+2)/*1*+2(*1+*2)+22 22—a2—'2
=__________m+1__________
22—a2-'22/肌22
t•-----2-----------二------+m
m+1m+1
=_________________________________
m•'/+'2—2/(m'+'F)+a2+
2+12+1
'2m2~'2
（充分性）①当直线6平行于％轴，已知直线I 与圆相交于"，B两点，所以*"=*B，又80"•80B=，所以*"B=%%-=，又%"+y*=a2+'2,% a光"％b光"％b a
+*二a2+'2，故%"+x B=0，故*二'，又％+*二
"a
a2+'，所以y=*b=土'，则直线6与椭圆相切.
②设直线6的方程为%=m+2,"（%1,*1）, b（%2,*2），联立6与圆的方程消去％得（m+1）*2+ 2m
*+22—a2-'=0，由韦达定理得*1+*2 $m22—a$—'
,y1Ji~+1-乂丘0"・^ob二-地面网
1$
%1%2
*1*2
暗访摄像包
(m*1+2)(m*+2)
'
2(*----2=-飞，化简得
*1$/(1$)a
'，即
a
=a$+
大功率led天花灯2
'm(*)，联立6与椭圆的方程消去％得('m+a2) *2+2''2
切筋*+'222—a2'=0,&=4'4m2— 4(''2+ a2)('%2—a2')=4a2'(2-a2一''2)，代入(*)式得&=0.从而直线6与椭圆相切.
读者可以进一步探究上述性质在双曲线中如何?
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