一、教学目标：
1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．
2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．
3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．
二、教学重难点：
1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．
2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．
三、教学过程：
1.复习旧知
师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？
生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形
（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？
生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．
师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 顺时针旋转60°得到．
2.引入新课
师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等．
师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”．
师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转．
师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．空气太阳能
H G
F E D
C
B
A
3.小题热身
图1 图2 图3
1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．
师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，
等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．
师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？
生：没有．
师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？
生：等线段是AD，AB，共顶点是A．
师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？
生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．
师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？
生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．
师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？
生：先有没有“等线段，共顶点”，再其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．
师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？
生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．
师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？
压铸机料筒的设计步骤1：先有没有“等线段，共顶点”．
步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．
步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．
师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？
生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．
无纺布挂历4.例题精讲
例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．
师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？
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要构造全等，该怎样旋转？
生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．
师：你是怎么想的，还有其他做法吗？
生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段
是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕
点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．
【解答】
将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°
例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD
＝90︒．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为
三边长的三角形的面积．
师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角
形？
生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．
【解答】
如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证
△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD 长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．
E
A
O
B
C
D
D
C B
O
A
B
B
D
C
B
A
5.自主练习
1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________． 师：请出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．
生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．
2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方
形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________． 师：请出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．
生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ． 方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．
fxdis
师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？
生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．
师：请出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ． 方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．
附：自主练习解答
1． 如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△
DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32
＋
(42)2＝41
∴CE ＝41，∴DB ＝41
2.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，
可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.
E
D
C
B
A
A
D
C B
D
F
E
B
C
D
A
3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB 于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED，则DE＝1，EF＝3，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．
当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋3，S△BCDmax
＝1
2×2×（1＋3）＝1＋ 3
F
E
D
C
B
A
G
E
F
A
B
C
D
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