基于LMI优化的鲁棒控制器设计

吕申;武俊峰

【摘要】以存在固有模型误差的单级倒立摆为被控对象,建立倒立摆的鲁棒数学模型.在不确定性因子存在的前提下,基于线性矩阵不等式方法计算得到H∞状态反馈控制器参数K,而且给出H∞状态反馈控制器的存在条件.通过实例仿真验证,与LQR控制相比,H∞状态反馈控制具有更好的动态特性和抗干扰特性.%Taking the single inverted pendulum with inherent model error as the controlled object, robust mathematic model of inverted pendulum is established.Under the premise of existence of the uncertainty factors, the parameter K of H∞ state feedback controller is acquired by calculation based on linear matrix inequality method, and the existence condition of the H∞ state feedback controller is given.The simulation verification shows that comparing with the LQR control, H∞ state feedback control has better dynamic and anti-disturbance characteristics.

【期刊名称】《工业仪表与自动化装置》

【年(卷),期】2017(000)003

【总页数】4页(P123-125,128)

【关键词】H∞状态反馈控制;LMI;一级倒立摆

【作者】吕申;武俊峰

【作者单位】黑龙江科技大学电气与控制工程学院,哈尔滨150022;黑龙江科技大学电气与控制工程学院,哈尔滨150022

【正文语种】中文

【中图分类】TP273

运用Riccati方程方法求解H∞控制问题时[1-2]，事先需要人为确定一些参数，从而使得控制器参数的解算变得非常繁琐。而LMI法将矩阵不等式看做凸优化问题来对待，可以得到满足凸约束条件下的一组解，由于MATLAB集成有LMI算法工具箱，给求解控制器带来了方便。该文采用LMI法优化求解控制器，结合单级摆平台设计了鲁棒H∞状态反馈控制器[3]，实现了倒立摆稳定控制。

直线倒立摆由沿光滑轨道左右滑动的小车及与小车用轴连接的摆杆构成[4]，并在轴上安装有牢固的光电编码器，在摆杆滚动时用来搜聚角度信号，摆杆可在与导轨平行的锤面内自由转动，小车经过伺服机构的传动在滑轨上面往返移动[5]，进而使得摆杆的位置在滑轨的一点处局部不变，且可以定位于水平轨道的某一位置处[6]。

如图1所示，将小车所在的水平面作为x轴，摆杆所在的竖直方向为y轴，可将倒立摆系统简化为小车和摆杆组成的系统。

因为倒立摆具有高阶次、非线性、不稳定等特点[7]，因而可以在平衡位置附近对其进行近似处理，即sinθ≈θ，cosθ≈1，在考虑小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆系统的影响之后，建立倒立摆状态空间数学表达式如下：

式中：w为输入扰动信号，u为控制输入，M表示小车质量，m表示摆杆质量，f表示小车与滑轨之间的摩擦系数，l表示摆杆中心到滑轨的距离，I表示摆杆的惯量。

H∞控制器的控制指标是在输入u的作用下，让摆杆保持在平衡位置附近，并且在扰动输入干扰下不会失去平衡，被控对象的闭环系统模型如下：

[xT(t)Qx(t)+ρu2(t)]dt<γ2ω2(t)dt,∀ω∈L2

3 基于LMI优化的状态反馈H∞控制器设计

引理(有界实引理) 设闭环系统的传函T(s) =D+C(sI-A)-1B，那么下面两条等价:

1)系统渐进稳定，且||T(s)||∞<γ；

2)存在一个正定对称矩阵X，使

定理对于被控对象(2)，存在一个状态反馈H∞控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X和矩阵W，使得如下的LMI

式(5)是由2个未知矩阵变量X，W和一些常数阵构成的线性矩阵不等式，利用LMI工具箱进行解算，其中的函数feasp可解算出X，W，经过多次迭代计算求出控制器u=(WX-1)x，部分程序片段如下：

clear all;

clc

A=[0 1 0 0;0 -0.0618 -0.7167 0;0 0 0 1;0 0.2684 31.6926 0];

B1=[0;-2.6838;0;118.6765];

B2=[0;0.8906;0;-2.6838];

C1=[0.00001 0 0 0;0 -0.0001 0 0;0 0 -0.01 0;0 0 0 -0.01];

D11=[0;0;0];

D12=[0;0;0];

setlmis([]);

[X,n,sX]=lmivar(1,[4,1]);

[W,n,sW]=lmivar(2,[1,4]);

lmiterm([22 1 W],A,);

lmiterm([22 1 X],B2,‘s’);

lmiterm([3 1 1 0],B1);

lmiterm([1 2 1 X],B2,1);

lmiterm([1 22A],D21,2);

lmiterm([1 2 2 0],-1);

lmiterm([1 3 3 0],-1);

lmiterm([-2 1 1 X],1,1);

lmisys=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)

X=dec2mat(lmisys,xfeas,X)

W=dec2mat(lmisys,xfeas,W)

K=W*inv(X)

考虑倒立摆系统的特征，算例中各个参数值计算为：M=1.096 kg，m=0.109 kg，f=0.1 N/m·s-1，

采用LQR控制算法时，选取Q=diag{1 0 1 0}，R=1。借助MATLAB软件包可求出最优状态反馈控制率u=Kx=[-1 -1.785 25.422 4.684 9]x。

采用H∞状态反馈控制时，由于倒立摆模型存在的不确定性ω，再考虑到直线导轨长度的限制，以及伺服电机控制输入u的限制，故选取加权阵C1=[0.001 0 0 0;0 0.1 0 0;0 0 0.01 0;0 0 0 0.001]；求得控制器参数K=[0.658 3 1.372 3 23.422 7 2.862 9]，用simulink搭建的模型如图2所示。

倒立摆在鲁棒状态反馈控制下的阶跃响应波形如图3所示，摆杆角度在0.85 s时达到峰值0.106 rad；如图4所示，小车的位移在1.35 s时到达最大值0.217 m，可见鲁棒状态反馈控制对于阶跃干扰有一定的鲁棒性。

当控制算法采用LQR时的阶跃响应波形如图5所示，在0.422 s时摆杆角度到达峰值0.518 rad，响应时间较快但超调过大；如图6所示，位移在1.06 s时到达峰值0.238 m，同样存在

超调过大的问题，这种控制策略的鲁棒性要弱于鲁棒状态反馈控制，此策略是牺牲了鲁棒性换来了响应的快速性。

图7、图8是在分别采用两种控制算法时，系统的各项性能的对比，如图7所示，摆杆角度LQR为0.502 rad，要大于鲁棒控制的0.151 rad；在达到稳态的时刻上鲁棒控制为4.82 s，而LQR为6.94 s，鲁棒控制超调更小，回到稳态时间更短。如图8所示，采用LQR控制时小车的位移超调为0.142 m，而鲁棒控制的超调为0.131 m，且稳定时间更短，因此鲁棒控制在抗扰性方面要优于LQR控制。

基于LMI优化的鲁棒状态反馈H∞控制给出了控制器存在的充分条件，由于设计采用LMI工具箱，使得控制器参数K的求解更加简洁，控制效果显著提高。通过仿真结果显示，在存在外加干扰的情况下，鲁棒状态反馈控制比LQR控制有更强的抗干扰性及优良的动态特性。

本文发布于:2024-09-21 14:51:06，感谢您对本站的认可！

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