PMSM控制技术探究与仿真1：三相PMSM的数学建模与坐标变换 PMSM 控制技术探究与仿真1：三相PMSM的数学建模与坐标变换
永磁同步电机（PMSM：permanent magnet synchronous motor）是⼀个强耦合、复杂的⾮线性系统，为了能够更好地理解PMSM及其控制算法，特此开启这个PMSM的博客系列。本系列基于《线代永磁同步电机控制原理及MATLAB仿真》（袁雷，北京航空航天⼤学出版社）以及鄙⼈看过的论⽂等资料进⾏编撰。下⾯的链接⾥可以下载该书的PDF、例程模型和TI电机驱动PPT。将资料吃透有益于理解PMSM的⽮量控制⽅法。转载本博客请注明出处。 1，三相PMSM的基本数学模型
1.1 三相PMSM 的结构
当三相PMSM转⼦磁路的结构不同时，电机的运⾏性能、控制⽅法、制造⼯艺和适⽤场合也会不同。⽬前，根据永磁体转⼦上的位置不同，三相PMSM的转⼦结构可以分为表贴式和内置式两种结构，具体如下图所⽰：
对于表贴式转⼦结构⽽⾔，由于其具有结构简单、制造成本低和转动惯量⼩等优点，在恒功率运⾏范围不宽的三相PMSM 和永磁⽆刷直流电机中得到⼴泛应⽤。表贴式转⼦结构中的永磁磁极易于实现最优设计，能使电机的⽓隙磁密波形趋于正弦波分布，进⽽提⾼电机的运⾏性能。内置式转⼦结构可以充分利⽤转⼦磁路不对称所产⽣的磁阻转矩，提⾼电机的功率密度，使得电机的动态性能较表贴式转⼦结构有所玫善，制造⼯艺也较简单，但漏磁系数和制造成本都较表贴式转⼦结构⼤。对于采⽤稀⼟永磁材料的电机来说，由于永磁材料的磁导率接近1，所以表贴式转⼦结构在电滋性能上属于隐极 转⼦结构；⽽内置式转⼦结构相邻永磁磁极间有着磁导率很⼤的改磁材料，在电磁性能上属于凸极转⼦结构。
1.2 基本数学模型
对于三相PMSM⽽⾔，基本的可变输⼊是三相交流电流，即电流⽮量（包括⼤⼩和⾓度），输出是转矩和转速。在三相PMSM⾥⾯三相电流的电⾓度严格互差120度，所以只能变动电流的⼤⼩。构建数学模型的意义在于，搞明⽩在被控对象的每⼀状态下，输⼊怎样的电流（或电压）会输出怎样的转矩和转速。研究清楚这个后，相当于知道了对于被控对象，在当下瞬态给⼀个作⽤后在下⼀个瞬态会变化成什么样。然后，欲使对象从此状态到达彼状态，就需要设计控制⽅法，以此来确定在每时每刻该作⽤什么。总结⼀下就是，先构建数学模型（包括⼒学模型、动⼒学模型等），再设计控制器。 为了简化分析，假设三相PMSM为理想电机，且满⾜下列条件：
- 忽略电机铁芯的饱和
- 不计电机中的涡流和磁滞损耗
- 电机中的电流为对称的三相正弦波电流
这样，⾃然坐标系下PMSM的三相电压⽅程可以写为：
u、R和i分别为：三相绕组的相电压、相电阻和相电流。Ψ为三相绕组的磁链变化率，磁链的⽅程为：3S3S3S
L 为三相绕组的电感；ψF (θ)整体表⽰永磁体在三相绕组中产⽣的磁链，ψ为永磁体磁链，F (θ)为与电⾓度相关的系数(在书中该处的说法是有问题的)。
磁链是导电线圈或电流回路所链环的磁通量。其⼤⼩为导电线圈匝数N与穿过该线圈各匝的平均磁通量φ的乘积。电机都是遵循法拉第电磁感应定律，按照电能—磁能—机械能的⽅法驱动。
以下为矩阵的具体表⽰：
其中，L 为定⼦互感；L 为定⼦漏感，Θ
表⽰电⾓度。解释⼀下电⾓度：
上图中，u,v,w为三相绕组，2极的意思是极对数为2，也就是说有2极×3相=6块⼩扇区。可以看到N从V到达下⼀个V对于三相电流⽽⾔⾛完了⼀个完整的周期⼜回到了初始状态，但是电机并没有转完⼀整圈。换⾔之，如果电机完整转完⼀圈，那么对于三相电流⽽⾔不过是重复了极对数遍周期过程。所以控制上直接讨论的是电⾓度，然后换算到机械⾓度。多机电机的显⽽易见的：转矩和转速的控制更精确、转动更平滑。缺点是多极电机的电动势中⾼次谐波增加，齿槽转矩增加，由⾼次谐波引起的损耗增加。
电⾓度=机械⾓度×极对数
解释结束，继续推导公式。
根据机电能量转换原理，电磁转矩T 等于磁场储能与机械⾓Θ位移的偏导，因此有：
其中，p 为三相PMSM的极对数。
另外，由⽜顿第⼆定理可得电机的机械运动⽅程为
可以看出电磁转矩的⽅程⽐较复杂，为了能达到想要的转矩，去确定三相电流值是很困难的。总⽽⾔之，如此建⽴的三相PMSM的数学模型是⼀个⽐较复杂且强耦合的多变量系统。必须要对模型进⾏解耦，降阶（转矩⽅程中有矩阵乘法——⾃变量与⾃变量的乘积，会导致多阶）。
2，三相PMSM 的坐标变换
2.1 d-q 轴数学模型是什么
3S f 3S e f 3S e m3m3e e m n
下述英⽂来⾃TI的官⽅PPT，该PPT在开头链接⾥有。动画是我从PPT⾥⾯扒出来做的。
Assume we have a two or three phase AC motor as shown in the bottom-left animation. By properly controlling the motor’s sinusoidal currents in real time, you can create a smoothly rotating magnetic flux pattern as shown, where the frequency of rotation corresponds to the frequency of the current sinewaves. If you then place a magnetized rotor inside the stator frame, the magnetic attraction between the rotating stator flux and the rotor magnets will cause the rotor to
follow this rotation. However, the animation indicates a condition of relatively low motor loading, as indicated by the fact
that the orientation of the rotor magnets and stator flux are the same. As you load down the motor, you will see that the rotor angle will start to lag the stator flux angle. This effect is plotted in the center diagram, where generated motor torque is plotted against this lag angle. When the rotor flux a
xis is lagging the stator flux angle by 90 degrees, this is the condition of maximum torque for a given amount of stator coil current. So depending on whether we would like clockwise or counterclockwise torque, we would like the relative angle to be either -90 or +90 degrees.（假设我们有⼀个两相或三相交流电动机，如左下⾓动画所⽰。通过适当地实时控制电机的正弦电流，可以创建如图所⽰的平滑旋转的磁通模式，其中旋转的频率对应于电流正弦波的频率。如果你在定⼦框架内放置⼀个磁化的转⼦，那么在旋转的定⼦磁通和转⼦磁铁之间的磁吸引⼒将导致转⼦跟随这个旋转。但是，该动画显⽰电机负载相对较低的情况，如转⼦磁铁和定⼦磁通的⽅向相同的事实所⽰。当你把马达装下去的时候，你会发现转⼦的⾓度会开始滞后于定⼦磁通⾓度。这种效应在中⼼图中绘制，其中产⽣的电机转矩相对于这个滞后⾓绘制。当转⼦磁链轴滞后于定⼦磁链⾓90度时，这是给定定⼦线圈电流时最⼤转矩的条件。因此，根据我们是顺时针还是逆时针扭矩，我们希望相对⾓度是-90度或+90度。）
It turns out that we can’t instantaneously control the axis of the rotor magnets to be at +/- 90 degrees with respect to the angle of the stator flux. But we CAN instantaneously control the angle of
the stator flux to be at +/- 90 degrees with respect to the axis of the rotor magnets. This axis is called the “d” or “direct” axis. All we need is some kind of measurement to tell us where the d-axis is at, (and consequently, what angle the rotor flux is at), and from this information, we control the currents into the motor to produce a stator flux vector which is 90 degrees with respect to it. This 90 degree axis is called the “q” or “quadrature” axis. As the motor is spinning, the d-axis is also spinning. So we need to
constantly update the stator currents accordingly so as to reposition the stator flux pattern to always be offset by 90 degrees from the d-axis. This is shown in real time by the animation on the right, where the red vector represents the rotor flux on the d-axis, and the green vector represents the stator flux on the q-axis. If you want more torque, you simply increase the stator flux intensity by increasing the instantaneous stator current levels, which in effect makes the green vector longer. But you always want to keep that vector to be at 90 degrees with respect to the rotor flux vector. （结果表明，我们不能瞬时控制转⼦磁铁的轴线相对于定⼦磁通⾓为+/-90度。但我们可以瞬间控制定⼦磁通相对于转⼦磁铁轴线的⾓度为+/-90度。这个轴称为“D”轴或“直”轴。我们只需要某种测量来告诉我们d轴在什么位置（以及转⼦磁通在什么⾓度），并且根据这个信息，我们控制进⼊电机的电流，以产⽣⼀个相对于它90度的定⼦磁通⽮量。这个90度轴称为“q”或“正交”轴。当电机旋转时，D轴也在旋转。
因此，我们需要不断地更新定⼦电流，以便重新定位定⼦磁通模式，使其总是偏离d轴90度。这在右边的动画中实时显⽰，其中红⾊⽮量表⽰d轴上的转⼦磁通，绿⾊⽮量表⽰q轴上的定⼦磁通。如果你想要更多的转矩，你只要通过增加瞬时定⼦电流⽔平来增加定⼦磁链强度，这实际上使绿⾊⽮量变长。但是你总是想保持这个向量相对于转⼦磁通向量在90度。）
简单来说就是：通过控制三相电流可以让定⼦绕组产⽣旋转的磁场，该旋转磁场致使固定了永磁体的转⼦产⽣相对转动。且转⼦磁铁的轴线相对定⼦磁通的⾓度为90度（正负不同会使转矩⽅向不同）时，磁场产⽣的转动效果最好（简单理解为正交时转矩最⼤）。那么我们就可以监测转⼦磁铁的轴线⾓度并且实时改变定⼦磁通的⾓度和⼤⼩，以达到控制转⼦的⽬的。称转⼦磁铁的轴线⽅向为“d”轴或“直轴”（红⾊），实时控制改变的定⼦磁通⽮量为“q”轴或“交轴”（绿⾊）。d-q 正交轴是与电机转⼦随动的，⽮量控制或者叫场定向控制（Field Oriented Control)就是这么来的。值得注意的⼀个细节是，d-q轴是在电⾓度意义上说的。也就是说对于多极电机，转⼦完全旋转⼀圈，d-q轴会旋转多圈，
并不只是图⽰的这⼀种情况。
从这个思路出发构造出来的数学模型叫d-q轴两相旋转坐标模型，简称d-q模型。
电压⽅程为：
定⼦磁链⽅程为：
两⽅程组合后电压⽅程重写为：
其中：u 、u 分别是定⼦电压的d-q轴分量；i 、i 分别是定⼦电流的d-q轴分量；R是定⼦电阻；ψ、ψ为定⼦磁链的d-q轴分量；ω是电⾓速度；L 、L 分别是d-q轴电感分量；ψ代表永磁体磁链。
电磁转矩⽅程可以写为：
上⾯的四组⽅程是针对内置式三相PMSM建⽴的数学模型；对于标贴式三相PMSM，定⼦电感满⾜L =L =L 。因此表贴式三相PMSM的数学模型相对简单⼀些。
另外，还会经常⽤到这⼏个重要的关系式：
其中：ω为电机的机械⾓速度，rad/s。N 为电机的转速，r/min。
现在来看整个数学模型“顺”了很多，后⾯⽮量控制中若⽤i =0的⽅式，那么转矩就只和i 相关，电压⽅程也简化了很多。定⼦电压⽅程有两个，等于⾃变量的个数且⾃变量不相关，整体上这个d-q模型实现了完全的解耦。这样欲使达到某⼀个转矩（转速与转矩相关，位置与转速相关，所以内环是控转矩），就知道需要怎样的i 和i 。但是为得到想要的i 和i ⼜该怎么样去输⼊三相电流呢，还有d-q轴的电感如何去合成呢，这就需要坐标变换来完成了。
2.2坐标变换——克拉克变换与帕克变换
在电⾓度的平⾯⾥⾯，A,B,C代表三相交流电的⽮量。因为规定了三相交流电互差120度所以A,B,C的⽅向是固定的，只有⼤⼩可以变化。α与β是固定的正交轴（相当于规范的x,y轴，我也不知道为啥这⾥要⽤αβ），其中α与A⽅向重合。d-q轴就是前⽂中说到的随电机
旋转的直轴与交轴。
我们的⽬的是通过改变A,B,C三个⽮量的⼤⼩，然后映射到d-q轴上形成想要的d-q轴⽮量。但是d-q轴是随时在变化的，⽽且直接转换，计算起来不太容易，所以我们分两步进⾏。
第⼀步：将A,B,C映射到标准正交轴α与β上 ———— 克拉克变换。
第⼆步：将α与β轴上的⽮量映射到d-q轴 ——— 帕克变换。
（说实在的，凭这俩3×3的简单矩阵就可以在⽆数⼯程⼈⼼中留下⼤名，克拉克和帕克真是赚到了。“⼀个⼈的命运，当然要靠⾃我奋⽃，但也要考虑到历史的进程。”）
克拉克变换如下：
其中：f代表电压、电流或磁链等变量；T 为坐标变换矩阵，表⽰为
MATLAB的simulink⾥⾯是这个样⼦的：
d q d q d q
e d q
f d q s m r d q q d q d 3s/2s
变换矩阵前的系数为2/3，是根据幅值不变作为约束条件得到的，即依据相电压峰值；当采⽤功率不变作为约束条件时，该系数变为根号下的2/3，即依据相电压有效值（原谅我在html中不会打根号，知道的⼤神评论⼀下）。
反过来就是反克拉克变换了，也就是矩阵求逆。
同样的可以得到帕克变换的公式如下：
将两个变换合起来就得到了从三相到d-q轴的变换⽅法，其系数矩阵如下。
反变换的系数矩阵如下：
⾄此，PMSM控制技术的第⼀篇就结束了。鄙⼈制作真的很⾟苦啊，毕竟第⼀篇，要开个好头。要是有路过的⼤神，请指出不⾜之处啊。
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