左曙光;林福;吴旭东
【摘 要】为了分析不同极槽配合和绕组层数永磁同步电机的转矩波动特征,提出一种考虑永磁体磁场非正弦分布和电流谐波的转矩解析计算模型.根据绕组分布推导不同极槽配合(SPC)电机的电枢反应磁场,在气隙磁场求解的基础上,根据麦克斯韦应力张量法获取切向力波,将切向力波沿圆周积分获取电磁转矩.通过有限元法(FEM)和转矩测量实验验证转矩解析模型和波动特性预测的准确性.理论分析和实验结果表明:永磁体磁场非正弦波分布引起6i阶的转矩波动,而电流基频h倍的电流谐波产生1-h阶和6i±(1-h)阶的转矩波动. 【期刊名称】《浙江大学学报（工学版）》
【年(卷),期】2015(049)009
【总页数】8页(P1731-1737,1761)
【关键词】永磁同步电机;极槽配合;转矩波动;电流谐波;阶次分析
【作 者】左曙光;林福;吴旭东
【作者单位】同济大学新能源汽车工程中心,上海201804;同济大学新能源汽车工程中心,上海201804;同济大学新能源汽车工程中心,上海201804
【正文语种】中 文
【中图分类】TM301
永磁同步电机具有高的转矩密度和效率，在电动汽车领域得到了愈加广泛的应用.分数槽集中绕组永磁同步电机，具有端部绕组短、加工容易、容错性能好和齿槽转矩小等优点［1-3］，近年来在汽车行业得到了越来越多的关注.然而，这种绕组与传统的正弦分布绕组有很大的区别，绕组磁动势包含大量的次谐波，经典dq轴坐标下的电机数学模型不能准确预测该种绕组电机的转矩，而且电动车用永磁同步电机由于永磁体磁场的非正弦分布、定子开槽等原因存在转矩波动，尤其是现有的调速永磁同步电机大多引入变频器供电，使得电流波形不再是简单的正弦波形，电流谐波的存在进一步加剧了输出转矩的波动.波动的转矩作用于负载会引起负载的振动和噪声辐射.王建等［4-5］的实验研究表明：转矩波动是引
起电动车车身振动和车内噪声的主要原因，因而为了研究电机驱动下电动车新的振动噪声问题，有必要提出一种适用于不同极槽配合的永磁同步电机转矩波动的解析模型，并且考虑电流谐波对转矩波动的影响.
永磁体磁场和定子齿槽相互作用产生的齿槽转矩波动是永磁电机特有的问题.关于齿槽转矩的波动特征和削弱方法方面诸多学者进行了研究［6-10］，研究方法也较为成熟，因而本文主要针对永磁体磁场和电枢反应磁场相互作用产生的电磁转矩进行研究，在分析过程中忽略了齿槽转矩.永磁同步电机电磁转矩的计算建立在气隙磁场精确计算的基础上，Zhu等［11］通过求解极坐标下的拉普拉斯方程和泊松方程得到了表贴式永磁电机的永磁体磁场和电枢反应磁场.Zarko等［12-13］通过保角变换得到了考虑定子开槽效应的复数气隙比磁导.Proca等［14］在忽略切向气隙磁场的条件下通过能量法求解电磁转矩，但提出的解析模型不便于分析转矩波动特征.Zarko等［15］同样在气隙磁场精确求解的基础上计算整数槽电机的电磁转矩，但其采用线圈磁场叠加的方法求解电枢反应磁场，同样不易于分析电磁转矩波动特性及来源.付媛等［16］通过时步有限元法分析了定子开槽和电流谐波对转矩波动的影响，但未提出变频器供电下转矩波动的阶次特征规律.综上所述，为了研究不同影响因素下的永磁同步电机的转矩波动特征，需要针对不同绕组形式提出统一的转矩解析计
算和波动特性分析的模型.
本文在求解不同极槽配合和绕组层数永磁同步电机的电枢反应磁场的基础上，根据麦克斯韦张量方程得到切向电磁力波.通过将切向力波沿圆周积分得到定、转子磁场相互作用产生的电磁转矩，并且分析转矩波动的频率特征和来源以及电流谐波对转矩波动的影响.通过有限元法和实验验证转矩解析模型和波动特性预测的准确性.
为了方便提出适用于不同极槽配合和绕组层数永磁同步电机的统一转矩解析模型，引入单元电机的概念.设电机的极对数p和槽数Z有最大公约数N t，则有p＝p 0 N t、Z＝Z 0 N t，那么p 0对极Z 0槽构成一个单元电机，原电机由N t个单元电机构成，p 0和Z 0分别为单元电机的极对数和槽数.单元电机气隙磁场的研究更具有普遍意义，本文提出的转矩模型也基于单元电机.
永磁同步电机的气隙磁场包含永磁体产生的磁场和绕组通电后产生的电枢反应磁场，定子开槽则使气隙磁场产生畸变.对于永磁体磁场，可通过求解极坐标系下的拉普拉斯方程和泊松方程得到径向分量和切向分量，其傅里叶级数形式如下：
式中：B mn和B′mn分别表示（n×p）次径向和切向永磁体磁场谐波幅值，大小可由文献［14］得到；θ和t分别为空间角度和时间；ω为电流基频.
根据绕组分布规律，在单个线圈磁场求解的基础上由每相包含的线圈产生的磁场进行叠加得到电枢反应磁场，提出适用于不同极槽配合和绕组层数电机的电枢反应磁场的一般求解方法.单个线圈通过电流I c时产生的磁场径向分量和切向分量可由傅里叶极数表示：
式中：I c＝I sin（ωt），其中I为电流幅值；B cv和B′cv分别为径向磁场和切向磁场的v次谐波幅值［6］：
其中μ0为真空磁导率，R s为定子内半径，R r为转子外半径，b0为槽口宽度，r为气隙磁场求解的半径，α0＝b0／R s，k pv为v次谐波的绕组短距系数.
在单个线圈磁场求解的基础上，根据绕组的分布规律可得到电机每相绕组产生的径向磁场和切向磁场的v次谐波幅值：
式中：N表示每相串联匝数，k dv为绕组分布系数.
单相绕组通过电流I ci＝I sin［ωt－2（i－1）π／3］（i＝1，2，3）时产生的径向和切向磁场为
将三相绕组产生的磁场叠加后可得到总的电枢反应磁场，根据三角函数的运算规律，对叠加后的电枢反应磁场进行简化后得到其径向分量和切向分量：
式中：B av＝1.5B pv，B′av＝1.5B′pv，Sv取决于v次电枢反应磁场的旋转方向，当v次电枢反应磁场向前旋转时，Sv＝1，当v次电枢反应磁场向后旋转时，Sv＝－1；v次磁场旋转的方向取决于电机的极对数.由单元电机的定义可知，单元电机的极对数取不到3，当p＝3k＋1时，v＝3j＋1（j为非负整数）次的电枢反应磁场必然向前旋转，这样才能产生有效的电磁转矩，而v＝3j－1次电枢反应磁场旋转方向相反，其向后旋转.同理，当p＝3k－1时，v＝3j－1j为非负整数次的电枢反应磁场向前旋转，v＝3j＋1次电枢反应磁场向后旋转.
不同绕组形式的电枢反应磁场的求解难点在于绕组系数的确定，对于整数槽电机，单元电机数为极对数，因而研究每对极下的线圈分布就能得到绕组系数，整数槽电机的绕组系数如下：
式中：y为单个线圈的跨距与极距的比值，αt为槽距角，q为每极每相槽数.
对于分数槽集中绕组电机，绕组系数要根据具体的极槽配合和绕组层数进行确定.由于分数槽集中绕组电机的一个线圈只跨越一个齿，因而其短距系数k pv＝sin（2vπ／Z）.为了获得较大的感应电动势，电机的极槽数应相接近，常见的是极槽数相差1和2的绕组形式.对于极槽数相差1的电机，槽数为奇数，只能为双层绕组；对于极槽数相差2的电机，槽数为偶数，可以进一步分为单层绕组和双层绕组电机.本文研究的分数槽集中绕组包括极槽数相差1的绕组和极槽数相差2的单、双层绕组.不同的极槽配合和绕组层数电机的分布系数可由绕组的排列规律和相绕组磁场矢量图确定，如表1和2所示.由表2可以发现，16极18槽单层绕组电机的分布系数与8极9槽电机的分布系数相同，但16极18槽单层绕组电机在空间上只有一个周期，因而只能算一个单元电机.类似地，4极6槽、8极6槽和20极18槽单层绕组电机也只包含一个单元电机.这一类单元电机的特点是极对数和槽数的最大公约数为2，分布系数与相对应的双层绕组电机一样，而对于极槽数相差2并且极对数和槽数最大公约数为1的电机（例如：10极12槽），单、双层绕组的分布规律则不相同.
永磁体磁场和电枢反应磁场相互作用产生电磁转矩，对于表贴式永磁电机而言，有效气隙长度较大，磁路通常不饱和，将两部分磁场线性叠加后可得到气隙磁场的径向分量和切向分量：
根据麦克斯韦张量方程，切向电磁力波：
将切向电磁力沿圆周积分后可得到电磁转矩
式中：l a为电机的有效轴向长度.
式（17）中的径向气隙磁场和切向气隙磁场相乘得到4项，对于永磁体磁场和电枢反应磁场，其自身的径向和切向磁场相互作用不产生转矩，因而积分时只要考虑永磁体磁场和电枢反应磁场相互作用对电磁转矩的贡献.根据三角函数的积化和差规律，将式（1）、（2）、（11）和（12）代入式（17），可得
对于形如为整数）的积分，只有当κ＝0时，积分结果才有可能不为0，由于（np＋v）＞0，所以只有np－v＝0时，式（18）结果才不为0，此时电磁转矩可进一步简化为
3.1 电磁转矩均值
由式（19）可知，若要产生恒定的转矩，必须满足n－Sv＝0.由于Sv只能取1或者－1，n只能为1，此时v＝p，即只有空间同步旋转的p次永磁体磁场和空间p次电枢反应磁场相互作用才能产生恒定的转矩，其幅值为
式中：B m1为空间p（n＝1）次永磁体磁场径向分量幅值，B′m1为空间p（n＝1）次永磁体磁场切向分量幅值，B ap为空间p次电枢反应磁场径向分量幅值，B′ap为空间p次电枢反应磁场切向分量幅值.
3.2 永磁体磁场非正弦分布产生的转矩波动
永磁体磁场包含的空间谐波极对数n为奇数，而且对于三相电机而言，v不为3的倍数，因此，为了满足v＝np，n只能取6i±1.
当n＝6i＋1时，v＝（6i＋1）p，其旋转方向同p次电枢反应磁场相同，此时Sv＝1，n－Sv＝6i，产生的波动转矩为
当n＝6i－1时，v＝（6i－1）p，其旋转方向同p次电枢反应磁场相反，此时Sv＝－1，n－Sv＝6i，产生的波动转矩为
总的转矩波动大小为
通常在电机分析中，定义1倍的电流频率为1阶，从式（23）可以看出，永磁体磁场非正弦
分布引起的电磁转矩的波动频率为6i阶，而且6i阶转矩波动来源于空间（6i±1）p次永磁体磁场和空间（6i± 1）p次电枢反应磁场相互作用产生.式（20）和（23）的优点在于能够快速分析转矩均值和波动大小同电机参数的关系.如图1所示为根据本文提出的解析模型得到的转矩均值和波动大小随极槽配合的变化关系，图中2P3S表示2极3槽，其他同理.电机的参数如表3所示，分析时其他变量保持不变.如图2所示为转矩均值和波动大小同极弧系数的变化关系，αp为极弧系数.
3.3 电流谐波对电磁转矩波动的影响
现有的调速永磁同步电机大多采用变频器供电，然而变频器的引入使得电流并非理想的正弦波形，而是存在一定的时间谐波成分.假设存在h阶频率成分的谐波电流，相位为θh，幅值为Ih，将式（18）中电枢反应磁场中的ω用hω代替，可得h阶电流谐波产生的电枢反应磁场和永磁体相互作用产生的转矩波动：
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