专题九:综合题(二)
1.已知:如图(1),在平面直角坐标xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止. (1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标; (3)如图(2),现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
2.(2010年青岛市)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t <4.5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)
3.(2010龙岩市)如图①,将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得△A1B1C,A1C交AB于点D,A1B1分别交于BC、AB于点E、F,连接AB1.
(1)求证:△ADC∽△A1DF;
(2)若α=30°,求∠AB1A1的度数;
(3)如图②,当α=45°时,将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2,A2C2交AB于点G,B2C2交BC于点H,设CC2=x(0<x<),△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S,试求S与x的函数关系式.
4.(2011扬州)在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC, M是BC边上的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动,同时,动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒(t>0)
(1) △PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由
(2) 若∠ABC=60°AB=厘米
①求动点Q的运动速度
②设△APQ的面积为S(平方厘米)求S与t的函数关系式
(3)探究BP2、PQ2、CQ2三者的数量关系,以图1为例说明理由
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BBl∥AC,动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动,过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG,设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;
(3)以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′.
①当t>时,连接C′C,设四边形ACC′A′的面积为S,求S关于t的函数关系式:
②当线段A′C′与射线BB1有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).
6.实验与探究
(1)在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C 的坐标,它们分别是(5,2), , ; (2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d , e , f的代数式表示);
归纳与发现
(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b),B (c,d),C (m,n),D (e,f)(如图4)时,则四个顶点的横坐标a,c,m, e之间的等量关系为 ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 (不必证明);
运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G(,),
S(,),H (2c,0) (其中c>0 ).问当c为何值时,该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为G, S, H, P顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.