第26卷 第2期2005年4月 计 量 学 报ACT A METRO LOGIC A SI NIC A V ol.
26,№2 April 2005
潘 兵, 续伯钦, 陈 丁, 冯 娟
(中国科学技术大学中科院材料力学行为与设计重点实验室, 安徽合肥 230027)
摘要：曲面拟合法求解亚像素位移是数字图像相关亚像素位移定位中的一种重要方法，它具有抗噪声能力较强、精度高、计算效率高等优点，在实际应用中多被采用。就该算法中影响亚像素位移定位精度的各要素进行了详细讨论，并用计算机生成的模拟散斑图和金属试件的刚体平移实验进行了验证，结果表明，整像素搜索时选取不同的计算窗口对计算结果的影响最大，而文中所列的几种相关函数的选取对计算结果的影响则可以忽略。 关键词：计量学；数字图像相关；曲面拟合；亚像素
中图分类号:T B93 文献标识码:A 文章编号:100021158(2005)022*******
Sub -pixel Registration Using Quadratic Surface Fitting
in Digital Image Correlation
PAN Bing , X U Bo -qin , CHE N Ding , FE NGJuan
(K ey Lab.of Mechanical Behavior and Design of Materials of C AS ,University of Science and T echnology of China ,Hefei ,Anhui 230027,China )
Abstract :Sub -pixel registration using quadratic surface fitting as one of the digital image correlation methods has been widely used in measuring sub -pixel displacement in experimental s olid mechanics ,for its high efficiency and noise -free performance.All factors affecting calculation are discussed.The computer -simulated speckle images and rigid body translation experiment of metal specimen are used to verify the accuracy.An optimal subset size between 41×41～61×61(pixels )is verified while impacts of different correlation functions on the calculated displacement can be ignored.In addition ,it is als o found that a 3×3(pixels )fitting window of correlation coefficient matrix gets the highest precision with least computation.
K ey w ords :Metrology ;Digital image correlation ;Curved surface fitting ;Sub -pixel
收稿日期:2004-05-27；修回日期:2004-09-28基金项目：国家自然科学基金(10232010)
作者简介：潘兵(1978-)，男，安徽无为人，中国科学技术大学硕士研究生，主要研究方向：光测力学，光学无损检测。
1 引 言
数字图像相关(Digital Image C orrelation ,DIC )方法最初是由Y amaguchi [1]
、Peters W H 和Rans on W F [2]
等人提出的。该方法不同于传统的干涉测量方法，它直接利用变形前后数字图像的灰度变化来测量被测试件表面的位移和变形场。因其具有光路简单、非接触、全场等优点，得到了广泛的应用。
在数字图像相关方法的实际应用中，整像素的
位移场是很容易获得的。但是实际的位移值一般不恰好为整像素，为提高数字图像相关方法的测量精度，可以采取的方法有:1)提高CC D 的分辨率，但是CC D 的分辨率是有限的，而且分辨率越高其价格也越高。2)采用放大倍数较高的光学成像系统，但此时会相应地减小可测量的面积。3)众多学者提出的各种亚像素位移定位方法，比如：对离散的灰度值进
行插值，使之重建为近似连续的灰度场，然后再进行
相关搜索的插值法[3]
，但是这种方法的计算量巨大，现已很少采用；对已搜索到的整像素位移周围各点的相关系数矩阵进行二次曲面、高斯曲面拟合或二维拉格朗日插值，然后通过求函数极值来求出最大相关系数并获得相应亚像素位移的曲面拟合法[3～8]；可同时获得位移和位移梯度的相关迭代法[9,10]以及基于梯度的亚像素位移算法[11～13]等等。
相关系数曲面拟合、插值法求亚像素位移具有抗噪声能力较强、精度高、计算效率高等优点，在实
际应用中被广泛采用[14～16]
。但是过去的研究工作[4～8]
集中在选用什么样的函数来对整像素位移搜索时获得的相关系数矩阵进行拟合、插值上，对该方法中影响位移定位精度的各种要素并没有详细讨论。实际上在整像素位移相关搜索时，选取不同的相关函数以及不同的计算窗口大小(subset size )计算会得出不同的相关系数矩阵，因此对于同一待求点的相关系数矩阵通过同样的曲面拟合、插值方法求
得的亚像素位移必然会有所差异；以及在对相关系
数矩阵进行曲面拟合时，不同的拟合窗口对计算结果会有影响，计算窗口内不同的模拟散斑大小对亚像素位移计算结果也会有影响。本文对此进行了研究，并给出了最佳的计算窗口和拟合窗口。
2 原 理
2.1 数字图像相关的基本原理
数字图像相关考虑了被测试件变形前后的两幅图。在变形前的图像中，取以所求位移点(x ,y )为中心的(2M +1)×(2M +1)的矩形计算子区(又称模板)，在变形后的目标图像中移动，并按某一相关函数来进行计算，寻与模板的相关系数为最大值
以(x ′,y ′
)为中心的(2M +1)×(2M +1)矩形区域以确定目标的整像素位移。
目前常用的效果较好的相关函数[3]
有：标准互相关函数，其取值范围为[0,1],
C 0(u ,v )=
∑M
x =-M ∑
M
y =-M [f (x ,y )g (x +u ,y +v )]∑M
x =-M ∑
M
y =-M
f 2
(x ,y )
∑M
x =-M ∑
M
y =-M
g 2
(x +u ,y +v )
(1)
标准化协方差相关函数，其取值范围为[-1,1],
C 1(u ,v )=
∑M
x =-M ∑
M
y =-M
[f (x ,y )-f m ][g (x +u ,y +v )-g m ]
∑M
x =-M ∑
M
y =-M
[f (x ,y )-f m ]
2
∑M
x =-M ∑
M
y =-M
[g (x +u ,y +v )-g m ]
2
(2)
最小平方距离相关函数(SS DA )，其取值范围为[0,+∞],
C 2(u ,v )=
∑M
x =-M ∑
M
y =-M
[f (x ,y )-g (x +u ,y +v )]
2
(3)
这里:f (x ,y )、g (x +u ,y +v )分别为变形前后数字图像中各像素点灰度,f m 、g m 为其计算窗口的平均灰度值,u 、v 为模板中心的整像素位移。由于数字图像记录的是离散灰度信息，利用式(1)～(3)的相关函数来进行相关搜索时窗口的平移只能以整像素为单位来进行
，因此整像素相关搜索所能获得的位移u 、v 只能是像素的整数倍，还需要通过其它方法来提高亚像素位移定位精度。2.2 曲面拟合方法求亚像素位移原理
常用的曲面拟合方法有高斯函数拟合和二次多项式拟合。对于相关系数曲面较平缓的情况，高斯拟合不仅需要较大的拟合窗口，而且可能产生较大
的误差，因此实际中多采用二元二次多项式来拟合
相关函数曲面[3]
。对整像素位移搜索到的(x ′,y ′
)周围各点的相关系数(见图1)，都可用下面的二元二次函数表示:
C (x i ,y j )=
a 0+a 1x i +a 2y j +a 3x i 2
+a 4x i y j +a 5y j
2
(4)
图1整像素位移搜索结果及其相邻8个点
对于n ×n (n 通常取3、4或5)的拟合窗口就有n ×
n 个式(4)，因此可以用最小二乘法[17]
来求解二次曲面的待定系数a 0,…,a 5。
函数C (x ,y )在拟合曲面的极值点应满足以下方程组:
9
21第26卷 第2期潘 兵等: 数字图像相关中亚像素位移测量的曲面拟合法
5C (x ,y )
5x =a 1+2a 3x +a 4y =0
(5)5C (x ,y )
5y
=a 2+2a 5y +a 4x =0
(6)于是，由式(5)、
(6)就可求出拟合曲面的极值点位置:
x =2a 1a 5-a 2a 4a 42-4a 3a 5, y =2a 2a 3-a 1a 4
a 42
-4a 3a 5(7)2.3 二维拉格朗日插值方法求亚像素位移原理
对已获得的整像素点周围9点的相关系数矩
阵，可利用拉格朗日插值法[17]
插值为以下形式的四次曲面:
C (x ,y )=Ax 2y 2+Bx 2y +Cx 2+Dxy 2
+
Exy +Fx +Gy 2
+Hy +I
(8)同样，函数C (x ,y )在插值曲面的极值点应该满足以下方程组:
5C (x ,y )
5x =
2Axy 2+2Bxy +2Cx +Dy 2
+Ey +F =0(9)5C (x ,y )
5y =
2Ax 2y +Bx 2
+2Dxy +Ex +2G y +H =0(10)
该非线性方程组可以通过Newton 迭代法[17]
求出其极值点位置，迭代的初值估计为(0,0)。根据文献[7]中的结论，对相关系数取自然对数后再进行插值，结果更为精确，故本文中都是对相关系数C 0,C 1取其自然对数后再进行插值计算。
3 影响亚像素定位精度的因素
3.1 模拟散斑图的生成
为了比较计算不同因素对亚像素位移计算结果的影响,
建立了可以精确控制位移的数学仿真散斑
图2模拟散斑图
图，本文采用了文献[11]中提出的算法。模拟散斑图
像大小为128×128pixel ，高斯光斑数目为150个，高斯光斑大小为4pixel 。所有计算工作是在P42.0GH z 主机、256内存、Win 2000操作系统的条件下完成的。图2为一幅计算机模拟生成的散斑图。
3.2 计算窗口大小对计算结果的影响
窗口大小始终是数字图像相关中的一个关键的
参数。在整像素位移搜索时，一方面，计算窗口越小计算量也越小、计算的效率就越高，但是计算得出的(x ′,y ′
)相邻各点的相关系数会有较大变化(见图3)；另一方面，计算窗口较大可以补偿、降低各种噪声的影响，使计算出来的相邻各点相关系数变化趋于平缓，但是同时计算量也会增加。在整像素相关搜索时，当选取同一相关函数但不同计算窗口大小
时所获得的整像素位移(x ′,y ′)周围9或25个点的相关系数矩阵是不同的。此时，如果利用相同的拟合或插值方法所获得的曲面极值点理所当然也是不
同的。
图3
为不同大小的计算窗口选用标准化协方差
图3 整像素搜索时不同计算窗口得到的相关系数
相关函数(本文中如没有特别指出，均是指标准化协方差相关函数)计算变形前模板在变形后图像中沿
x 方向的相关系数分布，由图可以看出，使用不同大
小的计算窗口计算出来的相关系数分布有着很大不同。计算窗口在11×11～41×41(pixels )之间时，计算结果的差异尤其显著，而当计算窗口大于41×41(pixels )时各点相关系数的变化要平缓得多。这样不同的相关系数分布用二次曲面拟合、插值出来的极值点当然也是相差很大的。
图4是对用文献[11]中提出的算法生成的沿x 方向位移为0.37pixel 的散斑图通过拟合计算得出的位移，计算点数为13×13=169点，从图中可以清楚地看到，随着计算窗口的增大，位移计算结果的波动范围减小，趋于稳定。
图5(a )、(b )是计算机模拟生成的x 方向位移为0.02、0.06、0.1pixel 的散斑图分别用2.2、2.3小节提出的拟合、插值方法计算位移的标准差，计算点数11×11=121点，由图5可以看到计算窗口在21
031计量学报2005年4月
×21～91×91(pixels )范围内位移的标准差是递减的，计算结果与真实位移趋于收敛。当计算窗口大于41×41(pixels )时，计算结果最大值与最小值明显收敛并趋于稳定。再增大窗口尺寸只会增加计算量，而计算精度却不会得到显著提高。
从表1、表2可以看到，当计算窗口大于41×41(pixels )时，对于插值方法最大值和最小值收敛在
0.1±0.003
pixel 范围内。对于拟合方法最大值和最小值收敛在0.1±0.004pixel 范围内。从整体上看，计算窗口取41×41～61×61(pixels )之间时计算的精度和效率比为最佳。
表1 计算窗口对亚像素位移插值计算的影响
(位移:0.1pixel )
pixel 计算窗口最大值
最小值均值标准差
CPU
耗时Πs
21×210.137510.067720.100820.012740.2331×310.119250.077530.093240.009750.4241×410.10885
0.0921
0.099840.00306
0.5151×510.110530.097520.102870.003050.6261×610.105620.096220.100740.002460.8971×710.104470.096220.100510.00189 1.3081×810.102360.094530.098690.00197 1.7991×91
0.103220.097390.099820.00135
2.42
表2 计算窗口对亚像素位移拟合计算的影响
(位移:0.1pixel )
pixel
计算窗口最大值
最小值
均值
标准差
CPU
耗时Πs
21×210.12060.04852
0.093
0.01368
0.1731×310.12140.066670.087620.014130.2841×410.1074
0.089020.095780.00396
0.4651×510.105940.091430.099290.003760.5361×610.107170.091540.098730.004010.6871×710.104540.095710.099140.002060.9681×810.10198
0.0921
0.097560.00229
1.2591×91
0.103690.095220.099040.00186
1.77
图4 整像素搜索时不同计算窗口计算的位移
图5 整像素搜索时选取不同计算窗口对亚像素位移计算结果的影响
3.3 拟合窗口的影响
在对整像素搜索所得的相关系数矩阵进行二次曲面拟合时，拟合窗口可以选取3×3或5×5(pixels )，图6是整像素位移搜索计算窗口为51×51，拟合窗口分别为3×3和5×5(pixels )时，对给定
x 方向标准位移为0.1～1pixel 的模拟散斑图进行
二次曲面拟合的计算误差，计算点数为121点。
由图6可以看到，对于二次拟合曲面，最佳拟合窗口为3×3(pixels )，拟合窗口的增大不仅增加了计
算量，还降低了计算精度。文献[6]中提出用4×4(pixels )的拟合窗口来拟合二次曲面，通过计算发现，这种拟合窗口的计算误差和计算量都要大于3×3(pixels )的拟合窗口。3.4 相关函数的影响
同理，在对整像素位移相关搜索时，若选取不同
的相关函数则所获得的感兴趣点(x ′,y ′
)周围9点1
31第26卷 第2期潘 兵等: 数字图像相关中亚像素位移测量的曲面拟合法
的相关系数矩阵也是不同的。图7是整像素位移相关搜索(计算窗口51×51(pixels ))时分别选取2.1节中的3种相关函数所得到的相关系数矩阵，再通过二次曲面插值图、拟合图计算所得的亚像素位移结果，计算点数为121点，位移为这121点计算结果的平均值。由图可见，计算结果与真实位移符合得很好，没有太大偏差，精度可达到0.01pixel 。
图8是通过二次曲面插值、
拟合计算结果求得的亚像素位移均值绝对误差。可以看出，误差都是随亚像素位移的增加而增加，不同相关函数对计算
图6 不同拟合窗口的亚像素位移计算误差
图7 对整像素搜索时选取不同相关函数得到的相关系数矩阵进行计算的位移
结果的影响很小。
对无噪声的模拟散斑图插值和拟
合所获得的位移均值误差小于0.01pixel (这与文献
[6]的结论相符合)。从计算量上来看，相关函数C 2
的计算量要略小于C 0,C 0的计算量要略小于C 1。
图8 对整像素搜索时选取不同相关函数得到的相关系数矩阵进行计算的误差
3.5 散斑大小的影响
在实际应用中，散斑大小的变化会影响整像素
搜索时计算窗口内的散斑统计信息。为了获得精确的亚像素定位精度，对不同的散斑大小选取合适的计算窗口进行研究是有意义的。本文进行计算采用模拟散斑大小为1～10pixels 、模拟散斑数目为100个、x 方向亚像素位移为0.5pixel 的模拟散斑，对用
二次曲面拟合法求得的亚像素位移，计算点数为
121点。结果如图9所示。由图9可见，当计算窗口小于41×41pixels 时，模拟散斑大小的变化对亚像素定位精度的影响较大；而当计算窗口大于41×41pixels 时，模拟散斑大小的变化对亚像素定位精度的影响很小，计算值与真值符合得很好。
231计量学报2005年4月
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