杨廷高1，南仁东2，金乘进2，甘恒谦2
(1 中科院国家授时中心陕西省临潼 710600)
(2 中科院国家天文台北京 100012)
摘要
摘要：脉冲星自转非常稳定，可以用作时间标准，许多脉冲星的空间位置、自行、距离、自转周期及导数、自转的初始相位等天体测量和天体物理参数都被精确测定。 由于脉冲星能够同时提供时间信号和空间位置坐标，利用空间脉冲星网络的导航系统的开发研究受到重视。 除甚长基线干涉测量之外，空间飞行器导航的传统方法只在沿飞行器的视线方向提供高精度，且当太阳位于空间飞行器与地球中间时根本无法实现导航。 安装在空间飞行器上的脉冲星导航系统能够实现飞行器的自主导航，能给出空间飞行器相对于太阳系质心的三维坐标和飞行速度。 射电脉冲星自主导航系统只适用于载荷量大的空间飞行器，而X射线脉冲星未来的适用范围可能非常广阔。 讨论了脉冲星钟的模型和脉冲星导航系统的框架结构，介绍了脉冲星导航的基本原理和算法。 目前，已发现射电脉冲星约1750颗，X射线脉冲星50余颗。 利用脉冲星钟模型能高精度地预报脉冲星脉冲到达太阳系质心的时间，即在任何时刻，脉冲星相当于太阳系 质心的相位是可以预报的。 在空间飞行器上测量脉冲星脉冲的到达时间(即脉冲星自转相位测量)所得到的相位与该脉冲星相对于太阳系质心的相位(脉冲星钟预报的相位)之间的差值包含有空间飞行器的位置信息。 通过空间飞行器上脉冲星导航系统对多颗脉冲星的计时观测(相位测量)，就能解算出观测时刻空间飞行器相对于太阳系质心的位置坐标。 指出脉冲星导航系统采用的脉冲星探测器的性能决定了脉冲星相位的测量精度，这也是影响空间飞行器位置解算精度的关键因素。脉冲星导航观测采用的原子钟如果足够稳定，则空间飞行器位置的算法可以简化。 在
脉冲星导航系统计时观测接近微秒(sµ)量级时，脉冲星视差、Shapiro和
Einstein延迟的影响是不可忽略的。 对于这样的脉冲星导航系统开发设计中的关键技术和应该进一步研究的主要问题进行了初步分析和讨论。
关键词 脉冲星—脉冲星钟—空间飞行器—定位导航
1 引言
脉冲星自转非常稳定，可以用作时间标准[1-3]。 由于脉冲星能够同时提供时间信号和空间位置坐标，利用空间脉冲星网络的导航系统的开发研究受到重视[4,5]。 安装在空间飞行器上的脉冲星导航系统能够实现飞行器的自主导航，不需要庞大地面系统的支持，更具有安全性。目前，已发现射电脉冲星约1750颗，X射线脉冲星50余颗。并且，脉冲星的搜寻工作正在深入开展，有望发现更好、
更多适合导航用的脉冲星[6]。
2 脉冲星钟模型的建立
以射电脉冲星为例说明脉冲星钟模型的建立。 将地面观测站观测得到的脉冲星脉冲到达时间（TOA）转换到太阳系质心，设t 为测站观测得到的TOA 值，脉冲星脉冲到达太阳系质心的时间为b t ，有
ρν
v c ur r c GM D C ur r cd c ur t t b 232221)ln(2])([21+−−−∆+−−+=Θ (1) 式中[7-11]，u 是太阳系质心至脉冲星的单位矢量，r 是太阳系质心至测站的矢量，c 是光速，d 是脉冲星的距离，等式右边第二和第三项之和被称为Roemer 延迟。 C ∆是TOA 测量参考的原子钟的改正。 等式右边第五项为信号经过星际介质的散延迟，其中D 是散常数，ν是射电观测频率。 第六项是Shapiro 延迟，其中G 是引力常数，ΘM 是太阳的质量。 最后一项是Einstein 延迟，其中v 是地球公转速度矢量，ρ是脉冲星信号传播方向矢量。
按照(1)式将TOA 转换到太阳系质心后，脉冲星在t 时刻相对于太阳系质心的相位可表示为
∑=++−+−+=M
m m m m T t f T t f T t 110)(00)!1()()()()(φφ (2)
式中，)(0T φ为参考历元0T 时的脉冲星相位，f 为脉冲星在0T 时的自转频率，)(m f 为f 的m 阶导数(一般取3,2,1=m )。 利用(1)和(2)式，对计时观测得到的TOA 资料(时间跨度需要2至3年)进行拟合，最终得到脉冲星的自转参数()(0T φ、f 和)(m f )和天体测量参数(位置、自行和距离)[9-12]。一旦这些参数精确测定，我们就可以用这些参数按照(2)式建立该脉冲星的自转模型，即脉冲星钟模型。 反过来，由建立的脉冲星钟模型，可以预报任何时刻t 时该脉冲星相对于太阳系质心的自转相位。
3 脉冲星导航原理和算法
脉冲星导航的主要硬件设备是脉冲星计时观测设备、原子钟和观测控制、信息处理、计算用的计算机。 主要软件包括脉冲星自转相位（也习惯地称作TOA ）测量软件和空间飞行器位置计算软件。
3.1 脉冲星导航原理和算法简述
根据脉冲星钟模型（2）式，可以预报第n 颗脉冲星在t 时刻相对于太阳系质心的自转相位)(t s n φ。 在t 时刻，在空间飞行器上测量得到的第n 颗脉冲星的自转相位可表示为
n
n n s n x n m t t φϖτφφ++−=)()(ˆ (3) 式中，n τ是在空间飞行器上测得的相位相对于太阳系质心相位的时间延迟，参见图1。 在空间飞行器上测得的相位值只能是0至1周之间的任何小
数值，而实际上脉冲星的相位变化还应包含有n m 个整周数，n m 为待定整数，被称为脉冲模糊点。 n φϖ是在飞行器上对第n 颗脉冲星相位测量的误差。
时的相位d/D p
D p =c/f n
0’+(t-T ’0)时，脉冲星波阵面
图1 相位延迟示意图
图1给出了在)('0'0T t T t −+=时刻，在飞行器上测得的第n 颗脉冲星的自转相位相对于该脉冲星钟预报的同一时刻太阳系质心相位的延迟量。 图中，n u 为脉冲星方向，x 为空间飞行器相对于太阳系质心的位置矢量。 用空间距离表示的该脉冲星的自转周期n p f c D /=，其中c 是光速，n f 是其自转频率。 )('0'0T t T t −+=，其中'0T 为空间飞行器上原子钟的钟面时刻，'0T 接近于t 。 由图1可见，第n 颗脉冲星的相位延迟n τ等于飞行器位置矢量在脉冲星方向的投影。 n τ可表示为
x u c T n n 1
=τ （4） 式中c 是光速，n u 为太阳系质心至第n 颗脉冲星的单位矢量，x 为空间飞行器相对于太阳
系质量心的位置矢量，T 表示矩阵转置。 令'
0T 为与t 接近的飞行器上原子钟的钟面时刻，由（2）、（3）、（4）式可得到
n n T n n s n x n m x u c
T t f T t φϖφφ++−−+=)1()()(ˆ'0'0 (5) 由于'0T 和t 非常接近，n f 导数的影响可以忽略不计。 （5）式中)('0T s n φ是'0T 时刻脉冲星相对于太阳系质心的相位，可由（2）式计算得到。 对（5）式进一步变换，有
n n n n T n s n x n n n f m f x u c
t T T t f φϖφφλ11'0'011))()(ˆ(−−−++−=+−= （6） 该式描述了观测量与未知参数(t 、x 和n m )之间的关系。 其中n λ是观测量)
(ˆt x n φ的线性变换，等式右边为未知数t 、x 和n m ，n φϖ为脉冲星相位测量误差。 这里
故意将t 设为未知量，目的是用于解决脉冲模糊点问题。 对于N 颗脉冲星的计时观测，可将（6）式写成矩阵形式。 为此，令
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N λλλM 1， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=T N T u c u c U 111M ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−111000000N f f F O ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N m m m M 1， 则有，
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=N F Fm x t U N φφϖϖλM 11 （7） 再令 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N F W φφλϖϖM 1，设m 为已知，其值为0m 向量（参见文中2.2 未知量m 的
估计方法），最终，(7)式可写成，
[]λλW x t U Fm N +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=−10 （8）
λ的协方差矩阵
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==220000
00
1N T W W E R λλλλλσσO （9） 其中，222n n
n f φλϖσ−=。 采用最大似然方法（ML）估计空间飞行器的位置和其协方差矩阵[4]，（8）式中未知数x 和t 的最大似然估计及其相应的协方差矩阵分别是
[])(ˆ~0
111Fm R A A R A x T T −=−−−λλλ （10） []11ˆ~−−=A R A R T x λ （11）
这里，x ˆ~是未知参数向量x ~的最大似然估计，[]T
T x t x =~，[]U A N −=1。 x
R ˆ~是x
ˆ~的协方差矩阵，其对角线元素是被估计的参数的方差。 假定被观测的N 颗星的空间分布是近似均匀的，解算的飞行器位置的方差可近似表示为
1
222−=N P c x λσσ （12） 式中，λσ是N 颗脉冲星λσ的平均，c 是光速，P 是定位的维数，对于三维定位，3=P 。
上述是由单次计时观测解算飞行器位置的原理和算法。 如果对空间飞行器位置估计可用的时间足够大，采用连续多次观测求解飞行器位置的方案是必要的。 这种观测方案可同时求解飞行器的位置和速度。
3.2 未知量m 的估计方法
对N 颗脉冲星，其自转整周数的值[]T
N m m m L 1=。 假定空间飞行器在观测时刻t 的位置是在半径R 的球范围内，由此估计出m 向量的所有可能值（也称为脉冲模糊点）。 对三维定位，至少4颗脉冲星才能解出飞行器的位置和时间t 。 为减少计算量，首选4颗星的所有模糊点进行组合。 对于所有可能的组合，按（8）式解算出t 的估计值t ˆ及其误差t σ。 除去具有正确m 值的模糊点外，由大部分组合得到的t ˆ与原子钟读数t 之差的绝对值会明显大于解算误差，即 )(ˆt t t σα≥− （13） 式中α为门限参数，可取4，5，6等。 凡满足（13）的组合均为不正确的m 值，应该排除。 模拟解算表明，当610≤R 米时，上述办法能完全解决模糊点问题[4]。 如果R 更大，经过同样的处理后，仍会剩余一些没有排除的模糊点。 通过进一步计算这些模糊点上的最大似然函数的办法，可最终解决问题。
在首选4颗脉冲星的m 值确定后，由该4颗星解算出飞行器的位置及其误差x σ，这时，x σ的绝对值会远远小于初始采用的R 值。 对于剩余的所有脉冲星，再照上述处理方法，则很容易得到每颗星的正确m 值。
4 讨论
4.1 计时观测设备性能
射电观测设备主要是天线和接收机等，天线可选用螺旋形微带天线，天线和接收机有效载荷量比较大（观测N 颗星，需N 套同样设备）。 射电观测只适用于允许载荷量大的空间飞行器。 X 射线波段观测
适用于任何空间飞行器。 由
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