数学广角——鸽巢问题
学生姓名 | | 年级 | | 学科 | |
授课教师 | | 日期 | | 时段 | |
核心内容 | | 课型 | 一对一/一对N |
教学目标 | 1、通过“自行车里的数学”学习，让学生巩固所学的圆、排列组合及比例等知识。 2、理解“抽屉原理”，并且会用“抽屉原理”解决实际应用问题。 3、通过“抽屉原理”的灵活运用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣。 |
重、难点 | 1、准确理解以下数量关系：在总齿数一定的情况下，前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数 ×后齿轮的齿数。 2、自行车前进过程中，前后齿轮之间的比例关系。 3、理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 |
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课首沟通
1、说一说你了解的普通自行车及变速自行车的一些知识。
2、想想自行车里会有哪些数学问题？
3、你学过鸽巢问题吗？抽屉原理是什么？
知识导图
课首小测
1. [单选题] （2014年江油市校级模拟）有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同，那么至少需要取（ ）只袜子。 A.9 B.5 C.16 D.13
2. （2012年浙江）自行车的前齿轮是30齿，后齿轮是10齿，车轮直径是40厘米，蹬一圈大约能行 米。（得数保留整数）
3. 一种变速自行车有3个前齿轮，6个后齿轮，一共能变化出9种不同的速度。（ ）
4. （2014年深圳）将红、黄、白、蓝四种颜的球各30个，混放在一个罐盒里，请问至少要从中摸出多少个球，才能确 保至少有6个同的球？
知识梳理
（1） 自行车里的数学
①前齿轮转的圈数×前齿轮的齿数=后齿轮转的圈数×后齿轮的齿数前齿轮所转总长度=后齿轮所转总长度
车轮所走路程=车轮周长×周数
③前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走得就远。因而车速快，但骑车人较费力。前、后齿轮齿数相差较小时，车速较慢，但骑车人较省力。
（2） 抽屉原理
①如果物体数除以抽屉数有余数，用所得的商加1，就会发现：总有一个抽屉有商加1个物体。物体数÷抽屉数=商……余数
至少数=商＋1
②运用最不利原则解决鸽巢问题。
导学一 ： 自行车里的数学
知识点讲解 1：普通自行车里的数学
例 1. 一辆自行车前齿轮36个齿，后齿轮18个齿，车轮直径5分米。每蹬一圈自行车前进多少米？
例 2. 一辆自行车前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿，蹬一圈自行车前进5米，求自行车的车轮直径是多少？（保留两位小数）
例 3. 一种儿童专用自行车的前轮直径是28厘米，后轮直径是35厘米，前轮行走40圈的路程，后轮要行走多少圈？
【学有所获】前齿轮转的圈数× ＝ ×后齿轮的齿数。[学有所获答案]前齿轮的齿数；后齿轮转的圈数
例 4. 一种自行车轮胎外直径35.36厘米，如果平均每分钟转100圈，通过长1670米的武汉长江大桥，需要多少分钟？
（得数保留整数）
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1. 一辆自行车的车轮直径是0.7米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，脚蹬一圈自行车前进多少米？
2. 一辆自行车前齿轮有32个，后齿轮有16个，蹬一圈自行车约前进6.28m，求这辆自行车的车轮直径是多少？
3. （2010年漳州校级期中）一种自行车轮胎的外直径是0.7米。如果车轮每分钟转100周，每小时可以行多少米？
4. 赵叔叔骑自行车要经过一座长3030m的大桥，自行车的前齿轮有26个齿、前、后齿轮的齿数比是13：8，车轮直径是
66cm。从自行车上桥到离桥大约要蹬多少圈？（自行车车身长度忽略不计）
知识点讲解 2：变速自行车里的数学
例 1. 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个 齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少挡不同的车速？
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1. 一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48和40；有7个后齿轮，齿数分别是28、24、20、18、16、14和12。这种自行车能变化出 种不同的速度，蹬同样的圈数，前齿轮数 和后齿轮数 的组合使自行车走得最
远。
例 1. [单选题] （2014年中山模拟）六（1）班49个人中，至少有（ ）人同一个月生日。
A.3 B.4 C.5 D.6
例 2. [单选题] （2014年江油市校级模拟）有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同，那么至少需要取（ ）只袜子。
A.9 B.5 C.16 D.13
例 3. （2010年番禺区校级自主招生）某校5年级的同学，每人都订阅了《青少年科技报》、《小朋友》、《故事会》、
《少年科学》、《少年文艺》中的至少2种刊物。那么这个年级至少要有 名学生，才能保证他们中至少有10个人订的报刊杂志完全相同。 例 4. 任意7个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是6的倍数，这是为什么？
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1. [单选题] （2015年深圳）盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（ ）次一定会摸到红球。
A.8 B.5 C.9 D.6
2. [单选题] 一副扑克牌加上大、小王共有54张，至少抽取（ ）张牌就一定能保证有两张同。A.5 B.6 C.7 D.13
3. 一个口袋中有白球8个，红球10个，黄球20个。从口袋中至少摸出 个球才能保证一定有3个球颜相同。最少摸出 个球，才能保证有3个不同颜的球。
4. 从1，2，3，…，30这30个自然数中，至少要取出 个不同的数，才能保证其中一定有一个数是5的倍数。
5. 图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每名学生可以借两本不同类的书，至少有多少名学生借书，才能保证有两人 所借图书类别相同？
限时考场模拟 ： 15分钟完成
1. [单选题] 有一种自行车，前齿轮齿数是48，后齿轮齿数是19，车轮外直径是70cm，蹬一圈这辆自行车能前进多少米？正确的列式是（ ）
A. B. C. D.
2. [单选题] （2014年东莞）把红、黄、蓝、白四种颜的球各6个放到一个袋子里，一次至少要取（ ）个球， 才可以保证取到两个颜相同的球。
A.7个 B.6个 C.5个
【学有所获】至少数= ÷ ＋1
[学有所获答案]元素的总个数；抽屉的个数。
3. [单选题] （2013年广州模拟）一个口袋中有50个小球，编号为1，2，3，4，5的各有10个。一次至少要取出（
）个小球，能保证其中至少有4个编号相同的小球。
A.6 B.11 C.16 D.21
4. （2015年南昌校级模拟）一只布袋中装有大小相同但颜不同的手套，颜有黑、红、蓝、黄四种，最少要摸 出 只手套才能保证有3副同的。
5. 五年级（1）班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人。统计完37张票
后发现：小红15票，小明10 票，小华12票。在余下的票中，小红至少再得 票才能保证以最多票数当选班长。
6. 小明新买了一辆自行车，车轮外直径约60cm，前齿轮有24个齿，后齿轮有15个齿，如果小明蹬一圈，他的自行车大约 能前进 m。
7. 一种变速自行车前齿轮为48齿和36齿，后齿轮为24齿，20齿，12齿和8齿，这种变速自行车能有 种速度组合，蹬相同的圈数， 组合走的最远。
8. 张叔叔每天都是骑自行车上班，他的自行车是前齿轮26个齿，后齿轮14个齿，车轮半径33厘米，他每天从家出发，大 约要蹬500圈才能到达工厂，张叔叔家到工厂大约多少米？
9. 一辆自行车的车轮半径是36cm，前齿轮有40个齿，蹬一圈约前进3.8m，这辆自行车的后齿轮有多少个齿？（得数保留 整数）
10. 孙展爸爸给孙展买了一辆自行车，细心观察的孙展，自行车的前齿轮齿数为26个，后齿轮齿数为16个，车轮直径66 厘米，孙展家距离学校大约500米，那么他从家到学校至少要蹬多少圈？（得数保留整数）
课后作业
1. [单选题] （2014年蓝田县校级模拟）张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜，但结果总是至少有两个孩子的颜一样，她至少有（ ）孩子。
A.2 B.3 C.4 D.6
2. [单选题] （2013年广州模拟）一个口袋中有50个小球，编号为1，2，3，4，5的各有10个。一次至少要取出（
）个小球，能保证其中至少有4个编号相同的小球。
A.6 B.11 C.16 D.21
3. [单选题] （2014年蓝田县校级模拟）李叔叔要给房间的四面墙壁涂上不同的颜，但结果是至少有两面的颜是一致的，颜料的颜种数是（ ）种。
A.2 B.3 C.4 D.5
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