一种面向加工精度可靠度提升的多轴数控机床几何精度设计方法

本发明涉及一种多轴数控机床几何精度设计方法，尤其涉及一种面向加工精 度可靠度提升的多轴数控机床几何精度设计方法，属于机床加工精度设计领域。

数控机床作为先进制造技术的基础设备，其制造与发展水平直接影响到我国 汽车、航天航空、武器装备等重要行业领域的发展。数控机床设计与使用过程中 性能的优劣主要体现在是数控机床的精度，而数控机床的精度指标主要有加工精 度、定位精度和重复定位精度，其中加工精度是数控机床追求的最终精度，是衡 量数控机床工作性能的非常重要的指标。随着对数控机床加工精度要求不断提 高，如何经济合理地使数控机床加工精度控制在所追求的目标范围内，是提升我 国高档高精度数控机床的技术水平和性能所面临的一个难题。

数控机床的加工精度主要受到机床零部件和结构的空间几何误差、热误差、 载荷误差、伺服误差等因素的影响。对数控机床误差源的大量研究表明，机床几 何误差、热误差和载荷误差约占总误差的70％。其中，机床的几何误差直接影响 刀具加工点的位置误差，50％的加工误差都是由机床的几何误差引起的。机床具 有多种几何误差，包括定位误差，直线度误差，滚摆误差，颠摆误差，偏摆误差， 以及运动轴之间的垂直度和平行度误差等。这些误差的相互耦合作用影响机床的 加工精度。

结构机构可靠性反应了在规定的时间内和规定的条件下，结构机构完成规定 能的能力。结构机构可靠度用机构完成规定功能的概率表示。灵敏度分析则是建 立在可靠性分析基础上，是基本变量分布参数的变化引起失效概率变化的比率， 反应了不同的变量参数对结构机构可靠度的影响。机床的几何误差参数变量是一 种不确定性的随机性变量，必须采用非确定性的研究方法来研究几何误差的随机 概率特征及其对加工精度的影响，才能更真实地反映客观实际情况。机床几何误 差基本变量不同，对机床加工精度影响也不同。如何实现面向加工精度可靠度提 升的数控机床精度分配，即将结构机构可靠度和可靠性灵敏度分析方法引入机床 几何精度设计中，辨识和分配加工精度可靠度影响较大的几何误差项，提高加工 精度可靠度，是提高数控机床加工精度的关键问题。

这一关键问题的解决方法分为两个步骤：

第一、根据几何误差基本变量间的关系，建立数控机床空间误差模型；

国内外学者在机床误差建模领域已经开展了多方面的研究，提出了不少建模 方法。如几何法、误差矩阵法、二次关系法、机构学法、刚体运动学法等。Chana  Raksir提出了包含有力误差的三轴数控铣床的误差模型。John等在美国国家科学 基金资助下用神经网络对机床运动误差进行建模。上述这些研究为进行机床精度 分析和误差检测、补偿提供了一定的基础，但是由于存在适用范围小、没有通用 性以及易产生人为推导误差等问题，未能从根本上解决机床误差建模的通用性问 题。近年来针对复杂机械系统的有误差运动，发展起来了一种多体系统理论。由 于多体系统理论对复杂机械系统较强的概括能力和特有的系统描述方式，可全面 考虑影响系统的各项因素及相互耦合关系，因而广泛适用于复杂机械系统运动误 差建模。

第二、基于数控机床空间误差模型，分配对加工精度可靠度影响较大的机床

几何误差参数变量。

可靠性设计的目的是使产品在一些参数值发生微小变动时仍能保证其质量 性能指标稳定在允许的范围内，是当前工程优化设计中处理各种不确定性因素的 主流方法。可靠性设计在机构设计、汽车工业、航空航天等其他领域中得到了快 速的发展与广泛的应用，相继出现了基于响应面模型的可靠性设计、基于容差模 型的可靠性设计、基于工程(随机)模型的可靠性设计、基于成本-质量模型的可 靠性设计，以及最小灵敏度法等可靠性设计方法，但是少量研究将可靠性设计方 法应用到机械设计中，特别是机床的加工精度可靠性设计还极为少见。

因此，本发明基于多体理论，建立了数控机床几何误差模型；将结构机构可 靠度和可靠性灵敏度分析方法引入机床几何精度设计中，提出一种面向加工精度 可靠度提升的几何误差项分配方法。

本发明的目的是提供一种通用的面向加工精度可靠度提升的几何误差项分 配方法。通过建立机床的空间误差模型，分析各项几何误差的耦合作用对加工精 度的影响程度，提出新的机床设计和改进理念，从根本上解决机床精度问题。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种通用的面向加工精度可靠度 提升的几何误差项分配方法，本发明通过多体系统运动特征分析方法建立机床的 空间误差模型，并结合机床加工精度可靠性分析方法，分析机床各项几何误差参 数变量的对加工精度可靠性的影响程度，分配影响加工精度的关键性几何误差参 数变量。

如图1所示，本方法的具体包括如下步骤：

步骤一以五轴数控机床为例，建立机床的空间误差模型。

基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，

在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩 阵表示多体系统间的相互关系；

步骤1.1建立五轴机床的拓扑结构

分析机床的结构，定义三轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型 体”，用“Bj”表示，其中j＝0，1,2…n,j表示各典型体的序号,n+1表示机床所包 含典型体的个数。

典型体的编号规则如下：

1.选定床身为典型体“B0”

2.将五轴机床分为刀具分支和工件分支，共两个分支。首先对刀具分支沿远 离床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号。再对工件分支沿远离 床身的方向，按照自然增长数列，对各典型体进行编号。

步骤1.2建立五轴机床的特征矩阵

该方法所研究的五轴数控机床几何误差项的几何意义及其表达式如表1所 示：

表1 五轴数控机床几何误差符号及意义       (单位：mm)

在床身B0和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维 坐标系O0-X0Y0Z0和Oj-XjYjZj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐 标系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴； 各个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运 动轴的正方向相同。

将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况。根据两 相邻典型体之间的静止和运动情况，在理想运动特征矩阵和误差特征矩阵表中选 择相应的运动特征矩阵，如表2；

表2 五轴数控机床特征矩阵

其中：表示典型体相对于典型体运动的理想静止特征矩
阵；表示典型体相对于典型体运动的理想运动特征
矩阵；表示典型体相对于典型体运动的静止误差
特征矩阵；表示典型体相对于典型体运动的运动
误差特征矩阵。

步骤1.3建立机床的空间误差模型

刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差。

设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：

Pt＝[Ptx Pty Ptz 1]T    (1)

其中Ptx表示刀具加工点在刀具坐标系中X轴方向的坐标值；

    Pty表示刀具加工点在刀具坐标系中Y轴方向的坐标值；

    Ptz表示刀具加工点在刀具坐标系中Z轴方向的坐标值；

机床在理想状态时成型点的运动位置：

$P_t={\left(\underset{k=n,L^n\left(t\right)=0}{\overset{k=1}{\Pi }}{T}_{L^k\left(t\right)L^{k-1}\left(t\right)}^P{T}_{L^k\left(t\right)L^{k-1}\left(t\right)}^S\right)}^{-1}\left(\underset{u=n,L^n\left(w\right)=0}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}^P{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}^S\right)P_w---\left(2\right)$

考虑加工误差，则机床的空间误差模型表示为：

$\begin{array}{c}E=\left[\underset{u=n,L^n\left(7\right)=0}{\overset{u=k}{\Pi }}{T}_{L^u\left(n\right)L^{u-1}\left(n\right)}^P{\Delta T_{L^u\left(n\right)L^{u-1}\left(n\right)}^P}_{}{T}_{L^u\left(n\right)L^{u-1}\left(n\right)}^S\Delta T_{L^u\left(n\right)L^{u-1}\left(n\right)}^S\right]P_w-\\ \left[\underset{u=n,L^n(k-1)=0}{\overset{u=n-k-1}{\Pi }}{T}_{L^u(k-1)L^{u-1}(k-1)}^P\Delta T_{L^u(k-1)L^{u-1}(k-1)}^S\Delta T_{L^u(k-1)L^{u-1}(k-1)}^S\right]P_t\end{array}---\left(3\right)$

其中，表示工件的实际
位置，表示刀具
的实际位置。上式又可表示为：

E＝[EX,EY,EZ,0]T    (4)

步骤二机床几何误差参数变量的分配

步骤2.1机床加工精度可靠性失效模式分析

本发明中，机床加工精度可靠度定义为机床完成规定加工精度的能力，由加 工精度的失效概率表示；灵敏度反应了不同的几何误差参数对机床加工精度不同 的影响程度。机床实际加工精度满足加工精度需求的表达式为：

l11≤EX≤l12

l21≤EY≤l22      (5)

l31≤EZ≤l32

通过分析机床失效模式间的逻辑关系，数控机床是具有多个极限状态方程的 系统。通常多失效模式下可靠度和失效概率的方法是窄限法，考虑到该方法不能 计算失效概率的具体数值，只能提供失效概率的范围，因此，在本发明中，以窄 限法作为对比验证，介绍了一种通用的多失效模式下可靠度及灵敏度计算方法， 建立了数控机床加工精度可靠度及灵敏度模型。

步骤2.2基于改进的一阶二次矩的单失效模式可靠度及灵敏度分析

某系统的功能函数可表示为Z＝g(x1,x2,…,xn)，Z＝0即为极限状态方程，它 是失效状态和安全状态的分界面。失效模式有两种：单失效模式对应于只有一个 极限状态方程的系统；多失效模式对应于多个极限状态方程。

基于改进的一阶二次矩理论，单失效模式下的可靠度、失效概率及灵敏度计 算方法如下：

$\beta =\frac{{\mu }_z}{{\sigma }_z}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}({\mu }_{x_i}-x_i^{*}){\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)}_{p^{*}}}{{\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)}_{p^{*}}{\sigma }_{x_i}{\alpha }_i}---\left(6\right)$

Pf＝Φ(-β)    (7)

$\frac{\partial P_f}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{\partial P_f}{\partial \beta }\frac{\partial \beta }{\partial {\sigma }_{x_i}}=-\frac{c_i^2{\sigma }_{x_i}^2{\mu }_G}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_G^3}\exp [-\frac{1}{2}{\left(\frac{{\mu }_G}{{\sigma }_G}\right)}^2]---\left(8\right)$

步骤2.3基于窄限法的机床加工精度可靠度及灵敏度分析

对于一个具有m个失效模式的系统，运用窄限法获取可靠度和灵敏度的方 法如下：

$P\left\{F\right\}\subseteq \left[P\right\{F_1\}+\underset{2}{\overset{m}{\Sigma }}\max [P\left\{F_i\right\}-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\Sigma }}P\{F_i\cap F_j\};0],\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}P\{F_i\}-\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\max (j<i)P\{F_i\cap F_j\left\}\right]---\left(9\right)$

$\frac{\partial P\left\{F\right\}}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left[f\left({\beta }_j\right)\frac{\partial \left({\beta }_j\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}(-1)\right]+\underset{j=2}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}\left[{}^{\left(3\right)}\tau _{\mathrm{jk}}\right[{}^{\left(1\right)}\tau _{\mathrm{jk}}({}^{\left(4\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(4\right)}\zeta _{\mathrm{jk}}+{}^{\left(5\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(5\right)}\zeta {}_{{\sigma }_{x_i}})+{}^{\left(2\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(2\right)}\zeta {}_{{\sigma }_{x_i}}\left]\right]---\left(26\right)$

其中，F_i和F_j分别对应于功能函数为Z_i和Z_j的失效事件，β_i和β_j对应第
i和第j失效模式的可靠度指标，ρ_ij是两失效模式间的相关系数，当Z>0时q_i＞0
is positive，当Z≤0时q_i≤0。 <math> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </math>
<math> <mrow> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>Cov</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msqrt> <mi>Var</mi> <mo>[</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>]</mo> </msqrt> <msqrt> <mi>Var</mi> <mo>[</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>]</mo> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </math>

$\frac{\partial {\beta }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{(c_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{c}_i{\mu }_{x_i})c_i^2{\sigma }_{x_i}}{{\left[\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{c}_i^2{\sigma }_{x_i}^2\right]}^{3/2}},u_{\mathrm{ij}}=\frac{{\beta }_j-{\beta }_i{\rho }_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2}},v_{\mathrm{ij}}=\frac{{\beta }_i-{\beta }_j{\rho }_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2}},{}^{\left(1\right)}\tau _{\mathrm{jk}}=\left\{\begin{array}{cc}1& {\tau }_{\mathrm{jk}}\ge 0\\ 0& {\tau }_{\mathrm{jk}}<0\end{array}\right.,$

${}^{\left(2\right)}\tau _{\mathrm{jk}}=\left\{\begin{array}{cc}0& {\tau }_{\mathrm{jk}}\ge 0\\ 1& {\tau }_{\mathrm{jk}}<0\end{array}\right.,$ (1)τjk+(2)τjk＝1， ${}^{\left(3\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if}{P}_{\mathrm{fjk}}=\max (k<j)P_{\mathrm{fjk}}\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$

${}^{\left(4\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if\Phi }(-{\beta }_j)\Phi (-u_{\mathrm{jk}})\ge \Phi (-{\beta }_k)\Phi (-v_{\mathrm{jk}})\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$

${}^{\left(5\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if\Phi }(-{\beta }_k)\Phi (-v_{\mathrm{jk}})>\Phi (-{\beta }_j)\Phi (-u_{\mathrm{jk}})\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$ (4)τjk+(5)τjk＝1

步骤2.4多失效模式下机床加工精度可靠度及灵敏度分析

本发明为获取多失效模式下机床加工精度可靠度及灵敏度的确定值，对于一 个具有m个失效模式的系统，它的失效概率可表示为多维正态联合分布的积分， 因此，多失效模式下失效概率可表示为：

对于一个串联系统，失效概率可表示为：

P{F}＝P{(F1≤0)∪(F2≤0)∪...∪(Fm≤0)}    (12)

为获取公式(12)的值，提出了相关系数，当存在两种失效模式，失效概率可 表示为：

P{F12}＝(F1∪F2)＝P(F1)+P(F2)-P(F1∩F2)＝P(F1)+P(F2)-P(F1F2)  (13)

令P(F1F2)＝α12P(F2),α12就是两失效模式的相关系数。因此， P{F12}＝P(F1)+P(F2)-α12P(F2)＝P(F1)+(1-α12)P(F2)。那么，三失效模式下 失效概率可表示为：

P(F123)＝P(F1∪F2∪F3)＝P(F12∪F3)

                   (14)

＝P(F12)+P(F3)-α123P(F3)＝P(F12)+(1-α123)P(F3)

同理，多失效模式下的失效概率可表示为：

P(F)＝P(F12...m-1)+(1-α12...m)P(Fm)

                 (15)

＝P(F1)+(1-α12)P(F2)+(1-α123)P(F3)+...+(1-α12...m)P(Fm)

在式(15)中， <math> <mrow> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>&ap;</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </math>

限于篇幅，多失效模式下可靠性灵敏度可表示：

$\begin{array}{c}\frac{\partial P\left(F\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{\partial P\left(F_1\right)}{\partial {\sigma }_{x^i}}+(1-{\alpha }_{12})\frac{\partial P\left(F_2\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(-P\left(F_2\right))\frac{\partial {\alpha }_{12}}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(1-{\alpha }_{123})\frac{\partial P\left(F_3\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}\\ +(-P\left(F_3\right))\frac{\partial {\alpha }_{123}}{\partial {\sigma }_{x_i}}+...+(1-{\alpha }_{12...m})\frac{\partial P\left(F_m\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(-P\left(F_m\right))\frac{\partial {\alpha }_{12...m}}{\partial {\sigma }_{x_i}}\end{array}---\left(16\right)$

在式(16)中，由在式(8)获取， <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>ij</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>ij</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </math>

${\Xi }_j={\gamma }_j(-{\beta }_j+{\gamma }_j),\frac{\partial {\beta }_{\mathrm{ij}}}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2{\Xi }_j}}(\frac{\partial {\beta }_i}{\partial {\sigma }_{x_i}}+{\rho }_{\mathrm{ij}}\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}})+\frac{-{\beta }_i+{\rho }_{\mathrm{ij}}{\gamma }_j}{2{(1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2{\Xi }_j)}^{\frac{3}{2}}}{\rho }_{\mathrm{ij}}^2\frac{\partial {\Xi }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}},$

$\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{-\Phi (-{\beta }_j){\beta }_j\phi (-{\beta }_j)+{\phi }^2(-{\beta }_j)}{{\Phi }^2(-{\beta }_j)}(-\frac{\partial {\beta }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}),\frac{\partial {\Xi }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=(2{\gamma }_j-{\beta }_j)\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}-{\gamma }_j\frac{\partial {\beta }_2}{\partial {\sigma }_{x_i}}.$

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：将结构机构可靠性理论与多轴 数控机床加工精度相结合，提出加工精度可靠度的概念，建立多失效模式下加工 精度可靠度模型和加工精度灵敏度模型，提出一种多失效模式下面向加工精度可 靠度提升的机床精度分配方法，为获取多轴数控机床几何误差之间相互关系和定 制机床主要传输组件精度等级提供依据。

图1为本发明方法的实施流程图。

图2为该五轴加工中心的结构示意图。

图3为该五轴加工中心的拓扑结构图。

图4为机床各几何误差对加工精度的初始灵敏度。

图5为第一次改进后机床各几何误差对加工精度的灵敏度。

图6为第二次改进后机床各几何误差对加工精度的灵敏度。

图7为第三次改进后机床各几何误差对加工精度的灵敏度。

图8为第四次改进后机床各几何误差对加工精度的灵敏度。

图9为失效概率的最大值和均值随改进次数的变化趋势。

图10为改进的几何误差对加工精度灵敏度的变化趋势。

图11为未做改进的几何误差对加工精度灵敏度的变化趋势。

本发明以XKH1600五轴加工中心为例，对上述多轴数控机床几何误差分配 方法进行验证。

具体包括如下步骤：

步骤一：为五轴机床设置广义坐标系，并建立机床的空间误差模型。

基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构， 在多体系统中建立广义坐标系，用矢量及其列向量表达位置关系，用齐次变换矩 阵表示多体系统间的相互关系；

步骤1.1建立五轴机床的拓扑结构

该机床的结构如图1所示。该机床包括滑枕、刀具、工件、工作台、溜板、 床身等；

该五轴数控机床的成型系统由X轴平动单元、Y轴平动单元、Z轴平动单元、 A轴回转单元和B轴回转单元组成。在数控机床成型运动中，本发明考虑机床 的几何误差。本机床共有37项几何误差。

根据多体理论的基本原理将该机床抽象对多体系统，该机床主要由8个典型 体组成，定义五轴机床的各个组成部件，以及刀具和工件为“典型体”，用“Bj” 表示，其中j＝0,1,2,3,4,5,6,7,j表示各典型体的序号,n+1表示机床所包含典型 体的个数。

根据编号规则选定床身为典型体“B0”，将五轴机床分为刀具分支和工件分 支，共两个分支。首先对刀具分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各 典型体进行编号。再对工件分支沿远离床身的方向，按照自然增长数列，对各典 型体进行编号。编号结果如图2所示。

步骤1.2建立五轴机床的特征矩阵。

在床身B0和所有部件Bj上均建立起与其固定联接的右手直角笛卡尔三维坐 标系O0-X0Y0Z0和Oj-XjYjZj，这些坐标系的集合称为广义坐标系，各体坐标 系称为子坐标系，每个坐标系的三个正交基按右手定则分别取名为X,Y,Z轴；各 个子坐标系的相对应的坐标轴分别对应平行；坐标轴的正方向与其所对应的运动 轴的正方向相同。

将各体之间的运动和静止情况，看作坐标系之间的运动和静止情况。根据两 相邻典型体之间的静止和运动情况，XKH1600五轴机床的运动特征矩阵和运动 误差特征矩阵如表3所示。

表3 XKH1600五轴机床的运动特征矩阵和运动误差特征矩阵

本发明是一种关键几何误差的辨识方法，在使用过程中忽略除几何误差之外 的所有误差因素。

步骤1.3建立机床的空间误差模型

刀具成型点实际运动位置与理想运动位置的偏差即为机床的空间误差。

设刀具加工点在刀具坐标系中的坐标为：

Pt＝[Ptx Pty Ptz 1]T    (17)

其中Ptx表示刀具加工点在刀具坐标系中X轴方向的坐标值；

    Pty表示刀具加工点在刀具坐标系中Y轴方向的坐标值；

    Ptz表示刀具加工点在刀具坐标系中Z轴方向的坐标值；

机床在理想状态时成型点的运动位置：

$P_t{=\left(\underset{k=n,L^n\left(t\right)=0}{\overset{k=1}{\Pi }}{T}_{L^k\left(t\right)L^{k-1}\left(t\right)}^P{T}_{L^k\left(t\right)L^{k-1}\left(t\right)}^S\right)}^{-1}\left(\underset{u=n,L^n\left(w\right)=0}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}^P{T}_{L^u\left(w\right)L^{u-1}\left(w\right)}^S\right)P_w---\left(18\right)$

考虑加工误差，则机床的空间误差模型表示为：

$\begin{array}{c}E=\left[\underset{u=n,L^u\left(7\right)=0}{\overset{u=5}{\Pi }}{T}_{L^u\left(7\right)L^{u-1}\left(7\right)}^P\Delta T_{L^u\left(7\right)L^{u-1}\left(7\right)}^P{T}_{L^u\left(7\right)L^{u-1}\left(7\right)}^S\Delta T_{L^u\left(7\right)L^{u-1}\left(7\right)}^S\right]P_w-\\ \left[\underset{u=n,L^u\left(4\right)=0}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(4\right)L^{u-1}\left(4\right)}^P\Delta T_{L^u\left(4\right)L^{u-1}\left(4\right)}^P{T}_{L^u\left(4\right)L^{u-1}\left(4\right)}^S\Delta T_{L^u\left(4\right)L^{u-1}\left(4\right)}^S\right]P_t\\ =T_{05}^P\Delta T_{05}^P{T}_{05}^S\Delta T_{05}^S{T}_{56}^P{T}_{56}^S\Delta T_{56}^S{T}_{67}^P\Delta T_{67}^P{T}_{67}^S{P}_w-T_{01}^P{T}_{01}^S\Delta T_{01}^S{T}_{12}^P\Delta T_{12}^P{T}_{12}^S\Delta T_{12}^S{T}_{23}^S\Delta T_{23}^P\Delta T_{23}^S{T}_{34}^P\Delta T_{34}^P{P}_t\end{array}---\left(19\right)$

步骤二数控机床各几何误差的分配

步骤2.1数控机床加工精度可靠性失效模式分析

本发明中，机床加工精度可靠度定义为机床完成规定加工精度的能力，由加 工精度的失效概率表示；灵敏度反应了不同的几何误差参数对机床加工精度不同 的影响程度。机床实际加工精度满足加工精度需求的表达式为：

l11≤EX≤l12

l21≤EY≤l22              (20)

l31≤EZ≤l32

根据公式(5)，该五轴数控机床共有26种失效模式，包括6个单失效模式， 12个双失效模式和8个三失效模式。

该数控机床的设计要求：位置误差小于0.03mm的失效概率不高于5％。并 根据《GB/T17421.1—1998机床检验通则第1部分：在无负荷或精加工条件下 的机床几何精度》和《GB/T17421.2—2000机床检验通则第2部分：数控轴线 的定位精度和重复定位精度的确定》，可确定五轴联动数控加工中心的几何参数 误差初始值，如表4所示。

表4 五轴数控机床几何误差初始值(mm)

本发明将几何误差分配过程分为两个步骤：一是通过正交采样方法在XY 平面获取机床的可靠度，另一个是根据获取的可靠度计算灵敏度，实现机床几何 误差参数的分配。分别在X轴选5个点(50,225,275,325,500)，在Y轴选5个点 (-225,-50,0,50,225)，因此，在XY平面共有25点。式(31)用以获取加工精度可 靠度，计算目标如式(21)，计算过程在软件MatLab环境下进行。

$\begin{array}{cc}M& :\max P_f\left(t\right),\max \frac{\partial \max P_f\left(t\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}\\ S.t.& :l_{11}\le E_x\le l_{12}\\ & l_{21}\le E_Y\le l_{22}\\ & l_{31}\le E_Z\le l_{32}\\ & 0<{\sigma }_{x_i}\le \mathrm{initial\; values}\\ & \frac{1}{m}\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{P}_f\left(t\right)\le 3\%\\ & \max P_f\left(t\right)\le 5\%\end{array}---\left(21\right)$

式(21)中，l₁₁,l₁₂,l₁₃,l₂₁,l₂₂,l₂₃由式(19)可得。如果maxP_f(t)＞5％或
选取maxP_f(t)，并且根据式(32)计算可靠性灵敏度
用以确定对加工精度可靠度影响较大的机床几何误差参数并对其进行优化。当
maxP_f(t)＜P_fsmax且整个分配过程结束。

步骤2.2基于改进的一阶二次矩的单失效模式可靠度及灵敏度分析

某系统的功能函数可表示为Z＝g(x1,x2,…,xn)，Z＝0即为极限状态方程，它 是失效状态和安全状态的分界面。基于改进的一阶二次矩理论，单失效模式下的 可靠度、失效概率及灵敏度计算方法如下：

$\beta =\frac{{\mu }_z}{{\sigma }_z}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}({\mu }_{x_i}-x_i^{*}){\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)}_{p^{*}}}{{\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)}_{p^{*}}{\sigma }_{x_i}{\alpha }_i}---\left(22\right)$

Pf＝Φ(-β)      (23)

$\frac{\partial P_f}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{\partial P_f}{\partial \beta }\frac{\partial \beta }{\partial {\sigma }_{x_i}}=-\frac{c_i^2{\sigma }_{x_i}^2{\mu }_G}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_G^3}\exp [-\frac{1}{2}{\left(\frac{{\mu }_G}{{\sigma }_G}\right)}^2]---\left(24\right)$

步骤2.3基于窄限法的机床加工精度可靠度及灵敏度分析

对于一个具有m个失效模式的系统，运用窄限法获取可靠度和灵敏度的方 法如下：

$P\left\{F\right\}\subseteq \left[P\right\{F_1\}+\underset{2}{\overset{m}{\Sigma }}\max [P\left\{F_i\right\}-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\Sigma }}P\{F_i\cap F_j\};0],\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}P\{F_i\}-\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\max (j<i)P\{F_i\cap F_j\left\}\right]---\left(25\right)$

$\frac{\partial P\left\{F\right\}}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left[f\left({\beta }_j\right)\frac{\partial \left({\beta }_j\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}(-1)\right]+\underset{j=2}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{j-1}{\Sigma }}\left[{}^{\left(3\right)}\tau _{\mathrm{jk}}\right[{}^{\left(1\right)}\tau _{\mathrm{jk}}({}^{\left(4\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(4\right)}\zeta _{\mathrm{jk}}+{}^{\left(5\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(5\right)}\zeta {}_{{\sigma }_{x_i}})+{}^{\left(2\right)}\tau _{\mathrm{jk}}·{}^{\left(2\right)}\zeta {}_{{\sigma }_{x_i}}\left]\right]---\left(26\right)$

其中，F_i和F_j分别对应于功能函数为Z_i和Z_j的失效事件，β_i和β_j对应第
i和第j失效模式的可靠度指标，ρ_ij是两失效模式间的相关系数，当Z>0时q_i＞0
is positive，当Z≤0时q_i≤0。 <math> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </math>
<math> <mrow> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>Cov</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msqrt> <mi>Var</mi> <mo>[</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>]</mo> </msqrt> <msqrt> <mi>Var</mi> <mo>[</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>]</mo> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </math>

$\frac{\partial {\beta }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{(c_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{c}_i{\mu }_{x_i})c_i^2{\sigma }_{x_i}}{{\left[\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{c}_i^2{\sigma }_{x_i}^2\right]}^{3/2}},u_{\mathrm{ij}}=\frac{{\beta }_j-{\beta }_i{\rho }_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2}},v_{\mathrm{ij}}=\frac{{\beta }_i-{\beta }_j{\rho }_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2}},{}^{\left(1\right)}\tau _{\mathrm{jk}}=\left\{\begin{array}{cc}1& {\tau }_{\mathrm{jk}}\ge 0\\ 0& {\tau }_{\mathrm{jk}}<0\end{array}\right.,$

${}^{\left(2\right)}\tau _{\mathrm{jk}}=\left\{\begin{array}{cc}0& {\tau }_{\mathrm{jk}}\ge 0\\ 1& {\tau }_{\mathrm{jk}}<0\end{array}\right.,$ (1)τjk+(2)τjk＝1， ${}^{\left(3\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if}{P}_{\mathrm{fjk}}=\max (k<j)P_{\mathrm{fjk}}\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$

${}^{\left(4\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if\Phi }(-{\beta }_j)\Phi (-u_{\mathrm{jk}})\ge \Phi (-{\beta }_k)\Phi (-v_{\mathrm{jk}})\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$

${}^{\left(5\right)}\tau _j{}_k=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{if\Phi }(-{\beta }_k)\Phi (-v_{\mathrm{jk}})>\Phi (-{\beta }_j)\Phi (-u_{\mathrm{jk}})\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.,$ (4)τjk+(5)τjk＝1。

运用窄限法获取数控机床加工精度可靠度的结果如表5所示。

步骤2.4多失效模式下机床加工精度可靠度及灵敏度分析

本发明为获取多失效模式下机床加工精度可靠度及灵敏度的确定值，对于一 个具有m个失效模式的系统，其失效概率可表示为多维正态联合分布的积分， 因此，多失效模式下失效概率可表示为：

对于一个串联系统，失效概率可表示为：

P{F}＝P{(F1≤0)∪(F2≤0)∪...∪(Fm≤0)}    (28)

为获取公式(12)的值，提出了相关系数，当存在两种失效模式，失效概率可 表示为：

P{F12}＝(F1∪F2)＝P(F1)+P(F2)-P(F1∩F2)＝P(F1)+P(F2)-P(F1F2)  (29)

令P(F1F2)＝α12P(F2),α12就是两失效模式的相关系数。因此， P{F12}＝P(F1)+P(F2)-α12P(F2)＝P(F1)+(1-α12)P(F2)。那么，三失效模式下 失效概率可表示为：

P(F123)＝P(F1∪F2∪F3)＝P(F12∪F3)

                  (30)

＝P(F12)+P(F3)-α123P(F3)＝P(F12)+(1-α123)P(F3)

同理，多失效模式下的失效概率可表示为：

P(F)＝P(F12...m-1)+(1-α12...m)P(Fm)

                  (31)

＝P(F1)+(1-α12)P(F2)+(1-α123)P(F3)+...+(1-α12...m)P(Fm)

在式(31)中， <math> <mrow> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>&ap;</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&rho;</mi> <mi>ij</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </math>

运用该方法获取初始的数控机床加工精度可靠度的结果如表5所示，由表5 可知：(1)发明中的方法所得机床加工精度可靠度在窄限法允许的范围内，说明 该方法的有效性；(2)根据初始值计算所得的机床加工精度可靠度不能满足该数 控机床设计要求。因此，需要进一步分析机床各几何误差对机床加工精度可靠度 的影响，对这些几何误差进行优化分配，控制机床加工精度可靠度在该数控机床 设计要求范围内。

表5 初始的数控机床加工精度可靠度

为分析机床各几何误差对机床加工精度可靠度的影响，在表(5)中选取
maxP_f(t)，并且根据式(32)计算可靠性灵敏度用以确定对加工精度
可靠度影响较大的机床几何误差参数并对其进行优化。多失效模式下可靠性灵敏
度可表示：

$\begin{array}{c}\frac{\partial P\left(F\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{\partial P\left(F_1\right)}{\partial {\sigma }_{x^i}}+(1-{\alpha }_{12})\frac{\partial P\left(F_2\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(-P\left(F_2\right))\frac{\partial {\alpha }_{12}}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(1-{\alpha }_{123})\frac{\partial P\left(F_3\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}\\ +(-P\left(F_3\right))\frac{\partial {\alpha }_{123}}{\partial {\sigma }_{x_i}}+...+(1-{\alpha }_{12...m})\frac{\partial P\left(F_m\right)}{\partial {\sigma }_{x_i}}+(-P\left(F_m\right))\frac{\partial {\alpha }_{12...m}}{\partial {\sigma }_{x_i}}\end{array}---\left(32\right)$

在式(32)中，由在式(24)获取， <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>ij</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>ij</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&PartialD;</mo> <msub> <mi>&sigma;</mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </math>

${\Xi }_j={\gamma }_j(-{\beta }_j+{\gamma }_j),\frac{\partial {\beta }_{\mathrm{ij}}}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2{\Xi }_j}}(\frac{\partial {\beta }_i}{\partial {\sigma }_{x_i}}+{\rho }_{\mathrm{ij}}\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}})+\frac{-{\beta }_i+{\rho }_{\mathrm{ij}}{\gamma }_j}{2{(1-{\rho }_{\mathrm{ij}}^2{\Xi }_j)}^{\frac{3}{2}}}{\rho }_{\mathrm{ij}}^2\frac{\partial {\Xi }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}},$

$\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=\frac{-\Phi (-{\beta }_j){\beta }_j\phi (-{\beta }_j)+{\phi }^2(-{\beta }_j)}{{\Phi }^2(-{\beta }_j)}(-\frac{\partial {\beta }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}),\frac{\partial {\Xi }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}=(2{\gamma }_j-{\beta }_j)\frac{\partial {\gamma }_j}{\partial {\sigma }_{x_i}}-{\gamma }_j\frac{\partial {\beta }_2}{\partial {\sigma }_{x_i}}.$

为满足该机床设计要求进行了5次改进，如图4-图8所示。由图4-图8可
知，几何误差变量Δβ_xz,Δα_yz,Δα_y,Δγ_x,Δβ_x在每次改进前对机床加工精度可靠度
影响最大，既具有最大的加工精度灵敏度，需要对它们进行逐个优化，直到
maxP_f(t)＜P_fsmax且整个优化过程结束，优化值和每次改进
后的机床加工精度可靠度如表6所示。

表6 每次改进的数控机床加工精度可靠度

图9-图11是每次改进的可靠度数值和灵敏度数值的变化趋势。由图9可知： 每一次改进必然使得失效概率的最大值和均值有所减少，当完成某一改进后，减 小的幅度变小。由图10可知每次改进后改进的几何误差项的变化趋势：改进的 几何误差项相互间灵敏度数值差距减少，这也正说明机床加工精度可靠性灵敏度 分析的目标是降低对加工精度可靠度影响最大的几何误差项的敏感度，提高机床 加工精度可靠度，最终提高数控机床的加工精度。图11表明每一次的改进对未 做改进的误差项作用不大。