一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求
的定义域
思路：设函数
的定义域为D ，即
，所以
的作用范围为D ，又f 对
作用，作用范围
不变，所以D x g ∈)(，解得
，E 为
的定义域。
例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数
的定义域为（0，1）即
，所以的作用范围为（0，1）
又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以
解得，故函数
的定义域为（1，e ）
例2.若函数
，则函数
的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由，知
即f 的作用范围为
，
又f 对f(x)作用所以
，即
中x 应
满足即，解得
故函数的定义域为
（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设
的定义域为D ，即
，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作
用，作用范围不变，所以
为
的定义域。
例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。 解析：
的定义域为
，即
，由此得
所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以
即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为-------
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2
2
248
-=-，知
解得，f 的作用范围为
，
又f 对x 作用，作用范围不变，所以，
即
的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设
的定义域为D ，即
，由此得，
的作用范围为E ，又f 对
作
用，作用范围不变，所以
，解得
，F 为
的定义域。
例5.若函数
的定义域为
，则
的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得
的作用范围为，又f 对作用，所以，解得
即的定义域为
评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（1）引理证明
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.
证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >，记)(11x g u =,)(22x g u =即
),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <，即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；
ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
))((x g f y =为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），
则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
（4）例题演练
例1、求函数)32(log 2
2
1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域130322
-<>⇒>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞设2121),3(,x x x x <+∞∈且则
)32(log 1212
11--=x x y )32(log 22
22
12--=x x y
---)32(12
1x x )32(22
2--x x =)2)((1212-+-x x x x
∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x
∴)32(12
1--x x >)32(22
2--x x 又底数12
1
0<<
∴012<-y y 即12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数
同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数
［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为
}.3
1
,1|{-<>x x x 或
则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3
1-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若3
1
-
<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
例3、.已知y=a log (2-x
a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1
当a ＞1时，函数t=2-x
a >0是减函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-a ＞0，得a ＜2, ∴1＜a ＜2
当0<a<1时，函数t=2-x
a >0是增函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-1＞0,∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2
例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设
)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函
数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。 ［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ，
其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得
.3
7
213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a
∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，
即.1)(2+-=x x f 2
4
2
2
21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F
假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，
∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，
∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴1822
21>+x x , ∴11612)(22
21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①
当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F
∵02221>-x x ,∴11612)(22
21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②
由①、②可知161-=p ，故存在.16
1
-=p
一．指函数与对数函数
．同底的指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：
例1．（1）若21a b a >>>，则log b b
a
，log b a ，log a b 从小到大依次为； （2）若235x y z
==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为；
（3）设0x >，且1x x
a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（） （A ）1b a <<（B ）1a b <<（C ）1b a <<（D ）1a b <<
解：（1）由2
1a b a >>>得b a a <，故log b b a
<log b a 1<<log a b ．
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议